Eigenwerte/vektoren einer Einsmatrix

05.02.2013, 20:56

Naryxus

Eigenwerte/vektoren einer Einsmatrix

Hallo,

ich habe folgendes Problem:

Wir haben eine Matrix
$\begin{eqnarray*} A^{n \times n} = \begin{pmatrix} 1 & \cdots & 1\\ \vdots & & \vdots\\ 1 & \cdots & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

deren Einträge also allesamt 1 sind.

Nun sollen die Eigenwerte der Matrix und die dazugehörigen Eigenvektoren bestimmt werden.

Also habe ich zuerst einmal die Matrix
$\begin{eqnarray*} A - \lambda I \end{eqnarray*}$
gebildet:

$\begin{eqnarray*} A - \lambda I = \begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 - \lambda & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 - \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist
$\begin{eqnarray*} \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 - \lambda & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Zuerst habe ich das $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ -fache der letzten Zeile auf alle anderen Zeilen drauf addiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 1 - \lambda & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 - \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & \lambda\\ 0 & - \lambda & \cdots & \lambda\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Anschließend wird jede Spalte auf die letzte Spalte hinzuaddiert:
$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & \lambda\\ 0 & - \lambda & \cdots & \lambda\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & 1 - \lambda \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & - \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & n - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun kann ich nach der letzten Spalte entwickeln:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & - \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & n - \lambda \end{vmatrix} = (-1)^{n + 1} \cdot (n - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & - \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Letzteres ist eine Diagonalmatrix, wodurch dann letztendlich

$\begin{eqnarray*} \det(A - \lambda I) = (-1)^{n + 1} \cdot (n - \lambda) \cdot (- \lambda)^n \end{eqnarray*}$ ist.

Nun kann ich die Nullstellen suchen:

$\begin{eqnarray*} 0 = (-1)^{n + 1} \cdot (n - \lambda) \cdot (- \lambda)^n \Rightarrow 0 = n - \lambda_1, 0 = (- \lambda_2)^n \end{eqnarray*}$

Somit sind die Eigenwerte: $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = n, \lambda_2 = 0 \end{eqnarray*}$

Durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \lambda_2 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A - \lambda I \end{eqnarray*}$ bleibt die Matrix $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wie sie ist. Diese setzt man nun mit dem Nullvektor gleich und löst das LGS. Durch das Addieren des $\begin{eqnarray*} (-1) \end{eqnarray*}$ -fachen der ersten Zeile auf alle anderen Zeilen bleibt dann lediglich die erste Zeile übrig. Setzt man dann $\begin{eqnarray*} x_2 = x_3 = \cdots = x_n = \lambda \end{eqnarray*}$ erhält man für $\begin{eqnarray*} x_1 = - (n - 1) \cdot \lambda \end{eqnarray*}$ und somit ist der Eigenraum $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} -n \lambda + \lambda\\ \lambda\\ \vdots\\ \lambda \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n : \lambda \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Finde ich irgendwie seltsam die Lösung. Obwohl ich nicht definieren kann, was genau ich daran seltsam finde.
Und für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht, wie ich die Matrix umformen soll.

Hoffe auf eure Hilfe. Danke!

06.02.2013, 00:28

Colorado

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Zitat:

Original von Naryxus
Nun kann ich nach der letzten Spalte entwickeln:

$\begin{eqnarray*} \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & - \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & n - \lambda \end{vmatrix} = (-1)^{n + 1} \cdot (n - \lambda) \cdot \begin{vmatrix} - \lambda & 0 & \cdots & 0\\ 0 & - \lambda & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & - \lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Faktor $\begin{eqnarray*} (-1)^{n + 1} \end{eqnarray*}$ gehört hier nicht hin.

Zitat:

und somit ist der Eigenraum $\begin{eqnarray*} \{\begin{pmatrix} -n \lambda + \lambda\\ \lambda\\ \vdots\\ \lambda \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^n : \lambda \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$

Finde ich irgendwie seltsam die Lösung. Obwohl ich nicht definieren kann, was genau ich daran seltsam finde.

Vielleicht ist sie ja seltsam, weil sie falsch ist. Die Lösung ist nämlich (n-1)-diemensional. (Das siehst du schon daran, dass die Matrix den Rang 1 hat)

Zitat:

Und für $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ weiß ich nicht, wie ich die Matrix umformen soll.

Muss ich wohl selber noch überlegen. Ich melde mich, wenn ich's weiß.

06.02.2013, 00:50

Colorado

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Hey, ich hab's jetzt:

Du musst es in dem Fall nicht umformen.

Man sieht bereits, dass der Vektor bestehend aus Einsen ein Eigenvektor ist zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \end{eqnarray*}$ ist.

Der Eigenraum kann nur Dimension 1 haben, weil der andere Eigenraum bereits Dimension n-1 hat. Also muss dieser Eigenraum die lineare Hülle um den "Einsen-Vektor" sein.

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