Taylor Ln(x)

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04.02.2013, 22:29	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Taylor Ln(x) Meine Frage: Mh naja ich habe mich mal hier angemeldet, weil ich zur Zeit viel Mathe machen muss Hoffe ich finde Hilfe und nette Leute Hier meine erste Aufgabe: sum from k=1 to infinity (-1)^(k+1)/k (((x/xo))-1)^k) ich soll die taylordarstellung für ein beliebiges xo>0 finden Meine Ideen:* Naja, ich weiß wie man es allgemein aufstellt, aber mit dem xo komme ich zu keinem Ergebnis
04.02.2013, 23:19	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Melanie, bitte, bitte, bitte benutze den Formeleditor oder latex, sonst ist das sehr abschreckend. Ich hab das mal für dich übernommen. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{x}{x_0}-1)^k \end{eqnarray}$ Das meintest du doch, oder? Nun ist das ja schon die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} ln(\frac{x}{x_0}) \end{eqnarray}$ . Was genau ist die Aufgabe?
05.02.2013, 00:03	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, hab das nicht hinbekommen danke ich soll es "beweisen" bzw zeigen, dass das gilt
05.02.2013, 01:01	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Also kennt ihr die Rehenentwicklung von $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ bereits!?! Wenn ja, schau dir doch die Definition nochmal an. Vor allem, welche weiteren Vorraussetzungen es gibt. (genauer: Für welche x ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(x-1)^k \end{eqnarray}$ die Taylorreihe zu $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ ?)
05.02.2013, 01:35	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
EDIT: Mir kommt die Aufgabe wie ich sie im Moment verstehe etwas eigenartig vor. Bitte schreib doch nochmal die exakte Aufgabenstellung auf.
05.02.2013, 10:45	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier die Aufgabenstellung: f(x)=ln(x) ist zu betrachten. Zeigen Sie, dass für die Taylor-Approx von f in beliebigem xo>0 geschrieben werden kann: dann folgt obige Formel
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05.02.2013, 16:12	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun gut, $\begin{eqnarray} x_0>0 \end{eqnarray}$ ist also der Entwiklungspunkt. Da hab ich mich am Anfang täuschen lassen, weil das ganze ähnlich aussieht wie die Entwicklung zum Punkt 1. Die obige Formel ist allerdings nicht dieTaylorentwicklung von ln(x) für beliebigen Entwicklungspunkt. Es fehlt der k=0 term.
05.02.2013, 16:33	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Was für ein k=0 Term?
05.02.2013, 17:33	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei einer Taylorreihe (Definition:http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe) läuft die Summe von 0 bis unendlich. Dei Summe die du aufgeschrieben hast bekinnt bei k=1. Es fehlt also der Term, der für k=0 entsteht und im Allgemeinen nicht 0 ist. Genauer: Es fehlt ein $\begin{eqnarray} +ln(x_o) \end{eqnarray}$ damit die Behauptung stimmt. Für einen beliebigen Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} x_0>0 \end{eqnarray}$ ist die Tailorentwicklung von $\begin{eqnarray} f(x)=ln(x) \end{eqnarray}$ also: $\begin{eqnarray} ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{x}{x_0}-1)^k \end{eqnarray}$ Deine Aufgabe wäre es, diese Aussage zu zeigen. Ansatz: Dazu nimmst du am besten die allgemeine Definition für eine Taylorreihe her und setzt ln(x) für f(x) ein. Durch umformungen kannst du dann die Summe aus der Behauptung erhalten. Versuch das mal und präsentiere deine Ergebnisse. Ich helfe dann weiter.
05.02.2013, 18:15	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
also: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> ln(xo)+\frac{1}{x} (x-xo)-\frac{1}{x²} (x-xo)²<br /> <br /> ln(xo)+1-\frac{xo}{x} - \frac{x²-2xox+xo²}{x²} \end{eqnarray*}$
06.02.2013, 01:12	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja prinzipiell schon. Bedenke bitte, dass du $\begin{eqnarray} x_o \end{eqnarray}$ in $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ einsetzt, sodass $\begin{eqnarray} \frac{1}{x_0} \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \frac{1}{x} \end{eqnarray}$ bei der ersten Ableitung herauskommt. (bei der zweiten und allen folgenden Ableitungen ists natürlich auch $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ ). Bei dem quadratischen Term solltest du lieber geschickt kürzen, statt es auzumultiplizieren. Es fällt mir schwer hier einen sinnvollen Hinweis zu geben ohne direkt zu sagen, was es ist aber dennoch der Versuch: Bedenke: $\begin{eqnarray} \frac{(a)^e}{(b)^e}=(\frac{a}{b})^e \end{eqnarray}$ . Das ganze ist nun aber erst 2. Grades. Für die Summe musst du dir überlegen wie das für jeden Grad aussieht. Schreib dir mal die Tailorreihe wie bisher (unter Berücksichtigung der Korrekturen natürlich) auf, und füge noch ein paar schritta an, vielleicht kannst du dann erkennen, wie die Summe $\begin{eqnarray} ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{x}{x_0}-1)^k \end{eqnarray}$ aufbaut. Schreib mir was du hast, und ich versuche witere Tipps zu geben.
06.02.2013, 11:49	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} <br /> <br /> ln(xo)+\frac{x}{x0} -\frac{xo}{xo} - \frac{1²}{xo²} (x-xo)² ... (-1)^{n} \frac{1}{xo^{n} } (x-xo)^{n} \end{eqnarray}$ so?
06.02.2013, 12:56	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht ganz, aber fast Was noch zu korrigieren ist: Du hast das $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ aus dem Taylorpolinom ganz ausser acht gelassen. Der Bruch muss noch in die Summanden. Nach dem, was du da geschrieben hast ist die k-te Ableitung vom $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^k} \end{eqnarray}$ . Das stimmt aber nicht. Du musst ja bei jeder weiteren Ableitung den (negativen) Exponenten der Funktion als Faktor vor die Ableitung schreiben. Die Richtige Ableitung ist also $\begin{eqnarray} (-1)^{k+1}\cdot(k-1)!\cdot\frac{1}{x^k} \end{eqnarray}$ (Ist dir das klar? Sonst frag) Zu guter letzt: Um zu Verhindern, dass du mit den Vorzeichen durcheinander kommst, kannst du dir Klammern um die Summanden der Reihe setzen.
06.02.2013, 13:09	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit der schrecklichen Fakultät verstehe ich leider nicht so ganz. Was bewirkt diese?
06.02.2013, 13:35	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (k-1)!=1\cdot2\cdot3\cdot...\cdot(k-2)\cdot(k-1) \end{eqnarray}$ , also das Produkt der natürlichen Zahlen von 1 bis (k-1). Wenn ich also die Faktoren die bei den Ableitungen dazu kommen aufmultipliziere, lande ich in der k-ten Ableitung bei (k-1)!.
06.02.2013, 15:36	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
sry, wofür ist das denn gut?
06.02.2013, 19:02	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Ähm, die schreibweise oder in diesem speziellen Fall?
06.02.2013, 23:11	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
In diesem Fall
07.02.2013, 00:57	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja, das $\begin{eqnarray} \frac{1}{k!} \end{eqnarray}$ ist Teil der Definition der Taylorreihe. Das nehmen wir mal so hin. Das $\begin{eqnarray} (k-1)! \end{eqnarray}$ brauchen wir wie gesagt für die Faktoren, die sich bei mehrfachem Ableiten von $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ so ansammeln. Ich schreib mal ein paar auf: Sei $\begin{eqnarray} f(x)=ln(x) \end{eqnarray}$ . Dann ist $\begin{eqnarray} f'(x)=\frac{1}{x^1}\\f''(x)=(-1)\frac{1}{x^2}\\f^{(3)}(x)=(-1)\cdot(-2)\frac{1}{x^3}\\f^{(4)}(x)=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\frac{1}{x^4}\\f^{(5)}(x)=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\frac{1}{x^5}\\f^{(6)}(x)=(-1)\cdot(-2)\cdot(-3)\cdot(-4)\cdot(-5)\frac{1}{x^6} \end{eqnarray}$ Und so weiter, und so fort... Wie du siehst werden da alle natürlichen Zahlen von 1 bis "eins kleiner als die '#' der Ableitung" aufmultipliziert (Hier sind mit Absicht ganz viele Anführungszeichen, weil das sehr schludrig formuliert ist, aber ich hoffe du verstehst so was ich meine). Diese Multiplikation drücken wir mit Hilfe der Fakultät aus. Für die 3. Ableitung ist der Vorfaktor also $\begin{eqnarray} (3-1)!=2! \end{eqnarray}$ , für die 5. ist er $\begin{eqnarray} (5-1)!=4! \end{eqnarray}$ und für eine beliebige k-te Ableitung eben grade: $\begin{eqnarray} (k-1)! \end{eqnarray}$ . Was ich bisher außer Acht gelassen habe sind die Vorzeichen. Das soll sich jetzt ändern: Dadurch, dass der Exponent von x in den Ableitungen negativ ist (erinnere: $\begin{eqnarray} \frac{1}{x^e}=x^{(-e)} \end{eqnarray}$ ), haben auch die in den folgenden Ableitungen entstehenden Vorfaktoren negatives Vorzeichen. Wie du sehen kannst, haben ungerade Ableitungen eine gerade Anzahl von negativen Vorfaktoren und sind somit insgesamt positiv. Für eine beliebige k-te Ableitung kann ich das darstellen durch $\begin{eqnarray} (-1)^{k+1} \end{eqnarray}$ .
07.02.2013, 13:49	Melanie90.	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie komme ich denn damit zu der geforderten Darstellung?!
07.02.2013, 16:03	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Du weißt jetzt, das die k-te Ableitung von ln(x_0) so ausschaut: $\begin{eqnarray} f^{(k)}(x_0)=(k-1)!\cdot(-1)^{k+1}\cdot{x_0}^{-k},\ k\in\mathbb{N}\setminus\lbrace0\rbrace,\ x_0>0 \end{eqnarray}$ Das stimmt nicht für die "nullte Ableitung", also die Funktion ln(x) selber. Deswegen musst du den zuvor schon erwähnten k=0 Term aus der Taylorreihe herausziehen. Dann startet die Summe bei 1 und du kannst für die Ableitung den obigen Ausdruck einsetzen. Der Rest ist Kürzen und du hast gezeigt, was du zeigen wolltest. PS: Nur für den Fall, das dich das verwirrt: Bei Wikipedia heißt der Laufindex der Summe "n", bei uns "k". Das ist aber nur Namensgebung. Du kannst hier das n einfach durch k ersetzen.
07.02.2013, 16:58	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber die Fakultät taucht da ja nicht mehr auf?! sonst könnte ich doch den n=0 Term sprich $\begin{eqnarray} ln(xo) \end{eqnarray}$ einfach addieren die Summe startet ja mit n=1 also der ersten Ableitung
07.02.2013, 17:15	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie gesagt: Der Rest ist kürzen. Die Fakultät taucht nicht mehr auf, weil sie sich mit k! kürzt. Ja, du kannst $\begin{eqnarray} ln(x_0) \end{eqnarray}$ einfach addieren und dann die Summe bei 1 starten lassen. Das meinte ich mit "aus der Summe heraus ziehen".
07.02.2013, 20:54	Melanie90	Auf diesen Beitrag antworten »
so ganz kapier ich das nicht... mh schreib morgen leider auch schon die klausur
08.02.2013, 00:17	Delorios	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade. Nunja, dann abschließend noch die Lösung: Wir wollen zeigen, das die Taylorentwicklung von $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ für beliebigen Entwicklungspunkt $\begin{eqnarray} {x_0}>0 \end{eqnarray}$ gegeben ist durch: $\begin{eqnarray} ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{x}{x_0}-1)^k \end{eqnarray}$ . Sei nun $\begin{eqnarray} f(x)=ln(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} {x_0}>0 \end{eqnarray}$ dann ist die Taylorreihe von $\begin{eqnarray} ln(x) \end{eqnarray}$ mit Entwicklungsounkt $\begin{eqnarray} x_0 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{(f)^{(k)}(x_0)}{k!}\cdot({x}-{x_0})^k\\<br /> =ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(k-1)!\cdot(-1)^{k+1}\cdot{x_0}^{-k}}{k!}\cdot({x}-{x_0})^k\\<br /> =ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{{(k-1)!}\cdot(-1)^{k+1}}{{(k-1)!}\cdot{k}}\cdot({x}-{x_0})^k\cdot{x_0}^{-k}\\<br /> =ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot\frac{({x}-{x_0})^k}{{x_0}^k}\\<br /> =ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{{x}-{x_0}}{x_0})^k\\<br /> =ln(x_0)+\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k}\cdot(\frac{x}{x_0}-1)^k\\ \end{eqnarray}$ Damit ist gezeigt was wir zeigen wollten. Ich dachte ich hätte dir alles an die Hand gegeben um diese Umformungen selbst schaffen zu können. Dem war wohl nicht so. Viel Erfolg bei der Klausur!!

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