lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes

06.02.2013, 13:45

Hansiii

Ich habe einige Probleme bei folgenden Aufgaben:

Aufgabestellung die selbe wie oben.

$\begin{eqnarray*} \mathbb R^{3} \rightarrow \mathbb R, \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}} \end{eqnarray*}$

Meine Idee:

$\begin{eqnarray*} f( \Lambda(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \Lambda f( (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f( \Lambda(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) = \sqrt{(\Lambda x)^{2}+(\Lambda y)^{2}+(\Lambda z)^{2}} = \sqrt{\Lambda^{2}(x^{2}+ y^{2}+z^{2})} = \Lambda \sqrt{x^{2}+ y^{2}+z^{2}} = \Lambda f( (\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

=> abgeschlossen bezüglich der Multiplikation mit einem Skalar.

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix}) = f( \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}) + f( \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\begin{pmatrix} x_{1}+x_{2} \\ y_{1}+y_{2} \\ z_{1}+z_{2} \end{pmatrix}) = \sqrt{(x_{1}+x_{2})^{2}+ (y_{1}+y_{2})^{2}+(z_{1}+z_{2})^{2}} = \sqrt{x_{1}^2 + 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2+2y_1y_2+y_2^2+z_1^2+2z_1z_2+z_2^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \neq f( \begin{pmatrix} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{pmatrix}) + f( \begin{pmatrix} x_{2} \\ y_{2} \\ z_{2} \end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$

nicht abgs. bzgl. der Addition.

=> keine lin. Abbildung

stimmt das so?

2)
$\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 3} [x] \rightarrow \mathbb R _{\leq 3} [x] \end{eqnarray*}$ , 2 ordnet einem Polynom seine Ableitung zu

Meine Idee:
keine Ahnung... bräuchte evtl. einen kleinen Ansatz.

evtl. Polynom aufstellen: $\begin{eqnarray*} ax^3+bx^2+cx+d \end{eqnarray*}$
dann soll die Abbildung so sein?: $\begin{eqnarray*} 3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

Was ist da Kern und was Bild? Ich brauche ja eins für die Dim.

Edit lgrizu: Abgetrennt aus lineare Abbildung + Dimension des Kerns und Bildes. Des Weiteren den Latex Code an Fensterbreite angepasst.
Die Aufgabenstellung lautet:
a) überprüfe ob lineare Abbildung
b) Begründung
c)wenn lin. Abb. dann Dimension des Kern und Bildes

06.02.2013, 15:24

lgrizu

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Ich habe jetzt niocht soo viel Zeit, möchte aber dennoch kurz antworten:

Die erste Aufgabe ist richtig gelöst.

Also zu der Aufgabe:

Zitat:

2)
$\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 3} [x] \rightarrow \mathbb R _{\leq 3} [x] \end{eqnarray*}$ , 2 ordnet einem Polynom seine Ableitung zu

Es ist hier ganz einfach $\begin{eqnarray*} f(ax^3+bx^2+cx+d)=3ax^2+2bx+c \end{eqnarray*}$

Wenn man weiß (und das auch benutzen darf) kann man hier die Isomorphie von $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\leq 3} [x] \end{eqnarray*}$ zum $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$ ausnutzen.

Wenn nicht, dann läuft Koeffizientenvergleich auf das selbe hinaus.

06.02.2013, 15:36

Magnitude

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Zitat:

Die erste Aufgabe ist richtig gelöst

dem widerspreche ich.

Es ist $\begin{eqnarray*} f(\lambda \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}) =|\lambda |\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \sqrt{\lambda^2}=|\lambda| \end{eqnarray*}$

Und auch die Nicht-Abgeschlossenheit ist so nicht wirklich bewiesen.
Da würde ich ein Gegenbeispiel fordern.

06.02.2013, 16:09

Hansiii

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Also ich würde sagen:

$\begin{eqnarray*} |\Lambda \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} | = | \begin{pmatrix} \Lambda x \\ \Lambda y \\ \Lambda z \end{pmatrix} | \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} |\lambda | |\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}| \end{eqnarray*}$ dank der Voraussetzung, die ja den Betrag eines Vektors gleicht.

Daher gilt es für alle $\begin{eqnarray*} \Lambda \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

und damit abgeschlossen oder lieg ich da falsch?

06.02.2013, 16:20

Magnitude

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Was soll das
$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} | | \end{eqnarray*}$
genau sein?

Und was genau verstehst du hier unter "abgeschlossen"?
(Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation?)

06.02.2013, 16:41

Hansiii

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Zitat:

Original von Magnitude
Was soll das
$\begin{eqnarray*} | \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} | | \end{eqnarray*}$
genau sein?

Betrag eines Vektors! $\begin{eqnarray*} \sqrt{x^2+y^2+z^2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Und was genau verstehst du hier unter "abgeschlossen"?
(Abgeschlossen unter Skalarmultiplikation?)

Ja nur abgeschlossen bzgl. der Multiplikation mit einem Skalar.

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