Konvergenz - Seite 8

10.02.2013, 22:04

Che Netzer

Zunächst zur Konvergenz:
Ja, sie konvergiert. Das ist hoffentlich aus der Vorlesung bekannt (Stichwort: alternierende harmonische Reihe).

Und wieso soll sie auch absolut konvergieren?

10.02.2013, 22:14

div

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ich bin ehrlich hatte geraten .

Ist wohl nicht absolut konvergent oder?

10.02.2013, 22:39

Che Netzer

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Das gilt es ja nun herauszufinden Augenzwinkern

Was muss denn gelten, damit $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert?

10.02.2013, 23:07

div

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Es muss größer 1 sein oder?

10.02.2013, 23:14

Che Netzer

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Was muss größer als Eins sein?

10.02.2013, 23:30

div

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der grenzwert?

10.02.2013, 23:30

Che Netzer

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Welcher Grenzwert? smile

10.02.2013, 23:32

div

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Es steht auch bei wiki das sie zwar konvergent ist aber nicht absolut konv.

10.02.2013, 23:35

Che Netzer

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Naja, aber "es steht so auf Wikipedia" ist natürlich keine mathematische Begründung.

Also:
Was müsste (direkt nach Definition) gelten, wenn $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ absolut konvergieren würde?

10.02.2013, 23:36

div

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Ach chenetzer ich mach mal ne neue Aufgabe wo wir jetzt dran üben können:

Überprüfen sie od die folgende Reihe konvergent ist:

Was für ein kriterium wende ich hier an?

Quotientenkriterium?

10.02.2013, 23:40

div

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Eine Reihe heißt absolut konvergent, wenn die aus den Absolutbeträgen der Glieder gebildete Reihe konvergent ist.

10.02.2013, 23:41

Che Netzer

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Was wird das denn jetzt? geschockt

1. Wir waren nur noch einen kleinen Schritt von der Lösung der Aufgabe entfernt unglücklich

Du kennst doch sicher die Definition von absoluter Konvergenz oder kannst sie nachschlagen.
Jetzt überprüfe, ob die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ diese Definition erfüllt.

2. Für eine neue Aufgabe sollte in jedem Fall ein neuer Thread eröffnen.
Das gilt aber vor allem, wenn der bisherige Thread schon groß genug ist.
Und bei knapp 300 Beiträgen würde ich durchaus behaupten, dass das der Fall ist.

Eröffne also einen neuen Thread zu dieser Frage. Aber ja, das Quotientenkriterium ist hier der sinnvollste Ansatz.

Edit: Ja, die Definition ist die richtige.
Wie sieht denn die "aus den Absolutbeträgen gebildete Reihe" in unserem Fall aus?

10.02.2013, 23:43

div

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Es gibt konvergente Reihen, die nicht absolut konvergent sind; z.B. die alternierende harmonische Reihe die konvergiert, die aus den Absolutbeträgen gebildete harmonische Reihe ist jedoch divergent.

Ich glaube der satz sollte alles erklären oder?

10.02.2013, 23:44

Che Netzer

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Steht das so in eurem Skript bzw. dürft ihr das auch benutzen?

10.02.2013, 23:55

div

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skript dürfen wir nicht benutzen aber halt formelsammlung.

Das hatte ich jetzt im it gefunden.

10.02.2013, 23:57

Che Netzer

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Na dann kannst du auch nicht verwenden, dass $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ nicht absolut konvergiert.

Aber das ist auch recht schnell zu zeigen:
Bilde mal summandenweise den Betrag, d.h. bilde in $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}n \end{eqnarray*}$ von jedem einzelnen Summanden den Betrag.

11.02.2013, 00:00

div

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nein che ich glaube ich hab mich falsch ausgedrückt in meinem skript steht das auch schon.

Leider sind wir daher fertig.

11.02.2013, 00:05

div

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Falls du bock hast ,kannst mir ja direkt bei meiner neuen Aufgabe helfen.

11.02.2013, 00:06

Che Netzer

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Ah, dann habt ihr das also doch schon gezeigt.
Wenn es im Skript stand, kannst du es dir auch merken und jederzeit anwenden – es sei denn, das war Übungsaufgabe o.ä., bezweifle ich aber.

Puh, dann haben wir also auch den Fall $\begin{eqnarray*} x=1-\mathrm e \end{eqnarray*}$ geklärt.
Kannst du jetzt zusammenfassend das Konvergenzverhalten der Reihe für $\begin{eqnarray*} x\in[1-\mathrm e,1+\mathrm e] \end{eqnarray*}$ beschreiben?
Dann wären wir mit der Aufgabe endlich fertig Gott

11.02.2013, 00:10

div

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Für 1+e würde es absolut konvergieren .

Für x element 1-e würde es konvergieren aber nich absolut.

11.02.2013, 00:12

Che Netzer

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Ach herrje...

Zitat:

Für 1+e würde es absolut konvergieren .

Meinst du den Fall $\begin{eqnarray*} x=1+\mathrm e \end{eqnarray*}$ ? Dann stimmt die Aussage nicht.

Zitat:

Für x element 1-e würde es konvergieren aber nich absolut.

Aber $\begin{eqnarray*} 1-\mathrm e \end{eqnarray*}$ ist eine Zahl, keine Menge, es sollte also $\begin{eqnarray*} x\,{\color{red}=}\,1-\mathrm e \end{eqnarray*}$ heißen. (davon abgesehen stimmt die Aussage, wenn mit "es" die hier betrachtete Reihe gemeint ist)

Den letzten Fall hast du in der Zusammenfassung noch vergessen.

11.02.2013, 00:15

div

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Kannst du mir sagen wie ich das formal in der Klausur schreiben sollte?

Ich hab keinen nerv mehr für diese Aufgabe.

wenigstens haben wir die 300 er marke gebrochen.

Ich glaube du willst noch die 400 schaffen. Big Laugh

11.02.2013, 00:19

Che Netzer

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Nein, ich wäre froh, wenn wir nicht einmal die 100 überschritten hätten unglücklich

Also gut, da wir die entsprechenden Aussagen alle schon irgendwie hergeleitet haben:
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty\frac{\mathrm e^{-n}(x-1)^n}n \end{eqnarray*}$

konvergiert bedingt (d.h. nicht absolut) für $\begin{eqnarray*} x=1-\mathrm e \end{eqnarray*}$ ,
konvergiert absolut für $\begin{eqnarray*} x\in(1-\mathrm e,1+\mathrm e) \end{eqnarray*}$ und
divergiert für $\begin{eqnarray*} x=1+\mathrm e \end{eqnarray*}$ .

(Die Rechnungen dazu schreibe ich dir aber nicht nochmal sauber auf)

So, das war's.
Calvin meinte, er wolle noch etwas zu dieser Aufgabe sagen, wenn wir fertig sind, das kann er jetzt tun.

Um deine neue Aufgabe kann ich mich (wenn überhaupt) erst "morgen" kümmern.
Jetzt will ich erstmal schlafen und mich von diesem Thread erholen.

11.02.2013, 00:22

lgrizu

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Zitat:

Original von div

wenigstens haben wir die 300 er marke gebrochen.

...und damit ist das die so ziemlich schwerste Geburt, die es im Board jemals gab und belegt den Platz 2 nach Anzahl der Beiträge, da Platz 1 aber mehrere Aufgaben behandelt könnt ihr dies getrost als Spitzenplatz bezeichnen Augenzwinkern

11.02.2013, 00:30

div

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Naja wenigsten etwas.

11.02.2013, 01:02

Calvin

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Schön, dass endlich ein Ende gefunden wurde. Dieser thread war wohl für alle Beteiligten (und da schließe ich die Mitleser ein) eine Qual.

@div

Du hast hier im Hochschulbereich gefragt (und das nicht zum ersten mal). Da ist die eigene Mitarbeit noch mehr gefordert als im Schulbereich.

Dieses ziellose Raten und das ständige "und jetzt? Ich weiß nicht weiter" bringt dir überhaupt nichts und führt nur zu diesen endlosen Quälereien.

Ich gehe davon aus, dass du studierst. Dann solltest du unbedingt lernen, aus der gegebenen Hilfe eigene Schlüsse zu ziehen und nicht immer wieder den selben Fehler zu machen. Wenn ich der Helfer gewesen wäre hätte ich an dieser Stelle das Handtuch geworfen.

Du hast hier die Möglichkeit kostenlos Hilfe von vielen geduldigen Helfern bekommen. Es liegt aber an dir, dass das auch so bleibt.

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