Dimension von Kern |
| 05.02.2013, 19:56 | konan | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Dimension von Kern Rang ist 4 ,kein Problem aber die Diemension von Kern ist 1.Ist die Loesung falsch? Meine Ideen: matrix ist m*n und ich glaube die Diemension von Kern ist n-rang .hier n=4 rang=4 |
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| 06.02.2013, 01:12 | Colorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Dimension von Kern Selber widersprochen! n=4, rang=4 Was ist die Differenz? Eins?
Kommt darauf an. Für n<m oder n=m gilt das. Aber für n>m musst du stattdessen m-rang rechnen. |
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| 06.02.2013, 05:11 | wubi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Dimension von Kern
Ist doch Quatsch mit Soße. Eine mxn-Matrix (a11, ..., a1n ... am1, ..., amn) nimmt doch offenbar einen Vektor mit n Komponenten, der beliebig sein soll. Also muss die Definitionsmenge V die Dimension n haben. Der Satz lautet in jedem Fall n = Rg A + dim Kern A. Ich werde schärfer und nenne ein Gegenbeispiel: b = (4; 2)t Die Matrix ist ein Spaltenvektor. Eine Zahl t kommt rein, ein Punkt b auf einer Geraden durch den Ursprung komm raus. Offenbar ist dim V = 1, dim Bild = 1, m=2, n=1 Es sollte nun dim Kern=0 sein. Das ist richtig weil offenbar nur der Nullvektor t=0 das Ergebnis b=(0,0) bringt. m-rang ist jedoch m minus dim Bild = 2-1 = 1 ============ Nebenbei sehen wir hier auch, wie diese Abbildung injektiv ist, weil Kern phi = {0}. Das ist genau dann der Fall, wenn das Bild phi{e1, ..., en} der Basisvektoren linear unabhängig ist. Wir haben hier phi{1} = {(4,2)}. Weil m>n kann diese Abbildung auch unmöglich surjektiv sein. Hier kommen nur Geraden raus. Wäre phi surjektiv, so wäre es die ganze Ebene (x,y). ============ dim Bild phi muss kleiner gleich m sein, insbesondere muss dim Bild phi kleiner gleich n sein, was schon aus informationstheoretischen Gründen sinnvoll erscheint. Man bedenke dabei, dass das Bild ein Untervektorraum der Zielmenge ist, und kein endlich begrenztes Gebiet sein kann. Es ist also 0 <= Rg A <= 4. Man kann jetzt z.B. überprüfen, dass Rg A > 0, wenn man einen Vektor einsetzt und nicht der Nullvektor herauskommt. Dann ist ja Bild A ungleich {null} und somit muss auch dim Bild A ungleich null sein. Damit folgt auch sofort dim Kern < 4. Man könnte jetzt versuchen einen weiteren nichtverschwindenden Vektor auszurechnen, der rechtwinklig zum ersten ist. Dann wäre Rg A > 1. Aber das führt zuweit. Der Rest der Aufgabe reduziert sich natürlich auf das Finden der Stufenform usw. Alternativ könnte man das System Ax = 0 lösen, wobei die Lösungsmenge ja gerade die Kernfaser ist. Von der Lösungsmenge sucht man sich eine Basis. dim Kern ist dann ja die Anzahl der Basisvektoren. |
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| 06.02.2013, 06:45 | Colorado | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Dimension von Kern
Du meinst also die lineare Abbildung Das ist kein Gegenbeispiel, weil hier m>n ist. Du hast aber trotzdem recht. Mein Denkfehler ist aus dem Satz Zeilenrang=Spaltenrang entstanden. Ein treffendes Gegenbeispiel wäre z.B. mit rang=1, dim Kern=1, dim Bild=1, m=1, n=2 |
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