Gleichungssysteme

04.02.2013, 19:13

Pauline21

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Gleichungssysteme

Meine Frage:
Hey Leute es geht um Gleichungssysteme. Ich soll für Werte $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen wann diese folgenden Gleichungssysteme genau eine Lösung, keine Lösung oder mehrere Lösungen besitzen. Geben Sie die Lösungsmenge an.

1)

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+\alpha z=1<br /> x+\alpha y +z=1<br /> \alpha x+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$

2)
$\begin{eqnarray*} <br /> x+2y+\alpha z=2<br /> 2x+\alpha y +8z=3<br /> \end{eqnarray*}$

Geben Sie die Lösungsmenge an.

Meine Ideen:
Das macht man doch mit dem Gaußalgorithmus ? Auf Dreicksgestalt bringen. Aber diese Alphas stören mich. Wenn mir jemand helfen würde, wäre ich sehr dankbar.

04.02.2013, 19:46

Dopap

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der Formparameter soll dich aber nicht stören. Nimm Ihn einfach mit als wenn er eine Zahl wäre. Multiplikationen und Summen kannst du dann nicht "ausrechnen" aber hinschreiben.

Versuch mal:

Zeile 2 minus Zeile 1, dann steht eben

II) $\begin{eqnarray*} 0x + \alpha y -y + z-\alpha z= 0 \end{eqnarray*}$ oder

II) $\begin{eqnarray*} y(\alpha-1)+z(1-\alpha)=0 \end{eqnarray*}$

usw...

04.02.2013, 20:11

original

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RE: Gleichungssysteme

Zitat:

Original von Pauline21
für Werte $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ bestimmen
wann diese folgenden Gleichungssysteme
-genau eine Lösung,
- keine Lösung
-oder mehrere Lösungen besitzen.

1)

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+\alpha z=1<br /> x+\alpha y +z=1<br /> \alpha x+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$

smile

sei $\begin{eqnarray*} a= \alpha \end{eqnarray*}$
->

bei dieser Aufgabe genügt es eigentlich, mal genau hinzuschauen, um ohne grosse Anstrengung
zu sehen, dass für a=1 drei identische (Ebenen) Gleichungen vorliegen .. also ... -> ...

bleibt dann nachher noch zu untersuchen, was zB für a=-2 geschieht..

und für alle anderen Werte von a kann problemlos je genau ein (von a abhängiger) Schnittpunkt
angegeben werden; berechnet mit den üblichen Methoden.

noch eine kurze Anmerkung zur zweiten Aufgabe:
da hast du nur zwei Gleichungen für drei Variable .. du weisst sicher, was dann alles möglich ist?
.

04.02.2013, 20:26

Pauline21

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Irgendwie bleibe ich da stecken. Habe $\begin{eqnarray*} I-II \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} I-\frac{1}{\alpha} III \end{eqnarray*}$ und jetzt stehe ich bei $\begin{eqnarray*} II-III \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> I) <br /> x+y+\alpha z=1<br /> II) <br /> y-\alpha y+ \alpha z-z=0<br /> III) <br /> y-\frac{y}{\alpha}+\alpha z-\frac{\alpha}{y}<br /> \end{eqnarray*}$

04.02.2013, 21:42

Dopap

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1.) wenn du Gauss verwendest, dann sollte sich immer wenigstens eine Variable herausheben.

2.) nicht mit a dividieren, sondern die andere Gleichung mit a multiplizieren. Das erspart dir unangenehme Brüche.

So taugt die Notation nix. Du must nach jeder Operation alle 3 Gleichungen komplett neu anschreiben, sonst verliert man die Übersicht.

05.02.2013, 12:11

Pauline21

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Wie löse ich es denn jetzt am Besten, damit es auch richtig aufgeschrieben ist und volle Punktzahl bringt ?

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05.02.2013, 12:40

Pauline21

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Jetzt habe ich nur mit $\begin{eqnarray*} a=\alpha \end{eqnarray*}$ multipliziert und habe stehen:

$\begin{eqnarray*} a x + y + z = 1<br /> a y - a^2 y + a z - a^3 z = a - a^2<br /> a y - y + 2 a z - z - a^3 z = 2 a - 1 - a^2 \end{eqnarray*}$

Da fällt doch nie was weg...

Man kann sich auch nichts wählen da keine klare Beziehung gegeben ist:

Also z.B. x=2y dann wählt man sich x=1 dann ist y=0,5

05.02.2013, 13:21

Dopap

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RE: Gleichungssysteme
$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> x+ay +z=1<br /> ax+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_2=L_2-L_1 \end{eqnarray*}$ :

das bedeutet: subtrahiere von Zeile2 die Zeile1 und schreibe zurück.

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> ax+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} L_3=L_3-a*L_1 \quad \text{und} ~~ a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> (a-1)y+(a^2-1)z=a-1<br /> \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} L_3=L_3-L_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> (a^2+a-2)z=a-1 <br /> \end{eqnarray*}$
------------------------------------------------------------------------
Zeile3 faktorisiert:

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> (a+2)(a-1)z=a-1<br /> \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du anhand von Zeile3 die Fragen beantworten.

Ich habe es mal ausführlich hingeschrieben, damit du siehst, wie es systematisch geht.

05.02.2013, 16:29

Pauline21

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RE: Gleichungssysteme
Dann bekommen wir ja:

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{a+2} <br /> <br /> a=y<br /> <br /> x=\frac{a+2}{a^2+2a+1} \end{eqnarray*}$

stimmt das ?

05.02.2013, 19:01

Dopap

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RE: Gleichungssysteme
stimmt leider nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{a+2} <br /> <br /> y=\frac{1}{a+2}<br /> <br /> x=\frac{1}{a+2} \end{eqnarray*}$

A.)das ist eine Lösung, wenn $\begin{eqnarray*} a \neq {-2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq 1 \end{eqnarray*}$ ist.

Du sollst anhand der dritten Zeile feststellen, wann es genau eine Lösung ( schon erledigt ), wann es unendlich viele Lösungen B.) und wann es keine Lösungen C.) gibt.
Und die Lösungsmengen explizit angeben.

07.02.2013, 20:40

Pauline21

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RE: Gleichungssysteme
Und das war alles ? Hammer

Hammer

2) Geht analog nur das ist ja unterbestimmt verwirrt

verwirrt

07.02.2013, 22:35

Dopap

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RE: Gleichungssysteme

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} (a+2)(a-1)z=a-1<br /> \end{eqnarray*}$

jetzt kannst du anhand von Zeile3 die Fragen beantworten.

Also nochmal.

$\begin{eqnarray*} A.) a+2 \neq 0 \land a-1 \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ genau 1 Lösung

$\begin{eqnarray*} B.) a-1 = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen ( unterbestimmt )

$\begin{eqnarray*} C.) a+2=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine Lösung

07.02.2013, 23:15

Pauline21

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RE: Gleichungssysteme
Könnten wir das an Beispielen verdeutlichen ? Mir ist das noch nicht ganz so klar.

07.02.2013, 23:32

Dopap

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RE: Gleichungssysteme
$\begin{eqnarray*} A.) a+2 \neq 0 \land a-1 \neq 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ genau 1 Lösung

$\begin{eqnarray*} B.) a-1 = 0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ unendlich viele Lösungen ( unterbestimmt )

$\begin{eqnarray*} C.) a+2=0 \Rightarrow \end{eqnarray*}$ keine Lösung[/quote]

Beispiele.

A.) $\begin{eqnarray*} 36866 z=50917 \rightarrow \end{eqnarray*}$ eine Lösung: $\begin{eqnarray*} z = \frac {50917}{36866} \end{eqnarray*}$

B.) $\begin{eqnarray*} 0\cdot z = 0 \end{eqnarray*}$ : hierbei kann z jede beliebige Zahl sein

C.) $\begin{eqnarray*} 0\cdot z= -3 \end{eqnarray*}$ : das ist nicht möglich, Widerspruch

08.02.2013, 13:59

Pauline21

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RE: Gleichungssysteme

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> x+ay +z=1<br /> ax+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} L_2=L_2-L_1 \end{eqnarray*}$ :

das bedeutet: subtrahiere von Zeile2 die Zeile1 und schreibe zurück.

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> ax+y+z=1<br /> \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------
$\begin{eqnarray*} L_3=L_3-a*L_1 \quad \text{und} ~~ a\neq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> x+y+a z=1<br /> (a-1)y-(a-1)z=0<br /> (a-1)y+(a^2-1)z=a-1<br /> \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------------------

Bei $\begin{eqnarray*} L_2=L_2-L_1 \end{eqnarray*}$ wird von der 2. Zeile die erste subtrahiert. Das haut hin.

Jedoch bei $\begin{eqnarray*} L_3=L_3-a*L_1 \quad \text{und} ~~ a\neq 0 \end{eqnarray*}$
Wir subtrahieren von der 3. Zeile -a mal die erste Zeile
dann müsste doch da stehen in der 3. Zeile

$\begin{eqnarray*} <br /> (1-a)y+(1-a^2)z=1-a<br /> \end{eqnarray*}$

08.02.2013, 14:27

Dopap

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RE: Gleichungssysteme

Zitat:

Original von Pauline21
Jedoch bei $\begin{eqnarray*} L_3=L_3-a*L_1 \quad \text{und} ~~ a\neq 0 \end{eqnarray*}$
Wir subtrahieren von der 3. Zeile -a mal die erste Zeile
dann müsste doch da stehen in der 3. Zeile

$\begin{eqnarray*} <br /> (1-a)y+(1-a^2)z=1-a<br /> \end{eqnarray*}$

wenn du es mit -1 multiplizierst, dann stimmt es.

08.02.2013, 15:43

Pauline21

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RE: Gleichungssysteme
Im ersten Schritt wurde aber auch nur die zweite Zeile - die erste gerechnet und da wurde nicht noch mal -1 gerechnet. Also ist

$\begin{eqnarray*} L_3=L_3-a*L_1 \quad \text{und} ~~ a\neq 0 \end{eqnarray*}$

das nicht korrekt mit dem was gemacht wurde, weil noch mal -1 multipliziert werden müssten ?
Man rechnet zudem a mal die erste müsste man die erste dann oben nicht auch noch mal a nehmen?

08.02.2013, 17:18

Dopap

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ich bitte vielmals um Entschuldigung.

Ich sah' eben dreimal einen Faktor mit a oder a^2 als 2. Summanden, und habe dann eben aus Schönheit alles herumgedreht.

Also: korrekt wäre L3=-L3+a*L1 gewesen.

und das Multiplizieren einer Gleichung mit einer Zahl $\begin{eqnarray*} \neq 0 \end{eqnarray*}$ gehört zu den zulässigen Operationen.

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