x^n-1=0 sieht leicht aus ist es aber net

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Xmas Auf diesen Beitrag antworten »
x^n-1=0 sieht leicht aus ist es aber net
Also ich hab da nen prob,

Also x^n-1=0
hat bei geradem n die lösunde 1 und -1
bei allen anderen (komplexe ausgenommen) 1
das konnte ich beweisen

Leider hat die gleichung für n=3 und n=4 nähmlich
bei n=3 x=-1/2+1/2*(-3^0,5) und x=-1/2-1/2*(-3^0,5)
bei n=4 kommen die Lösungen 1; -1; -1^0,5 und -(-1^0,5)
bei n=8 kommen die lösungen 1; -1; (-1)^0,5 ; -((-1)^0,5) ; (-1)^0,25 und (-((-1)^0,5))^0,5 :P

So und jetz kommt die krönung wieviele lösungen hat man bei n=5,6,7,8,9,10,11,..... und wie komme ich auf die ??? Und ich meine die komplexen.

Und frage 2 was passiert bei einem Irationalen oder komplexen exponenten???

Erlich gesagt hab ich keinen blassen schimmer ich krieg immer nur :P und das raus X(
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Xmas,

wie bist du denn auf die Loesungen fuer n=3,4, und 8 gekommen?

Diese Loesungen sind nicht nur nicht rational (irrational) sondern nicht einmal reell (also komplex).

Was meinst du mit einem irrationalen Exponenten? Meinst du tatsaechlich soetwas wie
?

Gruss,
SirJective
Xmas Auf diesen Beitrag antworten »

ne ich hab irrational und komplex durchgemischt

x^(i) -1=0
und sogar
x^(i*Pi)-1=0

ihr sollt doch was zum knobeln haben ^^ lol und genau wie ich :P werden

also der beweis das es keine lösungen für x^n-1=0 wobei n und x reel sind den hab ich er geht über 2 1/2 seiten und hat mich 4std arbeit gekostet also x^Pi -1=0 ist bereits soweit geknackt das die einzige reelle lösung 1 ist.


Also ich will fair sein und meine erkenntnisse über 3,4 und 8 verraten:

Also bei x^4-^=0
x^4=1
x^2=+-1
x=+- (+-1)^0,5

bei 8 mit der selben methode
x=+-((+-((+-1)^0,5)^0,5)
das sind 8 lösungen oben fehlen 2 aber egal

und bei 3

also
x^3-1=0
x^3=1
x=1
=>
(x^3-1)/(x-1)=x²+x+1 |||Polinomdivision
also
x^3-1=(x-1)(x²+x+1)=0
also setzt man
x²+x+1=0
und macht pq-formel
und kommt auf
x=1/2+-1/2*(-3)^0,5

+- soll plus minus heißen also 2 lösungen und nicht +- entspricht -

des weiteren habe ich gefunden das:
x^n-1=0
=>
(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+......+x²+x+1
also x^n-1=0
=> entweder x-1=0 =>x=1
oder [Summe von 0 bis n-1] x^z=0

dies hat keine Reelle lösung außer 1 (und eventuell -1)unter der bedingund das n reell ist

das hab ich schon bewiesen so für die Komplexen lass ich euch mal ran
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Den Beweis koenntest du dir wohl erleichtern, wenn du

verwendest. Da sowohl ln als auch exp fuer x>0 streng monoton wachsen, ist auch x^n streng monoton wachsend, fuer jedes x>0 und reelles n>0. Da 1^n = 1 ist, ist das die einzige Loesung.
8)

Fuer komplexe x oder n wird die Sache dadurch deutlich komplexer Augenzwinkern , dass der Logarithmus mehrwertig ist, dass also ln(x) unendlich viele verschiedene Werte annimmt. Im allgemeinen hat also x^n fuer irrationale n unendlich viele Werte. Welche x fuer gegebenes n dann einmal den Wert 1 annehmen, ist also schwerer zu beantworten.


Du hast also fuer n=3,4,8 jeweils eine "ad hoc"-Methode verwendet (die auf dieses n zugeschnitten ist, und bei anderen n versagt). Bei n=8 fehlen dir sogar noch zwei Loesungen - du hast erst 6, es gibt aber 8, da ja jede Loesung von n=4 zwei Quadratwurzeln hat.

Gruss,
SirJective
Irrlicht Auf diesen Beitrag antworten »

Verschoben nach Analysis
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Xmas
(x^n-1)/(x-1)=x^(n-1)+x^(n-2)+x^(n-3)+x^(n-4)+......+x²+x+1
[...]
dies hat keine Reelle lösung außer 1 (und eventuell -1)unter der bedingund das n reell ist


Wie sieht (x^n-1)/(x-1) aus fuer irrationale n? Funktioniert die Summendarstellung da auch?
 
 
Xmas Auf diesen Beitrag antworten »

dein bewieß is lahm
ich find polinomdivision mit dem ergebniss einer unendlichen summen besser die einem geraden n sogar noch durch (x+1) teilbar ist mit dem ergebnis

(x+1)(x-1)(x^(n-2)+x^(n-4)+x^(n-6)+x^(n-8 )....x^4+x²+1)=x^n-1=0

vll hilft das ja auch später noch bei den komplexen verwirrt
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Xmas
dein bewieß is lahm


Und? Stoert dich das an einem Beweis?

Zitat:
ich find polinomdivision mit dem ergebniss einer unendlichen summen besser die einem geraden n sogar noch durch (x+1) teilbar ist mit dem ergebnis

(x+1)(x-1)(x^(n-2)+x^(n-4)+x^(n-6)+x^(n-8 )....x^4+x²+1)=x^n-1=0


Dir ist schon klar, dass x^pi - 1 kein Polynom ist, du also keine Polynomdivision darauf anwenden kannst, oder?

Gruss,
SirJective
karl_k0ch Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von SirJective
Den Beweis koenntest du dir wohl erleichtern, wenn du


Fuer komplexe x oder n wird die Sache dadurch deutlich komplexer Augenzwinkern , dass der Logarithmus mehrwertig ist, dass also ln(x) unendlich viele verschiedene Werte annimmt. Im allgemeinen hat also x^n fuer irrationale n unendlich viele Werte. Welche x fuer gegebenes n dann einmal den Wert 1 annehmen, ist also schwerer zu beantworten.


Gruss,
SirJective


Aber wir könnten doch den Hauptzweig (heisst der so?) des Komplexen Logarithmusses nehmen und hätten mit log(r*e(phi)) := log(r) + i*phi einen einigermassen netten Ausdruck, oder?
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

Stellt euch die Komplexen Zahlen doch mal grafisch vor...

n-te Wurzel von 1 heißt doch einfach den einheitskreis in n teile zu teilen.

denn multiplizieren heißt ja winkel addieren...

daher muss zwischen den komplexen zahlen immer ein winkel von 2pi/n sein

malt euch das mal auf.. dann isses kinderleicht alle n wurzeln von 1 zu bekommen.
therisen Auf diesen Beitrag antworten »

henrik: Hast du schon mal geschaut, wie alt dieser Thread mittlerweile ist? Ich glaube kaum, dass der Threadstarter noch an einer Lösung interessiert ist. Man sollte Tote ruhen lassen.

Gruß, therisen
henrik Auf diesen Beitrag antworten »

nö darauf hab ich ned geachtet
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