2te Ableitung mehrdimensional

06.02.2013, 10:45

steviehawk

2te Ableitung mehrdimensional

Meine Frage:
Hallo Leute, ich hab gerade ein Verständninsproblem.

Wenn ich dir Funktion: $\begin{eqnarray*} f(x,y) = \begin{pmatrix} x^2+y \\ 2x-y2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dann sieht doch meine Jacobimatrix wie folgt aus:

$\begin{eqnarray*} J_f = \begin{pmatrix} 2x & 1 \\ 2 & -2y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ok bis hier ist alles klar.

Was wäre denn hier die 2te Ableitung?

Meine Ideen:
danke

06.02.2013, 11:23

Colorado

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2te Ableitung mehrdimensional
Für skalare Funktionen $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^n\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die zweite Ableitung die Hesse-Matrix.

Da du aber eine Fkt. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ hast,

musst du die beiden Komponentenfunktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x,y) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_2(x,y) \end{eqnarray*}$ jede für sich betrachten und deren Hesse-Matrix bestimmen.

Die zweite Ableitung besteht also aus zwei Hesse-Matrizen. Sie ist also so etwas wie eine Matrix in drei Dimensionen $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{2\times 2\times 2} \end{eqnarray*}$ .

Gibt's natürlich nicht, ließe sich auch schwer zu Papier bringen. Aber du kannst wie gesagt zu jeder Komponente die Hesse-Matrix bestimmen.

06.02.2013, 14:05

steviehawk

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: 2te Ableitung mehrdimensional
Super vielen Dank.

Die Hessematrix benötige ich ja in erster Linie um Extrema zu bestimmen, also zu prüfen ob ein Max oder Min vorliegt.

Sind denn auch Max und Min für solche vektorwertige Funktionen definiert??

06.02.2013, 14:23

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Sind denn auch Max und Min für solche vektorwertige Funktionen definiert??

Nein, sind sie nicht. Nur für die einzelnen Komponenten.

Neue Frage »

Antworten »

2te Ableitung mehrdimensional

Verwandte Themen