Aufgabe - Kombination von einer PIN

06.02.2013, 20:05	Tubbycore	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe - Kombination von einer PIN Hallo, folgende Aufgabe habe ich gelöst und habe aber keine Lösung. Kann mir jemand sagen ob das korrekt ist? Danke. Eine 6-stellige PIN kann an jeder Stelle mit einer der 10 Ziffern 0, . . . , 9 oder einem der 5 Sonderzeichen !, ?, %, §, & besetzt werden. Wie viele 6-stellige PINs gibt es, die a) an der ersten und letzten Stelle ein Sonderzeichen und sonst lauter Ziffern enthalten? b) an genau zwei Stellen ein Sonderzeichen und sonst lauter Ziffern enthalten? c) mindestens ein Sonderzeichen enthalten? Lösung: Ich denke das ich richtig liegen wenn ich es -- mit Wiederholung, -- mit Reihenfolge mache. Oder? a) $\begin{eqnarray} 5^{2}10^{4}=250.000 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} 5^{2}5^{2}10^{4}=6.250.000 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} 510^{5}=500.000 \end{eqnarray}$ Danke im vorraus
06.02.2013, 20:29	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, die a) ist richtig. Bei der b) ist die Anzahl an Kombinationen für 2 Sonderzeichen an den ersten beiden Stellen $\begin{eqnarray} 5^210^4 \end{eqnarray}$ Edit: Fettgedruckte korrigiert. Also diese Kombination: $\begin{eqnarray} sszzzz \end{eqnarray*}$ s=Sonderzeichen z=Zahl Jetzt musst du aber noch die anderen Kombinationen berücksichtigen. Wieviele sind das dann insgesamt? Grüße.
06.02.2013, 20:41	Tubbycore	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ups das müssten $\begin{eqnarray} \frac{6!}{2!4!} = 15 \end{eqnarray}$ sein oder? Also lautet b) $\begin{eqnarray} \frac{6!}{2!4!}5^{2}10^{4}=3.750.000 \end{eqnarray}$ stimmts nun? Ach und bei c) müssten es dann $\begin{eqnarray} \frac{6!}{1!5!}510^{5}=3.000.000 \end{eqnarray*}$ sein oder?
06.02.2013, 20:53	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die b) ist richtig. Bei der c) hast du jetzt die Anzahl der Pins ausgerechnet, bei denen es genau ein Sonderzeichen gibt. Du musst jetzt noch alle Kombinationen berechnen bei denen es 2 oder mehr Sonderzeichen gibt. Im Prinzip genau wie du es eben gemacht hast, nur für die anderen 5 Fälle.
06.02.2013, 21:53	Tubbycore	Auf diesen Beitrag antworten »
hm okay. Wird das dann mit plus verknüpft? also sprich: $\begin{eqnarray} <br /> 6(510^{5}+5^{2}10^{4}+5^{3}10^{3}+5^{4}10^{2}+5^{5}10+5^{6})=4.460.400<br /> \end{eqnarray}$ korrekt?
07.02.2013, 02:20	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte es ein bisschen anders. Jede Anzahl der Kombinationen, bei einer bestimmten Anzahl von Ziffern und Sonderzeichen, benötigt einen eigenen Binomialkoeffizenten. Somit ist die Anzahl der Kombinationen mit mindestens einem Sonderzeichen: $\begin{eqnarray} \sum_{s=1}^6 \begin{pmatrix} 6 \\ s \end{pmatrix} \cdot 5^s \cdot 10^{6-s}=\begin{pmatrix} 6 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 5^1 \cdot 10^{5}+\begin{pmatrix} 6 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 5^2 \cdot 10^{4}+ \ldots \end{eqnarray}$ Alternativ kann man auch erstmal alle Kombinationen berechnen, wenn an jeder Stelle alle Arten von Ziffern und Sonderzeichen möglich sind. Bei 6 Stellen und 15 Zeichen (Ziffern & Sonderzeichen) sind das $\begin{eqnarray} 15^6 \end{eqnarray}$ Jetzt muss man noch die Anzahl an Kombinationen abziehen, bei denen nur Ziffern erlaubt sind. Das führt dann zum selben Ergebnis. Grüße.
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07.02.2013, 12:38	Tubbycore	Auf diesen Beitrag antworten »
ach hm, irgendwie logisch wenn man es so sieht. Selber wäre ich nicht drauf gekommen . Aufjedenfall danke für die Hilfe
07.02.2013, 18:09	Kasen75	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Gleichheit der beiden alternativen Lösungsansätze kann man auch mit dem binomischen Lehrsatz begründen: $\begin{eqnarray} (x+y)^n=\sum_{i=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^k \end{eqnarray}$ Bei dir ist x=10, y=5 und n=6 Die rechte Seite kann man aufteilen: $\begin{eqnarray} \underbrace{(x+y)^n}_{\text{Sowohl Ziffern als auch Sonderzeichen sind erlaubt}}=\underbrace{\begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} x^{n-0} \cdot y^0}_{\text{k=0: Nur Ziffern zugelassen }}+\underbrace{\sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^k}_{\text{k=1 bis 6: mind. ein Sonderzeichen }} \end{eqnarray}$ "Nur Ziffern zugelassen" ist äquivalent zu "keine Sonderzeichen zugelassen". Jetzt kann die Anzahl an Kombinationen, bei denen nur Ziffern erlaubt sind, von der Anzahl an Kombinationen abziehen, bei denen sowohl Ziffern als auch Sonderzeichen erlaubt sind. $\begin{eqnarray} (x+y)^n-\begin{pmatrix} n \\ 0 \\ \end{pmatrix} x^{n-0} \cdot y^0=\sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+y)^n-1\cdot x^{n} \cdot y^0=\sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^k \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+y)^n- x^{n} =\sum_{i=1}^n \begin{pmatrix} n \\ k \\ \end{pmatrix} \cdot x^{n-k} \cdot y^k \end{eqnarray}$ Setzt man die entsprechenden Werte für x,y und n ein, sieht man deutlich, dass die beiden Lösungsansätze äquivalent sind. Das war jetzt eine weitergehende Erklärung, falls es für dich von Interesse ist. Jedenfalls freut es mich, dass du zum richtigen Ergebnis gekommen bist. Grüße.

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