Differentialgleichung kompliziert

05.02.2013, 22:15

Melanie90

Differentialgleichung kompliziert

Meine Frage:
Ich habe mal was leckeres aus der Differentialgleichung-Ecke Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y''- \frac{y'}{x} = 2x \end{eqnarray*}$

Eine Basislösung soll y1(x)=x² sein

Meine Ideen:
Naja, das mit der Basislösung habe ich noch nie zuvor gesehen. Deshalb kenne ich keinen wirklichen Ansatz.

Aber wie man eine normale Diff-Gleichung löst weiß ich.

Darum brauche ich einen Tipp Augenzwinkern

05.02.2013, 23:26

Helferlein

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RE: Differentialgleichung kompliziert
Könntest Du denn diese DGL lösen?

$\begin{eqnarray*} z'- \frac{z}{x} = 2x \end{eqnarray*}$

06.02.2013, 09:29

Melanie90

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Ne, das ist ja leider genauso blöd. Seperation der Variabeln klappt nicht so und yhomogen+ypartikulär auch nicht

06.02.2013, 09:39

Che Netzer

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RE: Differentialgleichung kompliziert

Zitat:

Original von Melanie90
Eine Basislösung soll y1(x)=x² sein

Das ist auch nur eine Lösung der homogenen Gleichung $\begin{eqnarray*} y''=\frac{y'}z \end{eqnarray*}$ , die sich schon viel einfacher lösen lässt.

06.02.2013, 09:47

Melanie90

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Sry, aber ich steh ziemlich auf dem Schlauch unglücklich

06.02.2013, 10:06

Che Netzer

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Als erstes nutze mal Helferleins Substitution $\begin{eqnarray*} z=y' \end{eqnarray*}$ .
Wie sieht die DGL dann aus? Kennst du eine Lösungsformel für solche Gleichungen?

06.02.2013, 11:34

Melanie90

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Leider nein, sry Erstaunt2

06.02.2013, 11:49

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} z'- \frac{z}{x} = 2x \end{eqnarray*}$ ist eine lineare inhomogene DGL erster Ordnung. Kann mir irgendwie nur schwer vorstellen, dass ihr dazu keine Lösungsverfahren kennengelernt habt - Stichworte:

zugehörige homogene DGL lösen, dann Variation der Konstanten

06.02.2013, 12:44

zyko

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Um die DGL
$\begin{eqnarray*} z'- \frac{z}{x} = 2x \end{eqnarray*}$ zu lösen,
setze die neue Funktion (Substitution) $\begin{eqnarray*} u(x)=\frac{z}{x} \end{eqnarray*}$ an.
Löse diese nach z auf und bilde z' , Produktregel anwenden.
Ersetze jetzt z und z' in der DGL durch die Ausdrücke in u(x).
Löse die DGL für u. Führe die Rücksubstitution nach z aus.
Berechne abschließend
$\begin{eqnarray*} y'(x)=z(x) \end{eqnarray*}$ .
Integrationskonstanten nicht vergessen.

06.02.2013, 12:57

Melanie90

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Ich kenne nur den genannten Lösungsweg...

sry, ich wäre sehr dankbar, wenn du mir es kurz zeigst. Ich habe es auch nur einmal in der Aufgabensammlung entdeckt

06.02.2013, 13:07

zyko

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Gegeben ist die DGL
$\begin{eqnarray*} y''-\frac{y'}{x}=2x \end{eqnarray*}$ (A).

Mit $\begin{eqnarray*} z=y' \end{eqnarray*}$ (B) ergibt sich daraus
$\begin{eqnarray*} z'-\frac{z}{x}=2x \end{eqnarray*}$ (C).
Mit $\begin{eqnarray*} u=\frac{z}{x} \end{eqnarray*}$ hat man $\begin{eqnarray*} z=ux \end{eqnarray*}$ (D) und $\begin{eqnarray*} z'=u'x+u \end{eqnarray*}$ .
Somit lautet die DGL (C)
$\begin{eqnarray*} u'x+u-u=2x \end{eqnarray*}$ .
Die DGL
$\begin{eqnarray*} u'x=2x \end{eqnarray*}$
darfst du selbst lösen.
Nicht vergessen aus der Lösung u das z (D) und schließlich die Funktion y (B) zu berechnen.

06.02.2013, 15:33

Melanie90

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$\begin{eqnarray*} u'=2 z'=2x+2 z=2x \end{eqnarray*}$

?!

06.02.2013, 17:56

zyko

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$\begin{eqnarray*} u'=2 \end{eqnarray*}$ neue DGL
$\begin{eqnarray*} u=2x+a \end{eqnarray*}$ Integration von u
$\begin{eqnarray*} z=xu \end{eqnarray*}$ s. oben Definition von u
$\begin{eqnarray*} z=x(2x+a)=2x^2+ax \end{eqnarray*}$ von u nach z
$\begin{eqnarray*} z=y'=x(2x+a)=2x^2+ax \end{eqnarray*}$ s. Definition von z
$\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{3}x^3+\frac{a}{2}x^2+b \end{eqnarray*}$ Integration von y

Jetzt noch Randbedingungen einsetzen, um die Integrationskonstanten a und b zu bestimmen.
Ich empfehle dir dringend, dich mit den Lösungsmethoden von DGLn zu befassen.

06.02.2013, 23:18

Melanie90

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Nun für y=x² nehmen?

Sry, die Aufgabe hatte ich wie gesagt erst einmal

07.02.2013, 11:57

zyko

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Ich vermute mit der Basislösung $\begin{eqnarray*} y_1(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ ist gemeint, dass diese Funktion die homogen DGL $\begin{eqnarray*} y''-\frac{y'}{x}=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.
Damit kann man eine neue Funktion $\begin{eqnarray*} y=C(x)y_1(x)=C(x)x^2 \end{eqnarray*}$ ansetzen, um eine spezielle Lösung zu finden.
Somit hat man
$\begin{eqnarray*} y'=C'x^2+2Cx \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} y''=C''x^2+2C'x+2C'x+2C \end{eqnarray*}$
Eingesetzt in die ursprüngliche DGL ergibt:
$\begin{eqnarray*} C''x+3C'=2 \end{eqnarray*}$ .
Eine Lösung dieser DGL ist $\begin{eqnarray*} C'=\frac{2}{3} \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} C=\frac{2x}{3} \end{eqnarray*}$ .
Somit ergibt sich die Lösung zu:
$\begin{eqnarray*} y_2=C\cdot x^2=\frac{2x^3}{3} \end{eqnarray*}$ .
Die Gesamtlösung ist demnach
$\begin{eqnarray*} y=y_2+d y_1 + b \end{eqnarray*}$ ; denn auch jede Konstante b erfüllt genauso die homogene DGL wie $\begin{eqnarray*} y_1 \end{eqnarray*}$ .
Vergleiche diese Lösung mit der Lösung in dem früheren Post.

07.02.2013, 12:38

Melanie90

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wie kommt man denn an y' und y'' in deinem post?

sry wenn ich ehrlich bin versteh ich gar nichts unglücklich

07.02.2013, 15:48

zyko

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Wenn man eine Lösung $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ für die homogene (rechte Seite=0) DGL hat, kann man mit dem Produktansatz
$\begin{eqnarray*} y(x)=C(x)y_1(x) \end{eqnarray*}$ weiterarbeiten. Man erhält dann eine DGL für C(x).
Die erforderlichen Ableitungen y' und y'' erhält man mit der Produktregel {(ab)'=a'b+ab' }.

07.02.2013, 16:53

Melanie90

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Nimmst du also für die partikuläre Lösung das $\begin{eqnarray*} y(x)= C*x² \end{eqnarray*}$

leitest das einmal ab und setzt das für y' und y ein?

aber die Ableitungen die du gemacht hast, verstehe ich nicht

08.02.2013, 12:33

zyko

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Wenn eine Funktion $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ Lösung der homogenen DGL ist, dann ist auch die Funktion $\begin{eqnarray*} y_c(x)=cy_1(x) \end{eqnarray*}$ das konstante Vielfache eine Lösung. Hierin sei c eine Konstante.

Wählt man stattdessen C(x) als Funktion von x, dann erhält man an Stelle der ursprünglichen DGL für y eine neue DGL für C, die häufig einfacher zu lösen ist bzw. es erlaubt die rechte Seite der DGL zu erfüllen.
Betrachte
$\begin{eqnarray*} y(x)=C(x)y_1(x) \end{eqnarray*}$ ,
ersetze hierin $\begin{eqnarray*} y_1(x) \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und bilde die Ableitungen dieses Produkts. Setze y' und y'' in die ursprüngliche DGL ein und fasse die entstehenden Terme zusammen. Vereinfache die DGL soweit als möglich.

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