Komplexe Zahlen

04.02.2013, 21:25

Mathe 1905

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Komplexe Zahlen

Guten Abend,
Ich bin grad beim Lernen für meine Klausur, die ich schon bald schreibe. Beim Thema Komplexe Zahlen hab ich leider noch meine Schwierigkeiten.
Die Aufgabe bei der ich nicht wirklich weiter komme lautet:

Bestimmen Sie jeweils Real- und Imaginarteil, sowie Betrag und Argument der folgenden komplexen Zahlen:
z1 = (2-i)/(3i+(i-1)^2)
z2 = 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2))

Mein Ansatz:
z1= (2-i)/(3i+(i-1)^2) = 2-i/3i+i^2-2i+1 = 2-i/i

Leider ist das was ich habe ziemlich wenig. Ich hoffe, dass ihr mir ein wenig weiterhelfen könnt. Würde mich wirklich sehr freuen smile

smile

04.02.2013, 23:22

Helferlein

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Fehlt doch nur noch Erweitern mit i und eine richtige Klammersetzung.

05.02.2013, 00:42

Mathe 1905

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RE: Komplexe Zahlen
hmm...müsste ich dann nicht mit -1/-1 erweitern?

also:

$\begin{eqnarray*} \frac{2-i}{i}*\frac{-i}{-i} = \frac{2+i^2}{-i^2} =\frac{2-1}{1} =1 \end{eqnarray*}$

aber jetzt krieg ich ya nur ne 1 raus verwirrt

verwirrt

05.02.2013, 01:48

Helferlein

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Weil Du im ersten Schritt den Zähler nicht richtig ausgerechnet hast. Da fehlt ein i

05.02.2013, 02:35

Mathe 1905

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ach ya sry Finger1

Finger1

also:

= -2i-1

--> Re{z1}=-1 und Im{z1}=-2
So richtig ?
Und das selbe jetzt mit z2 oder?
Habs zwar ein wenig probiert aber komme gar nicht damit klar unglücklich

unglücklich

05.02.2013, 07:03

Helferlein

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Da musst Du erst einmal den Cosinus und Sinus ausrechnen. Der Rest ist dann Formsache.

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05.02.2013, 14:16

Mathe 1905

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Hmm...wie rechne ich denn den sinus und cosinus aus ?
Mittels der eulerschen formel ?
Ich versteh aber nicht wirklich wie man das macht unglücklich

unglücklich

05.02.2013, 16:37

Mathe 1905

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Also ich hab jetzt bei z1 versucht noch den Betrag und das Argument zu berechnen:

$\begin{eqnarray*} Betrag :\sqrt{5} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Argument: cos\gamma =\frac{-1}{\sqrt{5} }\Rightarrow sin\gamma =\frac{-2}{\sqrt{5} } \end{eqnarray*}$

Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
Ich komm aber leider bei z2 gar nicht zurecht. Kann mir jemand behilflich sein ? smile

smile

05.02.2013, 16:49

Bummbumm

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$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) \end{eqnarray*}$
Das ist eine Multiplikation von 2 komplexen Zahlen. Wenn du beide in die Eulerform bringst, kannst du diese Multiplikation ausführen, indem du die Beträge multiplizierst und die Winkel im Exponenten addierst.

Gruß

05.02.2013, 16:53

mYthos

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Zitat:

Original von Mathe 1905
...
Kann mir jemand sagen ob das richtig ist?
...

Nein, das ist es nicht, denn du hast sin und cos vertauscht!

Beim Realteil steht immer der Cosinus, beim Imaginärteil der Sinus!

05.02.2013, 16:57

mYthos

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Zitat:

Original von Bummbumm
$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) \end{eqnarray*}$
Das ist eine Multiplikation von 2 komplexen Zahlen. Wenn du beide in die Eulerform bringst, kannst du diese Multiplikation ausführen, indem du die Beträge multiplizierst und die Winkel im Exponenten addierst.
...

Wozu? Ich sehe das eher als einfache Addition zweier rein imaginärer Zahlen:

... = 2i * 0 + i * (-1)

mY+

05.02.2013, 17:01

Bummbumm

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Wieso nicht?

$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) = 2*exp(pi) * exp(3pi/2) = 2 * exp(5pi/2) \end{eqnarray*}$

Ist genauso einfach und im Kopf ausrechenbar.

05.02.2013, 17:02

Bummbumm

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Sorry, im Kopf verrechnet! Big Laugh

Big Laugh

$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) = 2*exp(pi/2) * exp(3pi/2) \end{eqnarray*}$

Gruß

05.02.2013, 17:08

mYthos

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Zitat:

Original von Bummbumm
Wieso nicht?

$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) = 2*exp(pi) * exp(3pi/2) = 2 * exp(5pi/2) \end{eqnarray*}$

Ist genauso einfach und im Kopf ausrechenbar.

Ganz und gar nicht und es ist noch dazu falsch! Wo ist das i hingekommen?

05.02.2013, 17:14

Bummbumm2

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Richtig, das i habe ich vergessen. Ist schon etwas länger her mit den komplexen Zahlen, sorry.

$\begin{eqnarray*} 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) = 2 * exp(i*pi/2) * exp(i * 3pi/2) = 2 * exp(i * 2pi) \end{eqnarray*}$

Trotzdem, das kann man im Kopf rechnen, wenn man es in Ruhe macht.

05.02.2013, 17:37

mYthos

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Dein Ergebnis stimmt noch immer nicht! Das kommt ganz bestimmt nicht heraus. Warum beharrst du auf einer völlig umständlichen und noch dazu falschen Rechnung, wenn das Ergebnis mittels einer einzigen kleinen Umformung sofort dasteht? Hast du das überhaupt nachvollziehen können?

Bedenke auch noch, dass du damit dem Fragesteller überhaupt nicht hilfst, sondern ihn im Gegenteil nur unnötig verwirrst. Das ist nicht im Sinne unseres Boards und dagegen muss ich ein ganz energisches Veto einlegen.

mY+

05.02.2013, 17:41

Bummbumm2

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Also, vielleicht solltest du auch noch mal dein Ergebnis überdenken.

Zitat:

Wozu? Ich sehe das eher als einfache Addition zweier rein imaginärer Zahlen: ... = 2i * 0 + i * (-1) mY+

Das stimmt nämlich noch weniger. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gruß

05.02.2013, 17:46

mYthos

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Wenn du das jetzt nicht sofort schlüssig begründen kannst, muss ich davon ausgehen, dass du hier den Troll spielen willst. Was das zur Folge hat, kannst du dir dann selbst ausmalen.

05.02.2013, 17:50

Bummbumm

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Klar, warte, ich rechne es dir im Kopf aus:

$\begin{eqnarray*} z2 = 2i*(cos(3pi/2)+i*sin(3pi/2)) \end{eqnarray*}$

Dein Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} = 2i * 0 + i * (-1) \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis wäre -i.

Falsch!

$\begin{eqnarray*} sin(3pi/2) = -1 \end{eqnarray*}$

Richtig!

$\begin{eqnarray*} cos(3pi/2) = 0 \end{eqnarray*}$

Richtig!

Aber du hast Klammern vergessen:

$\begin{eqnarray*} = 2i * (0 + i * (-1)) = 2 \end{eqnarray*}$

Das kommt auch bei mir raus!

Jetzt hätte ich gerne eine Entschuldigung für den „Troll“!

Gruß

05.02.2013, 18:04

mYthos

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Der Troll war eine "Wenn-Aussage", ich habe dich NOCH NICHT als solchen bezeichnet.
Aber dennoch, ich entschuldige mich gerne bei dir, denn ich habe die Klammern beim Threadsteller wirklich übersehen.
___________

Bedenke aber, dass auch du einige Fehler gemacht hast, der meinige beruhte nur auf einer fehlenden Voraussetzung für die Klammer.

Und ich bin aber nach wie vor der Auffassung, dass auch bei der veränderten Ausgangslage das Beispiel wesentlich einfacher zu rechnen ist, genau so, wie du es zum Schluss jetzt selbst vorgeführt hast (und die Rechnung innerhalb der Klammer war ja auch meine Rechnung):

2i*(0 - i) = -2i² = 2

Das ist alles und es ist doch gut so, oder nicht?

mY+

05.02.2013, 18:08

Bummbumm

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Ja, sieht gut aus, meine Lösung ist aber nicht komplizierter. Vor der Euler-Form braucht man keine Angst zu haben. Das ist alles!

Gruß

06.02.2013, 01:43

Mathe 1905

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Es tut mir echt leid dass ich so dumm nachfrage, aber ich versteh immernoch nicht wirklich wie ihr darauf kommt, dass cos(3pi/2)=0 und sin(3pi/2)=-1 sind unglücklich

unglücklich

06.02.2013, 01:49

mYthos

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3pi/2 sind im Gradmaß 270° und am Einheitskreis ist das dann sehr gut zu sehen (waagrecht: cos, senkrecht: sin)

mY+

06.02.2013, 02:00

Mathe 1905

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Ach ya stimmt Finger1

Finger1

cool vielen dank
Hmm...aber was bringt mir jetzt die 2, die dabei rauskommt ? Ich muss ya den real- und imaginärteil, das Argument und den Betrag dieser komplexen Zahl bestimmen

06.02.2013, 02:11

mYthos

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2 ist ebenfalls ein Element des komplexen Zahlenbereiches, mit eben einer Besonderheit, was den Imaginärteil und den Winkel betrifft.

mY+

06.02.2013, 02:14

Mathe 1905

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Naya weiß leider jetzt nicht grad viel mehr unglücklich

unglücklich

06.02.2013, 02:28

mYthos

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Das glaube ich dir nicht!
Zeichne doch mal die Zahl 2 in der komplexen Zahlenebene, wie liegt dann dieser Zeiger? Wie lang ist er und welchen Winkel bildet er mit der reellen Achse?

mY+

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