Abiturvorbereitung Extremwertaufgabe: Minimale Dreiecksfläche

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Sue. Auf diesen Beitrag antworten »
Abiturvorbereitung Extremwertaufgabe: Minimale Dreiecksfläche
Meine Frage:
Ich brauche mal dringend eure Hilfe bei der folgenden Aufgabe ._. Ansätze würden mir schon reichen.

"Gegeben ist ein Grundstück, in dessen Ecke O eine rechtwinklige Grube ist. Über einen Pflock P, der sich - von der Grundstücksecke O aus gesehen- an der Position P(1,2) befindet, soll zur Sicherheit ein Seil so gespannt werden, dass ein dreieckiges Areal XOY abgesperrt wird. In welchen Abständen von der Mauerecke O müssen die Seilbefestigungen X und Y angebracht werden, wenn der Inhalt des Areals minimal sein soll?

Meine Ideen:
P hat die Koordinaten (1;2)
Die Ecke O (0;0)

Habe schon einiges ausprobiert, aber alles ergibt keine Lösung ._.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abiturvorbereitung
Deine Koordinaten von O und P stimmen schon mal.

Das Seil soll ja zwischen X(?;0) und Y(0,?) gespannt werden.

Offenbar ist X(1+h;0) mit einem h>0 (Sonst befände sich P außerhalb des Dreiecks).

Bei Y ist die zweite Koordinate nun abhängig von diesem h, aber größer als 2, also Y(0;2+g(h)) mit g(h)>0.

Betrachte erst einmal folgendes Beispiel: Setze h=1 und du hast X(2;0) und Y(0;4) (4=2+g(1), also g(1)=2)

Zeichne es auf und du wirst sehen, dass die Verbindungsstrecke P schneidet.

Zeichne die Abstände h=1 und g(h)=2 an den entsprechenden Stellen auf der x- und der y-Achse ein.

Jetzt solltest du noch überlegen, wie g(h) von h abhängt. Überlege dir dabei, was z.B. mit g(h) passiert, wenn du h verdoppelst, verdreifachst oder halbierst. Mache dir zur Not Wertetabellen um eine allgemeine Regel zu finden.

Wenn du das geschafft hast, kannst du die Fläche des eingeschlossenen Dreiecks in Abbhängigkeit von h bestimmen.
Das ist eine Funktion F(h), dessen Minimum du suchen sollst.


Wenn dir das nicht weiterhilft oder du noch Fragen hast, melde dich einfach nochmal.
 
 
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abiturvorbereitung
1. Mach eine Skizze.

2. Wo das Seil entlangläuft, kann durch eine Geradengleichung s beschrieben werden. Benutze für die Steigung m und den bekannten festen Punkt.

.......

5. Und nun eine Extremwertberechnung mit Hilfe der Analysis.

EDIT: zu spät! Tränen

EDIT II: Ich habe meinen Beitrag größtenteils gelöscht. Lesen sollte man können ...
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Punkten kann ich auch nachvolllziehen, aber wie rechne ich jetzt genau den Abstand aus?

Ich brauche ja irgendwie eine FOrmel, und was mache ich mit dem Punkt P?

Und DANKE :*
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Also wäre der abstand von x=2 und von y=4
aber ist das denn auch das Minmum?
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin's nochmal. Big Laugh

habe jetzt bisschen was probiert und mir eine wertetabelle aufgestellt.

dann käme für mich raus.

x=h+1
y= x+2 , also y=(h+1)+2

richtiger oder falscher Ansatz? Big Laugh
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das mit dem Punkten kann ich auch nachvolllziehen, aber wie rechne ich jetzt genau den Abstand aus?

Welchen Abstand meinst du? Den zwischen den Punkten O und Y?

Zitat:
dann käme für mich raus.

x=h+1
y= x+2 , also y=(h+1)+2

richtiger oder falscher Ansatz? Big Laugh

Sind dieses x und y die Ecken des Dreiecks XOY oder irgendwelche Koordinaten?
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt sehe ich garnicht mehr durch .___. Aber danke für deine Hilfe .__.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Schauen wir uns mal die Wertetabelle an, wo X aus h berechnet wird:



Wir wollen nun Y so wählen, dass die Verbindungsstrecke von X nach Y durch P geht: (hier noch zeichnerisch bestimmt)



Hieraus hättest du die Werte g(h) bestimmen und in folgende Tabelle eintragen können:



Hier hättest du sehen können: g(h)=2/h

Du brauchst also Punkte X(1+h;0) und Y(2+2/h;0).

Die Fläche des Dreiecks ist damit .

Davon kannst du das Minimum über h bestimmen.

Wenn du magst, kann ich dir noch zeigen, wie du mithilfe der Geradengleichung zu dieser Funktion kommst. (Du solltes es dir geometrisch mal veranschaulichen, warum gerade g(h)=2/h ist. Der Weg mit der Geradengleichung wäre aber sauberer.)
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Sorry, hab mich verschrieben und zum editieren ist jetzt zu spät. Ich meinte Y(0;2+2/h) und nicht Y(2+2/h;0).
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh, ich hab meinen Fehler gefunden smile Oh du bist mir so eine Hilfe, du Genie ey Big Laugh

Und die formel F(h) löse ich nun nach h auf oder suche ich mir einen Wert aus?! .__.
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Wir wollen nun Y so wählen, dass die Verbindungsstrecke von X nach Y durch P geht: (hier noch zeichnerisch bestimmt)



Kannst du mir da den Rechenweg nochmal erklären?
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das mit der Tabelle hab ich nun kapiert Big Laugh

aber jetzt die lösung der aufgabe hab ich noch nicht o.O
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe Y wie gesagt nicht berechnet, sondern zeichnerisch bestimmt (natürlich habe ich Y berechnet, aber keinen Rechenweg angegeben und so getan, als wäre es meine zeichnerische Lösung).

Ich kann aber auch gerne den Rechenweg angeben:

Du kennst ja sicher die Geradengleichung y=mx+b.
(Achtung! klein x und y sollen hier Koordinaten sein, während groß X und Y immer noch die Ecken des Dreiecks sind.)

Wir haben ja die Punkte X und P, die beide auf der Hypotenuse liegen. Und wir haben ihre Koordinaten und .

Die Hypotenuse lässt sich mit y=mx+b beschreiben.

Unsere Koordinaten eingesetzt:




also das LGS




Aufgelöst nach m und b ergibt: m=-2/h, b=2+2/h

Letztendlich haben wir also die Geradengleichung y=(-2/h)x+2-2/h mit der die Hypotenuse beschrieben wird.

Der Punkt Y (Vorsicht! Nicht die Koord. klein y) ist dann ja der Schnittpunkt mit der y-Achse, also Y(0;b) bzw. Y(0;2+2/h).

Hier ergibt sich also wieder eine Formel mit h, statt durch X.

Ist aber kein Problem. Wir haben ja und damit mit und

So ergibt sich aus .

Zitat:
Und die formel F(h) löse ich nun nach h auf oder suche ich mir einen Wert aus?! .__.

Nein, du bildest die Ableitung F'(h) und bestimmst damit das Minimum.
Der Funktionswert ist nämlich die Dreiecksfläche, die Kathetenlängen miteinander multipliziert und durch 2 geteilt.
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nun folgendes raus:

f'(h)=((h-1)*(h+1)) / 2
f''(h)=2/h^3

wenn ich dann f'(h)=0 setze, dann ist h=1 und h=-1

und was mache ich nun?
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Das Ableiten und richtig hinschreiben üben wir aber nochmal. Es sieht für mich so aus, als hättest du zwar richtig abgeleitet, dann aber schon umgeformt, als wären f'(h) und f'''(h) immer null. Denk dran, du setzt sie erst danach gleich null und löst dann auf.

Nun stell dir wieder das Dreieck vor. Wo wären die Ecken X und Y, wenn h=-1 wäre? Würde das Sinn ergeben? Deshalb haben wir ja h>0 vorausgesetzt.
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte nun am Ende raus, dass X 2 Meter von O entfernt ist und Y halt 4 Meter. Wäre das richtig? ._.
Colorado Auf diesen Beitrag antworten »

Und zwar goldrichtig! Gratuliere Freude smile na endlich!

Eine Bemerkung noch, wie du oben bei meiner Herleitung mit der Geradengleichung siehst, hätten natürlich auch von Anfang an eine Funktion mit , statt mit h aufstellen können.
Sue. Auf diesen Beitrag antworten »

Yeah smile Wirklich vielen Dank Gott
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