Messwerte und Normalgleichungen

07.02.2013, 13:57	Magnus87	Auf diesen Beitrag antworten »
Messwerte und Normalgleichungen Hi, wie bestimmt man aus Normalgleichungen und Messwerten eine Funktionsgleichung? --> das Thema Normalgleichungen verwirrt mich. was genau sagen die mir aus, warum und wie kann ich mit deren Hilfe eine Funktionsgleichung bestimmen?
07.02.2013, 16:25	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Messwerte und Normalgleichungen Schau mal hier rein: http://de.wikipedia.org/wiki/Normalgleichung Sei die Normalgleichung gegeben durch $\begin{eqnarray} f(\vec{x})=(\vec{x}-\vec{x_0}) \cdot \vec{n} \end{eqnarray}$ . Normalgleichungen $\begin{eqnarray} f(\vec{x})=0 \end{eqnarray}$ (Hesse Normalform oder Ebenengleichung) bringen zum Ausdruck, dass alle Vektoren, die in der Geraden/Ebene/Hyperebene liegen senkrecht auf dem Normalenvektor stehen. Setzt man einen beliebigen Punkt in diese Normalgleichung ein, dann erhält man dessen Abstand d =f(x,y) zur Ebene. Der Abstand ist d=0, wenn der Punkt in der Ebene liegt, d>0, wenn der Punkt ( $\begin{eqnarray} \vec{x} \end{eqnarray}$ ) auf der Seite der Ebene liegt, in die der Normalenvektor zeigt. Auf der entgegengesetzten Seite ist d<0. Von der Ebenengleichung sind unbekannt: ein Punkt $\begin{eqnarray} \vec{x_0} \end{eqnarray}$ der Ebene und der Normalenvektor $\begin{eqnarray} \vec{n} \end{eqnarray}$ . Diese können durch eine Minimierungsproblem $\begin{eqnarray} M=\sum_1^N (f(\vec{x}))^2 \end{eqnarray}$ Zunächst mathematisch formuliert werden. Dies bedeutet alle Messwerte werden in eine noch nicht festgelegte EbenenNormalform eingesetzt und ihr Abstand gemessen. Durch die Quadrierung der Abstände ist keine Fallunterscheidung für positive/negative Abstände erforderlich. Das Minimierungsproblem fordert, dass die unbekannten Ebenenparameter so bestimmt werden, dass die Summe aller Abstände minimal wird. Durch partielle Ableitungen nach den einzelnen Unbekannten und Nullsetzen erhält man genauso viele Gleichungen wie Unbekannte vorkommen. S.a. Regressionsanalyse
08.02.2013, 11:12	Magnus87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich hab mich total verrant. Es gibt doch Normalgleichungen, die Methode der kleinsten Quadrate, Punktwolken, Messwerte, Gleichungssystem. Ich will jetzt eine Trendlinie erstellen durch die Punktwolke. Ich kriege keinen Zusammenhang in diese Konzeptgegenstände. Hilfst du mir?
08.02.2013, 12:22	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du nur eine Regressionsgerade durch eine (x,y) Punktemenge legen willst, dann lautet die Optimierungsaufgabe: Gegeben sei die Gerade $\begin{eqnarray} y=a+bx \end{eqnarray}$ . Die unbekannten Parameter a und b sollen so bestimmt werde, dass die Zielfunktion $\begin{eqnarray} Z(a,b)=\sum_{i=1}^{N}(a+bx_i-y_i)^2 \rightarrow Minimal \end{eqnarray}$ minimal wird. Hierin ist N die Anzahl der Messpunkte. Durch partielle Ableitung nach a und b erhält man zwei lineare Gleichungen für die zwei Unbekannten: $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial a}=\sum_{i=1}^{N}2(a+bx_i-y_i)=0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial Z}{\partial b}=\sum_{i=1}^{N}2(a+bx_i-y_i)x_i=0 \end{eqnarray}$ . Den Faktor 2 kann man weglassen. Dies führt zu dem Gleichungssystem: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} N & \sum_{i=1}^{N}x_i \\ \sum_{i=1}^{N}x_i & \sum_{i=1}^{N}x_i^2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \sum_{i=1}^{N}y_i \\ \sum_{i=1}^{N}x_i y_i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Falls du die Absicht hast eine andere Regressionskurve zu wählen, müssen die dargestellten Formulierungen angepasst werden.
09.02.2013, 14:25	Magnus87	Auf diesen Beitrag antworten »
ahh es gibt also für kurven 2. grades andere Gleichungssysteme hey ich denke ich bin ganz froh das ich dich gefragt habe. kann es sein, weil da sind ja su,mmmen im gleichungssystem, das die zahlen da sehr groß werden schon bei wenigen messergebnissen.
09.02.2013, 16:50	zyko	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Regressionanalyse s. a. hier http://de.wikipedia.org/wiki/Regressionsanalyse Die Wahl der Art der Regressionskurve hängt von der Problemstellung ab. Ist die Beziehung zwischen den Werten $\begin{eqnarray} x_i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y_i \end{eqnarray}$ linear, quadratisch oder von höherer Polynomordnung oder gar nichtlinear exponentiell, logarithmisch oder sinusförmig? Manchmal lässt sich auch ein nichtlinearer Regressionsansatz sinnvoll linearisieren: Beispiel exponentieller Ansatz: $\begin{eqnarray} y=ae^{bx} \end{eqnarray}$ Linearisierung $\begin{eqnarray} \ln(y)=\ln(a)+\ln(e^{bx})=\ln(a)+bx \end{eqnarray}$ . Dies führt zu der Regressionsgeraden $\begin{eqnarray} \overline{y}=\overline{a}+bx \end{eqnarray}$ . Hierin sind x die Messpositionen/-Zeiten und $\begin{eqnarray} \overline{y} \end{eqnarray}$ der Logarithmus der Messwerte und $\begin{eqnarray} \overline{a} \end{eqnarray}$ der Logarithmus der Größe a. Man gewinnt durch diese lineare Regression die unbekannten Parameter $\begin{eqnarray} \ln(a) \end{eqnarray}$ und b und berechnet damit $\begin{eqnarray} a=e^{\overline{a}} \end{eqnarray}$ , um zur ursprünglichen Regressionsformel zu kommen. Wie groß die Summen werden, hängt sowohl von der Anzahl der Messwerte ab, aber vor allem von den gewählten Messeinheiten: Z. B. Längeneinheiten: hier kann man [km] Kilometer, [m] Meter, [mm] Millimeter, [µm] Mikrometer oder andere wählen. Wähle deshalb für deine Messwerte die geeignete physikalische Einheit aus.
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