Fixpunktsatz von Banach - Seite 2

06.02.2013, 09:37

Patrick1990

Also einfach $\begin{eqnarray*} |f(x)|=e^{-x} \end{eqnarray*}$ oder?

06.02.2013, 09:42

Che Netzer

Ja, genau.
Und wie oben folgt nun $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-2}<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-x}\leq\mathrm e^{-2} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x\in[2,3] \end{eqnarray*}$ .
Ist das soweit klar?

Dann mal kurz zu den Voraussetzungen:
Die sind eigentlich nämlich anders. Erstens wird gefordert, dass der Definitionsbereich der Funktion abgeschlossen ist, was ihr wohl umgangen habt, indem ihr Intervalle $\begin{eqnarray*} [a,b] \end{eqnarray*}$ betrachtet.
Aber: Die Stetigkeit hättest du nicht extra zeigen müssen.
Wenn du mit dieser Aufgabe fertig bist, überlege dir mal, wieso jede kontraktive Funktion stetig ist.

06.02.2013, 09:54

Patrick1990

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Ja, das ist soweit klar.

Wie wähle ich jetzt die Kontraktionskonstante? Eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1?

Also wir haben ja nun gezeigt, dass die Funktion einen Fixpunkt besitzt.

Zu der Aussage, dass jede kontrastive Funktion stetig ist:

Zunächst muss ich erst einmal fragen, was ich genau unter einer kontrastiven Funktion verstehen kann. Die Funktion zieht sich bei mehrfacher Anwendung in sich zusammen habe ich gelesen. Wie kann ich mir das vorstellen?

06.02.2013, 10:00

Che Netzer

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Jetzt bin ich verwirrt.
Wie die Kontraktionskonstante zu wählen ist, hast du doch selbst geschrieben:

Zitat:

Original von Patrick1990
Ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ differenzierbar, so ist wegen $\begin{eqnarray*} \frac{|f(x)-f(y)|}{|x-y|} \leq L \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ gegeben durch $\begin{eqnarray*} L=max |f'(x)|, x \in [a,b] \end{eqnarray*}$

Und dieses Maximum haben wir schon bestimmt.

Und was eine kontrahierende Funktion (nicht "kontrastive") ist, hast du am Anfang des Threads auch selbst definiert.

06.02.2013, 10:07

Patrick1990

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Sorry, habe mich verschrieben.

Naja eine kontraktive Funktion ist eine, deren Lipschitzkonstante kleiner 0 ist, also Lipschitzstetig, oder?

Ich verstehe es so,
Es ist ein L gegeben durch L=max...
Mein L liegt zwischen 0 und 1. ich dachte aber, ich muss einen konkreten Zahlenwert für L angeben, aber im nachhinein, denke ich, ist dies ja nicht notwendig. Es ist bewiesen dass es einen Fixpunkt gibt.

06.02.2013, 10:15

Che Netzer

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Zitat:

Original von Patrick1990
Naja eine kontraktive Funktion ist eine, deren Lipschitzkonstante kleiner 0 ist, also Lipschitzstetig, oder?

Wenn das schon bekanntist, wieso habt ihr dann noch zusätzlich die Stetigkeit gefordert? verwirrt

Zitat:

ich dachte aber, ich muss einen konkreten Zahlenwert für L angeben, aber im nachhinein, denke ich, ist dies ja nicht notwendig. Es ist bewiesen dass es einen Fixpunkt gibt.

Wir haben doch aber einen konkreten Zahlenwert angegeben...

06.02.2013, 10:24

Patrick1990

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Jetzt noch einmal, um alle Unklarheiten zu beseitigen smile

Wir sollen den Nachweis der Voraussetzungen des Satzes bringen, die 3 Punkte haben wir ja abgearbeitet.

Weiterhin sollen wir EINE Kontraktionskonstante angeben.

06.02.2013, 10:50

Patrick1990

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Also ein Zahlenwert oder?

06.02.2013, 12:43

Che Netzer

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Ja. Und sieh dir mal an, wie wir im dritten Punkt die Kontraktivität bewiesen haben.

06.02.2013, 12:48

Patrick1990

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Mit der ersten Ableitung. In dem gegebenen Intervall muss das Maximum der ersten Ableitung der Funktion kleiner als 1 sein.