Beweis des 2. Isomorphiesatzes

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Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des 2. Isomorphiesatzes
Hi! Wink

Zitat:

Beweis des 2. Ismorphiesatzes :


Wir wollen zunächst überlegen, dass man als Untergruppe von auffassen kann. Man betrachte hierzu den Gruppenhomomorphismus



wobei wieder die kanonische Projektion bezeichne. Da dieser Homomorphismus als Kern besitzt, liefert er mit dem Homomorphiesatz einen Monomorphismus , so dass wir mit mit seinem Bild in identifizieren können. Als nächstes beachte man, dass der Kern der kanonischen Projektion den Normalteiler enthält. Also induziert dieser Epimorphismus gemäß dem Homomorphiesatz einen Epimorphismus , dessen Kern ein Normalteiler ist und mit dem Bild von unter der Projektion übereinstimmt. Wenden wir Korollar ( Ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus, so ist kanonisch isomorph zu . ) nochmals an, so folgt, dass einen Isomorphismus



induziert.



Ich verstehe nicht, warum der Kern des Epimorphismus mit dem Bild unter der Projektion übereinstimmt.

Könntet ihr mir evtl. helfen?

Vielen Dank im Vorraus! smile

Gruß
Monoid Augenzwinkern
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des 2. Ismorphiesatzes
Zitat:
Original von Monoid
Als nächstes beachte man, dass der Kern der kanonischen Projektion den Normalteiler enthält.

Hier muss "den Normalteiler enthält" stehen...

Ansonsten ist die von Dir angefragte Stelle lediglich der Homophiesatz für .
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des 2. Ismorphiesatzes
Hi zweiundvierzig! Wink

Ja, das war ein doofer Schreibfehler, stimmt.

Soll ich benutzen?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genau.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre . Aber wozu das ganze?

Wo wurde gezeigt, dass Untergruppe ?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Monoid
Dann wäre . Aber wozu das ganze?

Nein, . Das ist auch wörtlich, was im Text steht.

Zitat:
Original von Monoid
Wo wurde gezeigt, dass Untergruppe ?


Zitat:
Original von Monoid
Zitat:

[...] so dass wir mit mit seinem Bild in identifizieren können. [...]

 
 
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Wink

Aber h
ier
wurde mir gesagt, dass dieser Satz irrelevant ist. verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Da verdrehst du jetzt aber die Tatsachen. In dem verlinkten Thread wurde dir mehrfach gesagt, dass es sich dabei um eine vereinfachende, abkürzende Schreibweise handelt. Mathematisch steckt da nicht viel hinter, sondern wie tmo schon sagte, " Man ist einfach nur zu faul immer statt zu schreiben, wenn man ein Element aus A mit einem Element aus B verknüpfen will".

Und da du dich damit nicht abfinden wolltest und die Konvention nicht akzeptierst (und damit bei diesem Beweis mit der üblichen Notation nicht weiter kommst), zitiere ich auch noch die Aussage von Mystic aus dem Thread:

Zitat:
Original von Mystic
Zitat:
Original von Monoid
Also brauche ich mich um diesen Satz in dem Beweis zum 2. Isomorphiesatz eigentlich nicht kümmern?

Weder hier noch anderswo... Mehr noch, wenn dir diese Identifikation von i(a) mit a so "gegen den Strich geht", dann brauchst du dich ihr nicht anzuschließen und kannst stur bei der alten schwerfälligen Notation bleiben... Ratsam ist dies aus meiner Sicht allerdings nicht...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Wink

Ich verstehe aber immer noch nicht, was sie mit dem Satz meinen. traurig

Und was hat "man ist einfach zu faul immer statt zu schreiben...." mit dem Satz zu tun?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dir geht es um die Aussage , die in dem von dir vorgelegten Beweis verwendet wurde. Mengentheoretisch ergibt das keinen Sinn, in dem anderen Thread wurde dir nun mehrfach erklärt, dass es sich dabei um eine abkürzende Notation für handelt. Diese Notation kann man annehmen (was wie tmo und Mystic an einigen Beispielen erklärt haben durchaus sinnvoll ist und eigentlich auch überall so gehandhabt wird), oder man lehnt sie eben ab. Wenn man sie ablehnt, dann kann man mit sämtlichen Aussagen und Beweisen, die diese Notation verwenden aber erstmal nichts anfangen und muss sich diese mühsam umschreiben.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Wink

Also sagt dieser Satz: , wobei i die letzte Abbildung im Beweis bezeichnet?

Und abkürzend schreibt ma also einfach , obwohl das aus der Isomorphie nicht automatisch folgt ( wenn man es mengentheoretisch betrachtet ).

Wie weiß man, wie es gemeint ist?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem Kontext sollte (bzw. muss) ersichtlich sein, wie das gemeint ist.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Habe ich es denn richtig verstanden?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hatte tmo aber auch schon in dem anderen Thread genauso gesagt.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Und warum folgt daraus, dass Untegrupppe ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist elementares Algebrawissen...

Für zwei Gruppen und einen Gruppenhomomorphismus ist eine Untergruppe von .
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Hi! Wink

Dann muss aber sein.

Oder mit anderen Worten ...

Aber warum ist dem so? verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe ganz ehrlich keine Lust, das alles zum wiederholten Male zu wiederholen. Sowohl in diesem Thread als auch in deinem anderen Thread steht eindeutig: , dass Unfug ist, solltest du doch hoffentlich auch selbst erkennen. Schließlich ist keine Abbildung von nach . Es ist also lediglich , aber da ist, schreibt man jetzt eben abkürzend .

Warum man das so macht? Weil man es so machen will, weil es sinnvoll ist, weil es kürzer ist, weil es überall so gehandhabt wird, weil es übersichtlicher ist, weil die andere Notation schwerfällig ist, weil...
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man schreibt, ist doch das mengentheoretisch dennoch falsch. verwirrt

Also kann das mit der Untergruppe doch gar nicht sein...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend hast du die Beiträge von tmo, Mystic und mir nicht wirklich gelesen. Es wurde schon mehrfach gesagt, dass es rein mengentheoretisch betrachtet so nicht sein kann, das hat tmo sogar in seiner ersten Antwort geschrieben. Das habe ich dann in diesem Thread noch einmal wiederholt. Es wurde auch mehrfach darauf hingewiesen, dass es sich hierbei um eine abkürzende Schreibweise handelt, auf die man sich so geeinigt hat.

Ich zitiere noch einmal Mystics Beitrag:

Zitat:
Original von Mystic
Mehr noch, wenn dir diese Identifikation von i(a) mit a so "gegen den Strich geht", dann brauchst du dich ihr nicht anzuschließen und kannst stur bei der alten schwerfälligen Notation bleiben... Ratsam ist dies aus meiner Sicht allerdings nicht...


Du kannst das natürlich gerne ablehnen, dann darfst du aber jede Aussage, jeden Beweis der diese Schreibweise verwendet für dich selber umschreiben. Es gibt an dieser Stelle nicht mehr wirklich etwas zu diesem Sachverhalt zu sagen. Entweder du nimmst diese Schreibweise an (was ich dir empfehlen würde), oder du tust es nicht.
Monoid Auf diesen Beitrag antworten »

Aber wenn man es halt einfach nur so schreibt, stimmt es mengentheoretisch immer noch nicht, und daher ist es eben kein Untergruppe, oder?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das Thema wurde spätestens jetzt erschöpfend diskutiert. Danke an der Stelle an Iorek.

@Monoid: Hast Du noch weitere, andere Fragen zu dem Beweis? Wenn nicht, dann verabschiede ich mich aus dem Thread.
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