Grenzwerte berechnen

04.02.2013, 17:19

Patrick1990

Grenzwerte berechnen

Hallo,
habe gerade das Problem, dass ich nicht weiß wie ich beginnen soll.

Ich soll den Grenzwert folgender Funktion berechnen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{ln(3x+1)}{x+e^{-x}sin(x)} \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 17:32

Patrick1990

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Kann ich einfach durch Überlegen sagen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} ln(3x+1) =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x+e^{-x} sin(x)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Somit erhalte ich $\begin{eqnarray*} \frac{0}{1} =0 \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 17:39

Mulder

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Zitat:

Original von Patrick1990
Kann ich einfach durch Überlegen sagen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} ln(3x+1) =0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x+e^{-x} sin(x)=1 \end{eqnarray*}$ ?

Nein, kannst du nicht, weil letzteres gar nicht stimmt.

Hast du es schon mit L'Hospital probiert?

04.02.2013, 17:42

Colorado

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Zitat:

Schön wär's wohl, aber leider hast du dich im Nenner verrechnet.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x+e^{-x} sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

Sonst würde es in der Tat funktionieren, weil sowohl Zähler als auch Nenner stetig sind.

Du kannst diese Aufgabe aber mithilfe der Regel L’Hôpital lösen.

04.02.2013, 17:44

Patrick1990

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Stimmt, letzteres wäre auch 0, wenn es

$\begin{eqnarray*} "\frac{0}{0}" \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} "\frac{\infty}{\infty}" \end{eqnarray*}$ ist darf ich ja nach L'Hopital Vorgehen oder?

04.02.2013, 18:00

Patrick1990

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Ist das richtige Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ ?

04.02.2013, 18:06

Mulder

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Jep.

04.02.2013, 18:09

Patrick1990

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Juhu danke.

Nochmal ne andere Funktion:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} (x^5+x^2)^{\frac{1}{lnx}} \end{eqnarray*}$

Wie geht man hier vor?

04.02.2013, 18:53

Mulder

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Nutze

$\begin{eqnarray*} f(x) = e^{\ln(f(x))} \end{eqnarray*}$

um einen Zugang zu erhalten. Logarithmengesetze nutzen und dann wieder L'Hospital.

05.02.2013, 10:13

Patrick1990

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Welches Gesetz hast du zum Umschreiben angewandt?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)}=e^x \end{eqnarray*}$ oder?

05.02.2013, 10:32

Mulder

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Zitat:

Original von Patrick1990
Welches Gesetz hast du zum Umschreiben angewandt?

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{ln(x)}=e^x \end{eqnarray*}$ oder?

Das ist kein Gesetz, das ist komplett falsch. Bitte schnell aus deinem Kopf löschen. Was ich benutzt habe, steht einen Post über deinem.

Der ln ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Also ist

$\begin{eqnarray*} x = e^{\ln(x)} \end{eqnarray*}$

(jedenfalls für positive x). Und das kannst du benutzen.

05.02.2013, 11:44

Patrick1990

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Ich weiß jedoch nicht wie ich das jetzt anwenden soll. unglücklich

$\begin{eqnarray*} e^{ln(x^5+x^2)^{\frac{1}{ln x}}} \end{eqnarray*}$ ? So?

05.02.2013, 11:46

Mulder

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Ja. Ich würde allerdings noch eine Klammer setzen:

$\begin{eqnarray*} e^{ln \left ((x^5+x^2)^{\frac{1}{ln x}} \right )} \end{eqnarray*}$

Wie es dann weiter geht, habe ich ja weiter oben schon ausgeführt.

05.02.2013, 12:00

Patrick1990

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Ich erhalte erst einmal durch Anwenden der Gesetze $\begin{eqnarray*} e^{\frac{ln(x^5+x^2)}{ln x}} \end{eqnarray*}$ ist das soweit schonmal richtig?

05.02.2013, 12:02

Mulder

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Warum so unsicher? Augenzwinkern

Weiter geht's.

05.02.2013, 12:24

Patrick1990

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Ich bin nicht so sehr vertraut mit den Gesetzen.

Wenn ich jetzt von Zähler und Nenner Ableitungen bilde komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{5x^3+2}{x^4+x} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{11}{x} \end{eqnarray*}$

Dann L'Hospital und ich komme auf $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)}=5 \end{eqnarray*}$ kann das stimmen?

05.02.2013, 12:25

Mulder

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Zitat:

Original von Patrick1990
$\begin{eqnarray*} g'(x)=\frac{11}{x} \end{eqnarray*}$

1/x meinst du wohl...

und ja, die 5 ist richtig.

Damit ist der Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^5 \end{eqnarray*}$ .

05.02.2013, 12:28

Patrick1990

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Ja Sorry eine 1 zu viel...

Okay aber in der Klausur kann man dann ja einfach $\begin{eqnarray*} e^5 \end{eqnarray*}$ stehen lassen denke ich mal. Vielen Dank.

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