Integral von 1/a^x

04.02.2013, 20:07	huhu1234	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von 1/a^x Hallo könnt ihr mir erklären wie ich auf das Integral komme: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{a^x} \, dx = -\frac{1}{a^{x}ln(a) } \end{eqnarray}$ Ich weiß: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{x} \, dx = ln(x) \end{eqnarray*}$ aber was bringt mir das?
04.02.2013, 20:17	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von 1/a^x Nutze $\begin{eqnarray} a^x = e^{\ln(a^x)} = e^{x \cdot \ln(a)} \end{eqnarray}$
04.02.2013, 20:59	huhu1234	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von 1/a^x $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{b^{x} } \, dx = \int \! e^{ln(b)x} \, dx \end{eqnarray}$ Danach Substituiere ich mit z = ln(b)x und z'=ln(b) $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{e^{z}} \, dx \end{eqnarray}$ weil, $\begin{eqnarray} z' =\frac{dz}{dx} \Rightarrow dx = \frac{dz}{z'} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{e^{z}} \, dx = \frac{1}{z'}\int \! \frac{1}{e^{z}} \, dz = -\frac{1}{z'e^{z}}<br /> \end{eqnarray}$ Rücksubstitution: $\begin{eqnarray} <br /> -\frac{1}{z'e^{z}} =- \frac{1}{ln(b)e^{xln(b)}} = -\frac{1}{ln(b)b^x}<br /> \end{eqnarray*}$ Danke vielmals für den Tipp!
05.02.2013, 08:29	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von 1/a^x Das ist teilweise falsch und auch formal wackelig. Erstmal gilt: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{b^{x} } \, dx = \int \! \frac{1}{e^{ln(b)x}} \, dx \end{eqnarray}$ Dann darfst du normalerweise das $\begin{eqnarray} \frac{1}{z'} \end{eqnarray}$ nicht vor das Integral ziehen. In diesem Fall geht das ausnahmsweise nur, weil z' eine Konstante ist. So wäre es richtig: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{e^{ln(b)x}} \, dx = \int \frac{1}{e^z} ~ \frac{dz}{ln(b)} = \frac{1}{ln(b)} \cdot \int \frac{1}{e^z} ~dz = ... \end{eqnarray}$

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