Summen-Induktion - Problem beim Schluss...?

07.02.2013, 18:12	EineInduktiooon2	Auf diesen Beitrag antworten »
Summen-Induktion - Problem beim Schluss...? Meine Frage: Hallo Leute, ich komme bei folgender Aufgabe nicht mehr weiter, wäre cool wenn ihr mir einen Ansatz zum Weiterrechnen geben könntet... Meine Ideen: Das ist die gegebene Aufgabe: Beweisen Sie durch Induktion für alle natürlichen Zahlen n: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{m} \end{eqnarray}$ (Mein) Anfang: $\begin{eqnarray} n = 1 : \sum\limits_{k=1}^1 1 \geq 1 \end{eqnarray}$ (Häkchen) Annahme: $\begin{eqnarray} \exists m \in N : \sum\limits_{k=1}^m \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{m} \end{eqnarray}$ Schluss: $\begin{eqnarray} m \Rightarrow m+1 : \sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{m+1} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sum\limits_{k=1}^{m} \frac{1}{\sqrt{k} } + \frac{1}{\sqrt{m+1}} \end{eqnarray}$ Dann setze ich die Annahme für die Summe von k=1 bis m ein, also "Wurzel m": $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{m} + \frac{1}{\sqrt{m+1}} \end{eqnarray}$ Das ganze erweitere ich dann, so dass ich rechts nur noch einen Bruch stehen habe...: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{m+1} \frac{1}{\sqrt{k} } \geq \sqrt{m} + \frac{1+(\sqrt{m}\sqrt{m+1})}{\sqrt{m+1}} \end{eqnarray*}$ ...so weit bin ich nun gekommen, weiter wills aber nicht gehen. Hat eventuell jemand eine Idee wo der Fehler liegt oder wie weitergerechnet werden muss?
07.02.2013, 18:24	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summen-Induktion - Problem beim Schluss...? Hi! Du hast keinen Fehler gemacht. Du hast ja: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{m+1}\frac{1}{\sqrt{k}} \geq \sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m+1}} \end{eqnarray}$ . Wenn du zeigen würdest, dass $\begin{eqnarray} \sqrt{m}+\frac{1}{\sqrt{m+1}} \geq \sqrt{m+1} \end{eqnarray}$ wäre die Aussage ja gezeigt, oder? Versuch das mal... Gruß Monoid
07.02.2013, 18:47	EineInduktiooon2	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey und Danke für deine Antwort! Muss ich wirklich zeigen dass das eine größer/gleich das andere ist? Muss da kein gleich-zeichen hin? Verstehe nicht wieso da ein größer/gleich-zeichen steht weil es ist ja im Prinzip immer noch die gleiche Summe von k=1 bis m+1... und wenns doch richtig ist, dann weiss ich nicht wie ich zeigen soll dass das ene größer ist als das andere ..
07.02.2013, 18:51	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Setz mal 1 ein, dann weißt du, ob sie gleich sind, oder nicht... Multipliziere mal mit $\begin{eqnarray} \sqrt{m+1} \end{eqnarray}$ ... Gruß Monoid
07.02.2013, 19:26	EineInduktiooon2	Auf diesen Beitrag antworten »
hey habe dann am ende folgendes stehen: $\begin{eqnarray} \sqrt{m} \sqrt{m+1} \geq m \end{eqnarray*}$ Reicht das oder muss ich weiter vereinfachen. Weil eigentlich sieht man ja dass die eine Seite größer ist (wegen dem +1, ohne wären sie gleich.)?!?! Gruß, Daniel
07.02.2013, 19:35	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi! Mach aus der Multiplikation der Wurzeln auf der linken Seite der Ungeichung eine Wurzel und quadriere anschließend...
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07.02.2013, 19:53	EineInduktiooon2	Auf diesen Beitrag antworten »
herzlichen Dank für deine Hilfsbereitschaft und Geduld
07.02.2013, 19:54	Monoid	Auf diesen Beitrag antworten »
Bitte!

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