Asymptoten von y²-ax²-bx-c=0

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05.02.2013, 15:10	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Asymptoten von y²-ax²-bx-c=0 Meine Frage: Ich soll die Asymptoten von $\begin{eqnarray} <br /> y²-ax²-bx-c=0 \end{eqnarray}$ bestimmen. Meine Ideen: Zunächst habe ich versucht umzustellen: $\begin{eqnarray} <br /> y²=-ax²-bx-c<br /> <br /> y=\sqrt{-ax²-bx-c} <br /> <br /> y=i\sqrt{+ax²+bx+c} <br /> <br /> \lim_{x \to \infty } \frac{i\sqrt{+ax²+bx+c} }{x} \end{eqnarray}$ Und nun :/ Bitte seid so lieb und gebt mir einen Tipp
05.02.2013, 18:39	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, so kommst du nicht weiter. Wenn es eine Asymptote gibt, möge sie die Steigung m haben. Die Steigung ist nichts anderes als das Verhältnis y/x und dieses muss endlich sein, auch wenn x (und damit auch y) über alle Grenzen gehen. Wir berechnen es aus der Gleichung und lassen $\begin{eqnarray} x \to \infty \end{eqnarray}$ gehen. $\begin{eqnarray} y^2 = ax^2 + bx + c \quad \| \ : \ x^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} (\frac y x)^2 = \lim_{x \to \infty} (a + \frac b x + \frac c {x^2}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m^2 = \ldots \end{eqnarray}$ (2 Lösungen) Nun brauchen wir noch einen Punkt, durch den beide Asymptoten gehen. Du wirst schon erraten haben, dass es sich bei dieser Kurve um eine mittelpunktsverschobenen Hyperbel handelt. Deren Mittelpunkt M(u; v) kann mittels der quadratischen Ergänzung berechnet werden, wenn man die Gleichung der parallel verschobene Hyperbel allgemein mit $\begin{eqnarray} \frac{(x-u)^2} {a^2} - \frac{(y-v)^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray}$ ansetzt. Hier sind a die große und b die kleine Halbachse der Hyperbel. Ruft man sich in Erinnerung, dass die Steigungen der Asymptoten dieser Hyperbel $\begin{eqnarray} \pm \frac b a \end{eqnarray}$ betragen, so kann man auch auf diesem Wege zu den Asymptoten gelangen! mY+
05.02.2013, 22:44	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} m²=a<br /> <br /> m1=-a<br /> <br /> m2=+a<br /> <br /> <br /> b²= \lim_{x \to \infty } ax²+bx+c-ax \end{eqnarray}$ den Rest hab ich leider nicht richtig verstanden
06.02.2013, 01:40	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Aus $\begin{eqnarray} m^2 = a \end{eqnarray}$ folgt NICHT $\begin{eqnarray} m_{1,2} = \pm a \end{eqnarray}$ , sondern? Die letzte Zeile vergessen wir mal ... Jedenfalls haben wir nun die beiden Steigungen. ____________ Nun geht es an den Mittelpunkt. Bringe die Hyperbelgleichung auf die angegebene Form ... = 1 Hinweis: $\begin{eqnarray} ax^2 + bx = a(x^2 + \frac b a x) = a(x + \frac b {2a})^2 - \frac {ab^2}{4a^2} \end{eqnarray}$ ========================================= Ein anderer - bei gegebenen allgemeineren Kurven gut anwendbarer - Weg führt über die Parametrisierung der Kurvengleichung. In diesem Falle ist die Berechnung des Mittelpunktes NICHT erforderlich, welche nämlich in anders gelagerten Fällen recht schwierig werden kann. Außerdem haben anderen Kurven gar keinen Mittelpunkt. Nun kann man beispielsweise x = t und y = f(t) setzen. Die Asymptote stellt sich für $\begin{eqnarray} x = t \to \infty \end{eqnarray}$ ein, auch y geht gegen Unendlich. Sei die Gleichung der Asymptote $\begin{eqnarray} y = mx + n \end{eqnarray}$ [--> y = mt + n, n ist der y-Abschnitt der Geradengleichung], dann gilt: $\begin{eqnarray} m = \lim_{t \to \infty} \frac y x = \lim_{t \to \infty} \frac {f(t)} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n = \lim_{t \to \infty}(y - mt) \end{eqnarray}$ (v. d. Geradengleichung) ------------------------------------------------------------ Angewandt auf unser Beispiel ist dann $\begin{eqnarray} x = t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y = \pm \sqrt{at^2 + bt + c} \end{eqnarray}$ ---------------------------------- $\begin{eqnarray} m = \lim_{t \to \infty} \frac y x = \lim_{t \to \infty} \pm \sqrt{a + \frac b t + \frac c {t^2}} = \pm \sqrt a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = \lim_{t \to \infty} (y - mt) = \lim_{t \to \infty} ( \pm \sqrt{at^2 + bt + c} \mp t \sqrt a) \end{eqnarray}$ Die Berechnung des letzteren Grenzwertes sei nun dir überlassen (Tipp: Erweitere mit dem binomischen Komplement). Was bekommst du nun für n heraus? ____________________________________ Eine besondere Vertiefung erfährt diese Methode, wenn man bei der Parametrisierung Polarkoordinaten einführt: $\begin{eqnarray} x = r \cos t , \ y = r \sin t; \quad m = \frac y x = \tan t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r^2 \sin^2 t - a r^2 \cos^2 t - b r \sin t - c = 0 \quad \| \ : r^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sin^2 t - a \cos^2t - \frac b r \sin t - \frac c {r^2} = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} r \to \infty \end{eqnarray}$ (Beachte, dass nun r gegen unendlich geht und nicht t) $\begin{eqnarray} \sin^2 t - a \cos^2 t = 0 \quad \| \ : \cos^2 t \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \tan^2 t = a \ \to \ \tan t = \pm \sqrt a \ \text{und weil} \ m = \tan t \ \text{ist} \ m_{1,2} = \pm \sqrt a \end{eqnarray}$ Für den y-Abschnitt gilt wieder analog zu oben: $\begin{eqnarray} n = \lim_{r \to \infty} (y - mx) = \lim_{r \to \infty} (\pm \sqrt {ar^2 \cos^2 t + b r \cos t + c} \mp r \sqrt a \cos t) \end{eqnarray}$ Auch hier ist der Grenzwert auf die gleiche Weise wie oben (durch Erweiterung mit dem binomischen Komplement) zu ermitteln. mY+
06.02.2013, 09:45	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Mann o mann was eine Aufgabe :/ Und da soll man als Student im ersten Semester drauf kommen?! $\begin{eqnarray} <br /> <br /> n= \lim_{t \to \infty } \pm \sqrt{at²+bt+c} \pm t\sqrt{a} \frac{\pm (at²+bt+c \pm t\sqrt{a}²)}{\pm (at²+bt+c \pm t\sqrt{a})²} \end{eqnarray*}$ So ungefähr?
06.02.2013, 13:19	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast nicht genau aufgepasst, denn einmal steht plus/minus und einmal minus/plus. Deswegen ist die Erweiterung sinnvoll, im Zähler steht dann etwas in der Form a² - b², was hilfreich für das Wegfallen der Wurzel ist. $\begin{eqnarray} m = \lim_{t \to \infty} \frac y x = \lim_{t \to \infty} \pm \sqrt{a + \frac b t + \frac c {t^2}} = \pm \sqrt a \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n = \lim_{t \to \infty} (y - mt) = \lim_{t \to \infty} ( \pm \sqrt{at^2 + bt + c} \mp t \sqrt a) \end{eqnarray}$ -------------------------------------------------------------------------------- Rechne mal mit dem PLUS: $\begin{eqnarray} n = \lim_{t \to \infty} (y - mt) = \lim_{t \to \infty} (\sqrt{at^2 + bt + c} - t \sqrt a) = \lim_{t \to \infty} \big( \frac {(\sqrt{at^2 + bt + c} - t \sqrt a) (\sqrt{at^2 + bt + c} + t \sqrt a)}{\sqrt{at^2 + bt + c} + t \sqrt a)} \big) \end{eqnarray}$ Jetzt oben ausmultiplizieren, dann den Bruch durch t kürzen, Grenzwert berechnen! [--> $\begin{eqnarray} \frac b {2 \sqrt a} \end{eqnarray}$ ]
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06.02.2013, 17:16	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank Ich habe folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> \frac{at²+bt+c+ t\sqrt{a} (\sqrt{at²+bt+c}) - t\sqrt{a}\sqrt{at²+bt+c} -t²a}{(\sqrt{at²+bt+c})+t\sqrt{a} } <br /> <br /> \frac{(at²+bt+c) -t²a}{(\sqrt{at²+bt+c})+t\sqrt{a} } <br /> <br /> <br /> \frac{(+bt+c)}{(\sqrt{at²+bt+c})+t\sqrt{a} } \end{eqnarray*}$ jetzt hab ich die blöde Wurzel noch da :/
06.02.2013, 19:30	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Wurzel macht gar nix. Was habe ich dir oben geschrieben? ... dann den Bruch durch t kürzen ... Das bedeutet, speziell dann unter der Wurzel muss durch t² dividiert werden. Dann gibt's ein paar "Null-Limiten" und wenig bleibt übrig. mY+
06.02.2013, 20:47	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{bt+c}{\sqrt{\frac{at²}{t²}+\frac{bt}{t²} +c}+\frac{t}{t²} \sqrt{a} } \end{eqnarray*}$ so etwa?! :/
07.02.2013, 01:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Erstens wurde in der Wurzel falsch dividiert und zweitens muss konsequenterweise auch der Zähler dividiert werden! $\begin{eqnarray} \frac{b+\frac c t}{\sqrt{a+\frac{b}{t} +\frac c {t^2}}+\sqrt{a}} \end{eqnarray}$ mY+
07.02.2013, 10:01	SebastianMa	Auf diesen Beitrag antworten »
puh danke $\begin{eqnarray} <br /> <br /> y1= \sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a} } <br /> <br /> y2= -\sqrt{a} x + \frac{b}{2\sqrt{a} } \end{eqnarray}$ das sind doch dann meine Ergebnisse oder?
07.02.2013, 12:00	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast! (Vorzeichenfehler). Der y-Abschnitt bei y2 ist negativ. Das ist auch folgerichtig, weil der Mittelpunkt der Hyperbel auf der x-Achse liegt. mY+

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