Gewichtete Norm in L² äquivalent?

06.02.2013, 10:39

eierkopf1

Gewichtete Norm in L² äquivalent?

Hallo!

Ich betrachte den $\begin{eqnarray*} L^2(\Gamma) \end{eqnarray*}$ mit dem Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray*} (\cdot, \cdot)_{L^2(\Gamma)} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ der Rand eines beschränkten Lipschitz-Gebietes ist.

Seien $\begin{eqnarray*} \rho \in L^\infty(\Gamma) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \int_{\Gamma} \rho(x) \mathrm ds_x = 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \rho >0 \end{eqnarray*}$ fast überall auf $\begin{eqnarray*} \Gamma \end{eqnarray*}$ .

Durch $\begin{eqnarray*} \| w \|^2_\rho := \int_{\Gamma} \rho(x) w(x)^2 \mathrm ds_x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} w \in L^2(\Gamma) \end{eqnarray*}$ wird eine Norm auf $\begin{eqnarray*} L^2(\Gamma) \end{eqnarray*}$ definiert.

Man kann diese Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_\rho \end{eqnarray*}$ mit der Hölder-Ungleichung durch die Standardnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{L^2(\Gamma)} \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen.

Meine Frage:
Kann man diese Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_\rho \end{eqnarray*}$ auch nach unten mit der Standardnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{L^2(\Gamma)} \end{eqnarray*}$ abschätzen, damit diese Normen äquivalent sind?

06.02.2013, 10:50

IfindU

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RE: Gewichtete Norm in L² äquivalent?
Ohne ein genaues Beispiel zu haben, denke ich es wird nicht gehen. Nehmen wir an wir sind im 1-dimensionalen Intervall, und wir haben eine Art Gaußglockenkurve für \rho, dass extrem schnell an den Rändern gegen 0 strebt.
Konstruieren wir nun eine Folge von L^2 Funktionen, deren Masse am Rand liegt und dort auch anwächst, wird man vermutlich bei geschickter Wahl erreichen können, dass das mit rho gewichtete Integral endlich bleibt, die L^2 Norm der Folge aber explodiert.

Die Frage wäre ob du mehr über das rho weißt. Für rho = 1 ist die Aussage ja z.B. trivial.

06.02.2013, 10:57

Che Netzer

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RE: Gewichtete Norm in L² äquivalent?

Zitat:

Original von eierkopf1
Kann man diese Norm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_\rho \end{eqnarray*}$ auch nach unten mit der Standardnorm $\begin{eqnarray*} \| \cdot \|_{L^2(\Gamma)} \end{eqnarray*}$ abschätzen, damit diese Normen äquivalent sind?

Wenn ich das richtig sehe, dürfte das genau dann möglich sein, wenn auch $\begin{eqnarray*} \frac1\rho\in L^\infty(\Gamma) \end{eqnarray*}$ ist.
Oder zumindest impliziert letzteres ersteres. Und andersrum würde ich zumindest sagen, dass die Normäquivalenz nicht immer gegeben ist, wenn $\begin{eqnarray*} \frac1\rho\in L^\infty \end{eqnarray*}$ .

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