Bewegungsgleichung rotierendes Dreieck

06.02.2013, 18:10	rumrumherum	Auf diesen Beitrag antworten »
Bewegungsgleichung rotierendes Dreieck Hi alle miteinander, ich verzweifle im Augenblick an folgenden Problem: In 3D: Auf einem rechtwinkeligen Dreieck mit den Winkel [Alpha] rotiert ein zweites Dreieck mit den Winkel [Beta] um den Winkel [Phi]. Wie Groß ist der Gesamtwinkel [Delta] in Abhängigkeit von Phi. Zum besseren Verständnis habe ich noch eine Skizze beigefügt! Bei Phi 0 und 180° ist Delta=acos ( cos Apha + cos Phi * cos Beta ) bei 90 und 270° ist Delta= acos ( cos Alpha * cos Beta) Bei den anderen Winkeln komme ich auf keinen grünen Zweig. Lg Hans
06.02.2013, 18:24	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bewegungsgleichung rotierendes Dreieck Ich gehe davon aus, dass du den Winkel zwischen dem unteren Schenkel von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und dem oberen von $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ berechnen willst. Zeichne das rote Dreieck so, dass der Eckpunkt mit dem Eckpunkt von $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ zusammenfällt. Nun lässt sich der Winkel $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ fast direkt ablesen. Auch eine Dreiecksdrehung dürfte dann nicht so kompliziert sein. Wie groß ist $\begin{eqnarray} \delta \end{eqnarray}$ , wenn du das rote Dreieck so drehst, dass dessen Hypothenuse horizontal ist?
06.02.2013, 18:58	rumrumherum	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist klar wenn die Eckpunkte beider Dreieck sich berühren kann der Winkel Delta direkt abgelesen werden. Wenn die Hypothenuse des roten Dreiecks Horizontal ist, ist Delta Alpha - Beta. Wie ist aber Delta wenn das rote Dreieck im Raum um Phi gedreht wird?
06.02.2013, 19:58	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Winkelsummen zwischen verschiedener Ebenen sind per se nicht definiert. Trotzdem: Zuerst transformiere ich die Aufgabe : es gibt eine Urprungsgerade $\begin{eqnarray} g: y= tan(\alpha)\cdot x \end{eqnarray}$ Es gibt eine Ursprungsgerade $\begin{eqnarray} h: y= \tan (\alpha+\beta) \cdot x \end{eqnarray}$ Diese rotiert um g mit dem festen winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ bezüglich g Es entsteht ein Kegel mit dem Öffnungswinkel $\begin{eqnarray} 2(\beta) \end{eqnarray}$ Welcher Winkel ist nun gesucht: 1.) Zwischen h und der x-Achse ? 2.) Zwischen h und der x-z-Ebene?
06.02.2013, 21:02	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst Delta = Alpha - Beta. Das ist falsch. Siehe dir deine Zeichnung an! Der Winkel zwischen den beiden Geradenstücken ist nicht davon abhängig, ob die beiden Dreiecksecken zusammenfallen oder nicht. Es gilt $\begin{eqnarray} \delta=\alpha+\beta-\phi \end{eqnarray}$ . Lege einen Bleistift mit der Spitze nach links auf die x-Achse. Drehe den Bleistift um den Winkel $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ im Uhrzeigersinn (rechtsherum). Drehe zusätzlich den Bleistift um den Winkel $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ im Uhrzeigersinn. Drehe letztendlich den Bleistift um den Winkel $\begin{eqnarray} \phi \end{eqnarray}$ im GegenUhrzeigersinn. Um welchen Winkel insgesamt wurde der Bleistift gedreht?
07.02.2013, 11:25	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry, ich hatte eine Drehung in der Blattebene impliziert. Beim nochmaligen Durchlesen ist mir das "3D" aufgefallen. Offensichtlich soll sich das rote Dreieck um die Hypothenuse des schwarzen Dreiecks aus der Blattebene heraus drehen. Um das Problem beschreiben zu können, definiere ich ein kartesisches Koordinatensystem, dessen Nullpunkt in der $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ -Ecke ( $\begin{eqnarray} A_s \end{eqnarray}$ des schwarzen Dreiecks liegt. Die x-Achse zeige nach rechts, die y-Achse nach oben (innerhalb der Blattebene) und die z-Achse nach oben senkrecht zum Blatt. Wir suchen den Winkel zwischen zwei Geraden im 3D-Raum. Auch wenn es sich hierbei um windschiefe Geraden handelt, ist deren Winkel über das Skalarprodukt der Richtungsvektoren berechenbar. Der Richtungsvektor der negativen x-Achse ist $\begin{eqnarray} \vec{e}_1=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Bezeichnungen am roten Dreieck: B: Punkt bei $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ , C: Punkt am rechten Winkel, A: zweiter Punkt der Hypothenuse und c: Länge der Hypothenuse, es kann zur Normierung c=1 gesetzt werden. Es gilt dann: $\begin{eqnarray} \vec{BC}=c \cos(\beta)\begin{pmatrix} -\cos(\alpha) \\ \sin(\alpha) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{CA}=c \sin(\beta)\begin{pmatrix} \cos(\phi)\sin(\alpha) \\ \cos(\phi)\cos(\alpha) \\ \sin(\phi) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} \vec{AB}=\vec{BC} +\vec{CA}=\vec{e}_2 \end{eqnarray}$ . Für c=1 ist dies der normierte zweite Richtungvektor. Der Winkel ist damit $\begin{eqnarray} \delta=acos(e_{1x}\cdot {e_{2x}})=acos\left(\cos(\beta)\cos(\alpha)-\sin(\beta)\sin(\alpha)\cos(\phi)\right) \end{eqnarray}$ , da die übrigen y-z-Koordinaten beim Skalarprodukt 0 ergeben. Dies ergibt für $\begin{eqnarray} \phi=0 \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta=\alpha+\beta \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} \phi=\pi \rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta=\alpha-\beta \end{eqnarray}$ .
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07.02.2013, 17:26	rumrumherum	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt haut es hin! Danke
08.02.2013, 12:05	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Hört/Liest man immer wieder gerne.

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