Lagrange Minimierung

06.02.2013, 00:56

Säckel

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Lagrange Minimierung

Hallo alle zusammen,

ich habe in Problem bei der Minimierung mit Lagrange

die Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} L(x_{1},x_{2},\lambda )=x_{1}^{2}+(x_{2}+1)^{2}+\lambda \times (-x_{1}^{2}+x_{2}-1) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ergibt sich schon bei der ersten Partiellen Ableitung (von x1):

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}-2x_{1} \times \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}}{x_{1}} = \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda= 1 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich nun x1 bestimmen?

x2 habe ich mit der partiellen Ableitung von x2 gelöst, es hat den Wert -1,5

danke für die Hilfe Freude

Freude

06.02.2013, 01:06

Gast11022013

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RE: Lagrange Minimierung

Zitat:

Original von Säckel

Wie soll ich nun x1 bestimmen?

Verstehe ich Dich richtig, daß Du $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ bestimmen willst?

Wieso klammerst Du nicht $\begin{eqnarray*} 2x_1 \end{eqnarray*}$ dann aus?

06.02.2013, 01:20

Säckel

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RE: Lagrange Minimierung
Weil dann raus kommt:

$\begin{eqnarray*} x_{1}= x_{1}*\lambda \end{eqnarray*}$

bzw:

$\begin{eqnarray*} x_{1}= x_{1} \end{eqnarray*}$

da stimmt doch was nicht..

die partielle Ableitung von x2 ist der Übersicht halber:

$\begin{eqnarray*} 2x_{2}+2+\lambda \end{eqnarray*}$

und die partielle nach Lambda:

$\begin{eqnarray*} -x_{1}+x_{2}-1 \end{eqnarray*}$

Wie soll ich vorgehen?

06.02.2013, 02:05

RavenOnJ

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.

06.02.2013, 02:23

Säckel

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Habe die Aufgabe nochmal überprüft. Sie ist korrekt so.

Heißt das ich kann x1 nicht berechnen?

06.02.2013, 02:46

Säckel

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Ich denke ich habe das Ergebnis, aber ich brauche die Bestätigung ob das so stimmt!
Es gibt 2. Fälle in der partiellen Ableitung von x1

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}-2x_{1}\times \lambda =2x_{1} \times (\lambda +1) \end{eqnarray*}$

Erster Fall:

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

in III einsetzen:

$\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$

in II einsetzen:

$\begin{eqnarray*} \lambda=4 \end{eqnarray*}$

der Zweite Fall demnach:

$\begin{eqnarray*} \lambda-1=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =-1 \end{eqnarray*}$

somit:

$\begin{eqnarray*} x_{2}=0,5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x_{1}=0 , x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

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06.02.2013, 07:42

Mystic

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Die Fallunterscheidung ist im Prinzip richtig... Aber im Detail sind da soviele Vorzeichenfehler dabei, dass einem echt schwindlig bei der Durchsicht wird... unglücklich

unglücklich

06.02.2013, 14:30

Säckel

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Zitat:

Original von Mystic
Die Fallunterscheidung ist im Prinzip richtig... Aber im Detail sind da soviele Vorzeichenfehler dabei, dass einem echt schwindlig bei der Durchsicht wird... unglücklich

unglücklich

War wohl mal wieder etwas spät gestern!

Hier nochmal richtig: (hoffentlich)
Erste partielle Ableitung:

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}+\lambda \times (-2x_{1})^{2} =2x_{1}(- \lambda+1) \end{eqnarray*}$

1.Fall:

$\begin{eqnarray*} 2x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1}=0 \end{eqnarray*}$

in III:

$\begin{eqnarray*} x_{2}=1 \end{eqnarray*}$

Fall 2:

$\begin{eqnarray*} (-\lambda +1)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$

in II:

$\begin{eqnarray*} x_{2} = -1,5 \end{eqnarray*}$

in III:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{x_{2}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = -\sqrt{1,5+1 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = -1,581139 \end{eqnarray*}$

Ich habe die Nebenfunktion gezeichnet. Sie ist eine Parabel mit dem Scheitelpunkt
P(0/1), somit ergibt sich aus dem ersten Fall ein Berührungspunkt. Der zweite Fall siht im Graphen irgendwie Falsch aus.

Ich habe versucht beide Funktionen zu zeichnen, doch bei f(x) komme ich nicht weiter.
Gibt es einen Trick, diese nach x2 so auf zu lösen, dass ich sie in jeden Funktionsplotter schreiben kann bzw. behandeln kann wie f(x)= ? Oder einfach nur ein kleiner Tipp fürs zeichnen.

Danke für die Hilfe

06.02.2013, 14:53

Mystic

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Zitat:

Original von Säckel
$\begin{eqnarray*} x_{2} = -1,5 \end{eqnarray*}$

in III:

$\begin{eqnarray*} x_{1} = \sqrt{x_{2}-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1} = -\sqrt{1,5+1 } \end{eqnarray*}$

Hm, welche seltsame Rechenregel wendest du da an, um das Minus vor die Wurzel zu bringen? verwirrt

verwirrt

06.02.2013, 15:09

Säckel

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Die ''Minus vor die Wurzel setz Regel'' Freude

Freude

Hab ich mir so ausgedacht, da:

$\begin{eqnarray*} -3-2= - \sqrt{3+2}^{2} = -5 \end{eqnarray*}$

oder stimmt das im allgemeinen nicht?
(Vorzeichen in der Wurzel dann tauschen)

06.02.2013, 16:40

Mystic

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Zitat:

Original von Säckel
Die ''Minus vor die Wurzel setz Regel'' Freude

Freude

Funktioniert nur bei Kubikwurzeln (oder allgemeiner ungeradzahligen Wurzeln)... (Quadrat-)Wurzeln aus negativen Zahlen existieren dagegen im Reellen schlicht und einfach nicht... geschockt

geschockt

06.02.2013, 17:16

Säckel

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Das ist ja dann um so besser!!!

somit kann ich nämlich sagen, dass nur Fall 1 in Frage kommt, da 2. Fall keine Lösung für
x2 bietet! Big Laugh

Big Laugh

Gut, dann hab ich blos noch das Problem mit der kurzen geometrischen Interpretation:

Ich hätte jetzt einfach mal sowas gezeichnet:
(wobei P die Stelle ist für die sich bei der Funktion f null ergibt, also $\begin{eqnarray*} (0,1)^{T} \end{eqnarray*}$
und P2 ist das errechnete Minimum mit Lagrange! P2(0,1)

(natürlich etwas ordentlicher)

könnte man das so lassen um alle Punkte in der Prüfung zu bekommen?
(Es soll ja nur eine kurze Geometrische Interpretation sein)

06.02.2013, 18:49

Mystic

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Kann ich jetzt nichts dazu sagen, da ich ja die Aufgabenstellung gar nicht kenne... unglücklich

unglücklich

06.02.2013, 19:17

Säckel

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RE: Lagrange Minimierung

Zitat:

Original von Mystic
Kann ich jetzt nichts dazu sagen, da ich ja die Aufgabenstellung gar nicht kenne... unglücklich

unglücklich

Da stehen nur die Funktionen:

$\begin{eqnarray*} f(x_{1}x_{2})=x_{}^{2}+(x_{2}+1)^{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x_{1}x_{2}) = -x_{1}^{2} +x_{2} -1 \end{eqnarray*}$

und dass ich das Minimum mit Hifle des Lagrange Ansatzes bestimmen soll

und das ich eine kurze geometrische Interpretation geben soll des Minimierungsproblems geben soll.

Kurz heißt doch so nen kleinen Graphen mit dem Minimum und der Nebenbedingung ohne viele Erklärungen oder?

06.02.2013, 20:42

Mystic

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RE: Lagrange Minimierung
Naja, ich würde sagen, es geht hier darum, die Punkte $\begin{eqnarray*} (x_1,x_2) \end{eqnarray*}$ auf der Parabel $\begin{eqnarray*} x_2=x_1^2+1 \end{eqnarray*}$ mit minimalem Abstand zum Punkt (0,-1) zu finden (eigentlich wo das Quadrat des Abstands ein Minimum ist, aber das kommt ja auf das Gleiche hinaus)...

07.02.2013, 15:28

Säckel

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RE: Lagrange Minimierung
Achso ja stimmt.. den Punkt (0/-1) hab ich ja total vergessen!

dann stimmt ja soweit alles, außer der Punkt den ich vergessen habe ein zu zeichnen.

Danke Freude

Freude

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