Reihe konvergent?

07.02.2013, 16:01

A. Schavan

Reihe konvergent?

Wir sollen diese Reihe hier auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=2}^\infty\frac 1{n^2\left(\sqrt[n]{n}-1\right)} \end{eqnarray*}$

Alle Kriterien, die wir kennen ham wer durch und sind genauso schlau wie vorher.
Wenn wir wenigstens wüssten ob se überhaupt konvergiert, dat wär doch schomma wat.
Help!

07.02.2013, 16:41

Karamuto

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also ich werde da vom majorantenkriterium angeschrien :O

07.02.2013, 16:49

Jello Biafra

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Zitat:

Original von Karamuto
also ich werde da vom majorantenkriterium angeschrien :O

Ja genau - und es ruft: "Vergiss mich hier, denn diese Reihe ist divergent!"

07.02.2013, 17:08

shipwater

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Edit: Sorry, Denkfehler. Bin von der selben Ungleichung wie HAL9000 ausgegangen nur hatte ich es dann zunächst mit $\begin{eqnarray*} x=\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$ versucht. Daher bin ich dann auf $\begin{eqnarray*} \frac{\ln(n)}{n} \leq \sqrt[n]{n}-1 \end{eqnarray*}$ gekommen. Aber habe leider erst nach dem Abschicken gemerkt, dass ich damit hier nur in die falsche Richtung abschätzen kann... Hammer

Gruß Shipwater

07.02.2013, 17:21

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$ . Damit folgt nach ein paar Umformungen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2(\sqrt[n]{n}-1)} \geq \frac{1}{n\ln(n)}-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2013, 17:42

HAL 9000

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@shipwater

Zusammen mit deinen ersten Überlegungen sieht man dann, dass die Reihenglieder in einem (relativ schmalen) "divergenten Sandwich"

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\ln(n)} - \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n^2(\sqrt[n]{n}-1)} \leq \frac{1}{n\ln(n)} \end{eqnarray*}$

gefangen sind. Augenzwinkern

08.02.2013, 15:54

A. Schavan

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{eqnarray*} e^x\geq 1+x \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , insbesondere auch für $\begin{eqnarray*} x=-\frac{\ln(n)}{n} \end{eqnarray*}$ . Damit folgt nach ein paar Umformungen

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^2(\sqrt[n]{n}-1)} \geq \frac{1}{n\ln(n)}-\frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$ .

Weltklasse! Jetzt ist alles klar.

Die Konvergenz der Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\ln(n)} \end{eqnarray*}$ haben wir in Teil a) zeigen müssen. Wir haben das mit dem Verdichtungskrit. gemacht.

08.02.2013, 15:58

Che Netzer

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Zitat:

Original von A. Schavan
Die Konvergenz der Reihe über $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\ln(n)} \end{eqnarray*}$ haben wir in Teil a) zeigen müssen. Wir haben das mit dem Verdichtungskrit. gemacht.

Na dann zeig das mal...

08.02.2013, 16:06

A. Schavan

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Ähm, (räusper)wollte sagen: Divergenz!!

08.02.2013, 16:08

Che Netzer

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