Fixpunktsatz von Banach

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Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Fixpunktsatz von Banach
Hallo,
Habe hier einen weiteren Problemfall.

Die Aufgabe lautet:

a.)
Man zeige mithilfe des Fixpunktsatzes von Banach, dass die Funktion mit im Intervall genau einen Fixpunkt x* besitzt (Nachweis der Voraussetzungen des Satzes), und gebe eine Kontraktionskonstante an.

Könnt ihr mir evtl. wie so ein kleines Tutorial geben?

Bisher habe ich noch nichts mit dem Satz zu tun gehabt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fixpunktsatz von Banach
Dann schreibe als erstes mal den Satz auf. Insbesondere solltest du beachten, was vorausgesetzt wird. Dazu kannst du dir eine kleine Liste machen.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist eine

- stetige Funktion

- die das Intervall auf sich selbst abbildet

- und die kontraktiv ist, d.h.

mit
(L...Lipschitz- oder Kontraktionskonstante)

dann gibt es genau ein mit .

Solche heißen Fixpunkte.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann mal das einfachste zuerst: Ist die Funktion stetig?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die e-Funktion ist im abgeschlossen Intervall [2;3] stetig.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, und deren Verknüpfung mit anderen stetigen Funktionen natürlich auch.
Jetzt zum nächsten Punkt:
Bildet die Funktion das Intervall wirklich auf sich selbst ab?
Kann es passieren, dass ein mit existiert?
 
 
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kann ich dies prüfen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dass in liegt, ist äquivalent dazu, dass in welchem Intervall liegt?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Im Intervall [0,1]?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich habe Probleme mit dem "in sich selbst abbilden".
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem [0;1] war ja Blödsinn, auch liegt in dem Intervall [2;3]
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1990
Im Intervall [0,1]?

Das war schon richtig. Wenn du Zwei zu einer Zahl aus addierst, landest du in .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann verstehe ich das grad glaub falsch...also ein Intervall [a,b] ist doch ein Bereich in x-Richtung. Wenn ich aber 2 addiere zum Beispiel zu dann verschiebe ich ja um 2 in y-Richtung?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

In diesem Fall geht es ja aber um das Intervall im Bildbereich.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay wie kann ich diesen Bildbereich verstehen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest eigentlich mit Bildbereichen/-mengen vertraut sein...
Die zu überprüfende Aussage ist:
Für ist auch .
D.h. das Bild von Werten in liegt wieder in .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Bilder haben wir schon einmal gehabt, jedoch nichts weiteres... Also ich verstehe es nun so, die gegebene Funktion bildet auf sich selbst ab, denn für alle ist auch er dazugehörige y-Wert im Intervall.
Wie kann man aber Software prüfen? Ich habe ja in der Klausur kein Programm zum Plotten oder einen Taschenrechner.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1990
Also ich verstehe es nun so, die gegebene Funktion bildet auf sich selbst ab, denn für alle ist auch er dazugehörige y-Wert im Intervall.

Ja, das klingt sinnvoll.

Zitat:
Wie kann man aber Software prüfen?

Äh?

Zitat:
Ich habe ja in der Klausur kein Programm zum Plotten oder einen Taschenrechner.

Taschenrechner und Plotter haben hier auch gar nichts verloren geschockt
Du kannst ganz elementar zeigen, dass , falls .
Wenn dir die Formulierung Probleme bereitet, kannst du äquivalent auch und zeigen.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Anstatt Software sollte dort "soetwas" stehen.

Das habe ich verstanden. Muss ich das extra noch zeigen oder kann ich einfach sagen

und ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Patrick1990
Muss ich das extra noch zeigen oder kann ich einfach sagen

und ?

Natürlich musst du das zeigen. Wieso sollte es denn gelten?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie zeigt man soetwas? unglücklich wir haben soetwas einmal mit einer Kosinusfunktion gehabt, dort kann man ja leicht sagen, dass sie immer nur Werte zwischen -1 und 1 annimmt. Aber wie ist das hier an diesem Beispiel?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal kannst du beide Ungleichungen etwas vereinfachen (per Äquivalenzumformung).
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich habe jetzt

und ich weiß, dass . Somit ist die untere Grenze schonmal abgesegnet. Und die obere?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn allein beweisen?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach stimmt, ist ja Blödsinn was ich gerade erzählt habe. Das hat überhaupt gar nichts mit dem zu tun. Sorry.

Also wie gehe ich nun vor?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Überlege doch einmal selbst.
Zumindest sollte kein Problem sein.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich kann sagen, dass für die e-Funktion ist. Sie wird nicht negativ.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn das mysteriöse nicht auf einmal aufgetaucht wäre, klänge das schon ganz sinnvoll.
Und hast du Ideen zu ?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Naja ich meine damit das sie Werte oberhalb der x-Achse annimmt.

Naja höchstens das sie bei x=0 den Wert 1 annimmt und weiter nach rechts hingehend immer kleiner wird, also muss sie zwischen 0 und 1 sein.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das solltest du dann nur etwas mathematischer formulieren, die Idee ist aber richtig.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie formuliert man das nun richtig?

Ich habe noch nie einen guten Riecher für diese Formulierungen gehabt.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dieses "nach rechts hingehend immer kleiner werdend" – welchen Fachbegriff kennst du dafür denn?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion ist streng monoton fallend.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Gut!
D.h. für , insbesondere also für .
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, nun muss noch überprüft werden, ob die Funktion kontraktiv ist, oder? Wie gehe ich da vor?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hattet ihr denn eine ähnliche Aufgabe schonmal besprochen?
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine ähnliche, jedoch hilft mir die irgendwie nicht weiter.

Wir haben dort gesagt:

Ist differenzierbar, so ist wegen ein gegeben durch
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Super, genau darauf hatte ich gehofft.
Die Aussage kannst du folgendermaßen verwerten:
Bilde die Ableitung der Funktion und dann den Betrag der Ableitung. Suche dann das Maximum dieses Betrages der Ableitung auf . Wenn das kleiner als Eins ist, hast du deine Kontraktionskonstante.
Patrick1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt noch einmal zum besseren Verständnis:

Ich soll die Ableitung bilden, diese ist .

Dann kann ich sagen , dass diese Funktion streng monoton steigend ist und bei den Wert annimmt.
L ist somit kleiner als 1.


Was kann ich aber damit nun anfangen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, so einfach geht das aber auch wieder nicht.
Du weißt jetzt, dass für .
Du möchtest aber für .

Bilde also zunächst einmal .
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