Überprüfung Aufgabe mit Bild&Kern

06.02.2013, 21:32	Bakatan	Auf diesen Beitrag antworten »
Überprüfung Aufgabe mit Bild&Kern Beim Überarbeiten kam mir meine Lösung irgendwie komisch vor, deshalb frage ich lieber mal nach: ist das Folgende so richtig und gibt es herausstechende Alternativlösungen? [attach]28316[/attach] $\begin{eqnarray} \text{Sei }dim_K(Im(\varphi))=dim_K(Im(\varphi²))=dim_K(\varphi(Im(\varphi))) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Es ist insbesondere }\varphi(Im(\varphi))\subset Im(\varphi)\text{ also }\varphi(Im(\varphi))=Im(\varphi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Sei }\phi :=\varphi\Big\|_{Im(\varphi)}\text{ also }\phi :Im(\varphi)\rightarrow Im(\varphi)\text{ surjektiver Endomorphismus also auch Isomorphismus} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Also }Ker(\phi)=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{Sei letztendlich }a\in Ker(\varphi)\cap Im(\varphi)\text{ so ist auch }a\in Ker(\phi)\text{ also }a=0 \end{eqnarray}$ Ich habe irgendwie das Gefühl das ist zu umständlich (falls es überhaupt richtig ist). Die andere Richtung ist eher einfach: $\begin{eqnarray} \text{Sei }Ker(\varphi)\cap Im(\varphi)=0\text{ so ist }Im(\varphi)=Im(\varphi^n),~n\in\mathbb{N}\text{ also die Behauptung trivial.} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{(Anmerkung: }dim_K(V)=dim_K(Ker(\varphi))+dim_K(Im(\varphi))=dim_K(Ker(\varphi)\oplus Im(\varphi)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Ker(\varphi)\oplus Im(\varphi)=V\text{, was vorher zum Bild beigetragen hat ist danach wieder im Bild)} \end{eqnarray}$ PS: Die eher bekanntere Aufgabe [attach]28317[/attach] wäre dann davon eine direkte Folgerung
08.02.2013, 10:53	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Überprüfung Aufgabe mit Bild&Kern Wenn die in der Rückrichtung verwendete Aussage bekannt ist, stimmt das alles. Die "Hinrichtung" ist auch nicht allzu umständlich. Das könnte man höchstens umformulieren, wenn man es andes schöner fände.

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