Restglied von Lagrange

05.02.2013, 18:56

Patrick1990

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Restglied von Lagrange

Hallo,
habe hier eine Aufgabe zum Taylor-Polynom.

Ich sollte zunächst das Taylorpolynom zweiten Ranges bestimmen.

Ausgangsfunktion ist: $\begin{eqnarray*} f(x)=e^x(cos(x)-sin(x)) \end{eqnarray*}$
Von der Entwicklingsstelle $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis habe ich: $\begin{eqnarray*} T_2(0,x)=1-2x-4x^2 \end{eqnarray*}$ wäre sehr dankbar für eine Überprüfung.

Dann soll ich das Restglied von Lagrange bestimmen:

Meine Idee war folgende:

$\begin{eqnarray*} R_3(0,x)=\frac{-4e^{\xi}cos(\xi)+4e^{\xi}sin(\xi)}{6}(x-0)^3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit und wie geht's weiter?

05.02.2013, 19:32

Dopap

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$\begin{eqnarray*} T_2(x,0)=1-x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R_2(x,0)=-\frac 2 3 e^{\xi}\cos(\xi)x^3 \end{eqnarray*}$

so müsste es stimmen.

05.02.2013, 19:43

Patrick1990

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Wie kommt man drauf und was habe ich falsch?

05.02.2013, 20:02

Patrick1990

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Ich kann ja mal meinen Weg beschreiben.

Zunächst die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x(cos(x)-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2e^x sin (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4e^x cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f"'(x)=-4e^x cos(x)+4e^x sin(x) \end{eqnarray*}$

Dann das Polynom:

$\begin{eqnarray*} T_2(0,x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)^1+\frac{f"(0)}{2!}(x-0)^2 \end{eqnarray*}$

Somit komme ich auf mein Ergebnis oder habe ich einen Denkfehler?

05.02.2013, 20:13

Dopap

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Zitat:

Original von Patrick1990

Zunächst die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x(cos(x)-sin(x)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=-2e^x sin (x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-4e^x cos(x) = {\color{red}-2e^x(\sin(x)+\cos(x))} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-4e^x cos(x)+4e^x sin(x) ={\color{red} -4e^x\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Dann das Polynom:

$\begin{eqnarray*} T_2(0,x)=f(0)+\frac{f'(0)}{1!}(x-0)^1+\frac{f''(0)}{2!}(x-0)^2 \end{eqnarray*}$

05.02.2013, 20:32

Patrick1990

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Danke, ich weiß nicht warum ich falsch differenziert habe.
Das Restglied ist somit also schon bestimmt?
Oder muss jetzt noch weiteres geschehen?

Ich soll nun für den absoluten Fehler von $\begin{eqnarray*} |f(x)-T_2(x_0,x)| \end{eqnarray*}$ eine Abschätzung für $\begin{eqnarray*} x \in [0,\frac{1}{2}] \end{eqnarray*}$ angeben.

Soetwas habe ich noch nie gemacht wie geht man hier vor?

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05.02.2013, 21:04

Dopap

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$\begin{eqnarray*} R_2(x,0)=\bigg|-\frac 2 3 e^{\xi}\cos(\xi)(\tfrac 1 2) ^3 \bigg| \end{eqnarray*}$

Prinzip: Alles möglichst ungünstig gross machen.

für x ist schon 1/2 gewählt. Jetzt noch $\begin{eqnarray*} \xi \in [0,\frac12] \end{eqnarray*}$ so wählen, dass der Faktor $\begin{eqnarray*} e^{\xi}\cos(\xi) \end{eqnarray*}$ möglichst gross wird.

05.02.2013, 21:29

Patrick1990

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Dann würde ich doch für $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ Null wählen oder?

05.02.2013, 21:47

Dopap

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nee, das geht nicht.

1.) grob nach oben abschätzen: $\begin{eqnarray*} e^{0.5}\cdot 1=1.64 \end{eqnarray*}$

2.) etwas subtiler:

$\begin{eqnarray*} e^x \cos(x) \to max = 1.45 \quad \text{für} ~~ x=0.5 \end{eqnarray*}$

05.02.2013, 21:53

Patrick1990

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Soetwas kann man doch nicht durch Überlegung abschätzen oder? Ich weiß ja nicht einfach mal so, was $\begin{eqnarray*} e^{\frac{1}{2}} \end{eqnarray*}$ ist.

05.02.2013, 22:14

Dopap

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bei Rot nagelst du den cosinus auf 1 fest.

Bei Grün wird e^x korrekt noch mit cos(x) multiliziert.

Was heisst das: ich weiss nicht was e^(0.5) ist verwirrt

verwirrt

05.02.2013, 22:19

Patrick1990

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Deshalb wollte ich ja mein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ gleich 0 nehmen, da ich dann die Zahlenwerte dafür im Kopf parat habe. Wir dürfen ja in der Klausur keine Hilfsmittel nutzen, und ohne es vorher mal gesehen zu haben wüsste ich nicht, dass e^0,5 ca. 1,65 ist.

05.02.2013, 22:31

Dopap

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Zitat:

Original von Patrick1990
... Wir dürfen ja in der Klausur keine Hilfsmittel nutzen, und ohne es vorher mal gesehen zu haben wüsste ich nicht, dass e^0,5 ca. 1,65 ist.

Schön, das jetzt zu erfahren.

Trotzdem, nach unten abschätzen geht gar nicht.

Wie wäre es mit: e^x ist sreng monoton wachsend

$\begin{eqnarray*} 1.) e^{0.5} \approx \frac {e^1+e^0}{2}=3.72/2=1.9 \end{eqnarray*}$

oder besser:

$\begin{eqnarray*} 2.) e^{0.5}= \sqrt e =\sqrt{ 2.72} =1.7 \end{eqnarray*}$

das geht alles im Kopf. Wenn man aber nicht weiss, was e ist, hat man Pech gehabt.

05.02.2013, 22:34

Patrick1990

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Ja tut mir leid. Was e ist, weiß ich Augenzwinkern

Augenzwinkern

. Also ich muss den Wert für das xi möglichst hoch wählen (in unserem Fall 0,5)? Und das dann einfach ausrechnen.

05.02.2013, 22:46

Dopap

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ohne Hilfsmittel darfst und sollst du nach der Roten Kurve nach oben abschätzen.

Ob du nun 1.9 oder 1.7 verwendest ist nicht soo wichtig, die Hauptsache ist, dass du dir Gedanken machst d.h.

eine Kette wie

$\begin{eqnarray*} |R_2(x,0)|= |....| < |...| < |...| \end{eqnarray*}$ mit worten ein wenig begründest.

Ein Korrektor ist immer froh, wenn er nicht rätseln muss, dann drückt er auch bei Kleinigkeiten eher ein Auge zu. Augenzwinkern

Augenzwinkern

06.02.2013, 11:37

Patrick1990

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Okay und den cosinus(0,5) auch einfach grob abschätzen? Ich würde jetzt eine Zahl zwischen 0,5 und 1 wählen?

Und wie kommst du auf so eine Kette?

Ich komme ja dann, wenn ich jetzt für cos(0,5) den Wert 0,75 annehme auf

$\begin{eqnarray*} R_3(0,x)=-\frac{2}{3}1,85 \cdot 0,75 x^3 \end{eqnarray*}$

06.02.2013, 11:47

Patrick1990

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Für x setze ich ja $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ein also $\begin{eqnarray*} x^3=\frac{1}{8} \end{eqnarray*}$

06.02.2013, 12:25

Dopap

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Zitat:

Original von Patrick1990
Ich komme ja dann, wenn ich jetzt für cos(0,5) den Wert 0,75 annehme auf

$\begin{eqnarray*} R_3(0,x)=-\frac{2}{3}1,85 \cdot 0,75 x^3 \end{eqnarray*}$

annehmen geht nicht. Hier mal die Ungleichungskette mit Einzelabschätzung nach oben:

$\begin{eqnarray*} |R_3(0,x)|=\frac{2}{3} e^x \cos(x) x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_3(0,x)| < 0.7 \underbrace {e^{0.5}}_{<1.85}\cos(x) x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_3(0,x)| < 0.7 \cdot 1.85 \underbrace {\cos(x)}_{< 1} x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_3(0,x)| < 0.7 \cdot 1.85 \cdot 1 \cdot x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |R_3(0,x)| < 0.7 \cdot 1.85 \cdot (\tfrac 12)^3 \end{eqnarray*}$

06.02.2013, 12:35

Patrick1990

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Okay danke und das war's dann schon?

06.02.2013, 12:40

Dopap

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ja, eigentlich schon, wir sind doch schon auf Seite 2. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: das scheint aber nix besonderes zu sein, dein Banach-Thread ist schon auf Seite 4 smile

smile

06.02.2013, 12:42

Patrick1990

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Ja

Augenzwinkern

ich frage immer lieber und verinnerliche alles genau, um es auch anwenden zu können. Danke.

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