Konvergenz

07.02.2013, 19:41

div

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Konvergenz

Meine Frage:
Hallo ich habe gerade probleme bei einer Aufgabe:

Für x element [ 1-e , 1+e] sei die folgende reihe gegeben:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{e^{-n}*(x-1)^n}{n} \end{eqnarray*}$

Untersuchen sie für welche x element [ 1-e ,1+e ] die Reihe konvergent bzw divergent ist.

Geben sie im Falle von Konvergenz an ob es sich um absolute Konvergenz handelt.

Wie gehe ich hier vor leute?

Meine Ideen:
keine

07.02.2013, 19:45

Che Netzer

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RE: Konvergenz
Sagt dir der Begriff Konvergenzradius schon etwas?

Ansonsten behandle die Reihe wie jede andere und wende ein dir bekanntes Konvergenzkriterium an.

07.02.2013, 19:46

div

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Kann ich das wurzelkriterium hier anwenden?

07.02.2013, 19:48

Che Netzer

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Ja, das funktioniert wunderbar.
(ich gehe davon aus, dass ein dabei auftretender Grenzwert bekannt ist)

07.02.2013, 19:56

div

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Habs angewendet .

Bei mir bleibt das übrig:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{|\frac{e^{-n}(x-1)^n}{n} |} = \lim_{n \to \infty } sup e^{-1} *(x-1) \end{eqnarray*}$

Stimmt das ?

07.02.2013, 19:57

Che Netzer

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Fast. Im letzten Schritt sind leider die Beträge verloren gegangen. Ansonsten stimmt es aber.

Übrigens gibt es für den Limes superior den Befehl \limsup Augenzwinkern

Augenzwinkern

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07.02.2013, 19:59

div

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } sup \sqrt[n]{|\frac{e^{-n}(x-1)^n}{n} |} = \lim_{n \to \infty } sup | e^{-1} *(x-1)| \end{eqnarray*}$

Ok aber wie gehe ich weiter vor?

07.02.2013, 20:00

Che Netzer

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Den übrig gebliebenen Term kannst du auch ohne jeden Grenzwert schreiben. Und dieser soll nun kleiner als Eins sein, damit wir absolute Konvergenz erhalten. Welche Bedingung stellt dies an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ (bzw. an $\begin{eqnarray*} \lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ )?

07.02.2013, 20:03

div

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Für x = 1 wäre es also also absolut konvergent oder ?

07.02.2013, 20:04

Che Netzer

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Ja, für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ ist jeder Summand Null Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie ist denn aber die Aussage des Wurzelkriteriums? Wozu hast du diesen Grenzwert berechnet?
In welchem Fall liefert das Wurzelkriterium absolute Konvergenz dieser Reihe hier?

07.02.2013, 20:07

div

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Wenn das C < 1 ist konvergiert die Reihe absolut.
Was ist denn überhaupt mein grenzwert?

unendlich oder wie?

07.02.2013, 20:09

Che Netzer

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Was $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist, ist wohl noch zu klären.
Aber du dürftest eigentlich noch problemlos
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$
bilden können.

07.02.2013, 20:12

div

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C ist doch der grenzwert oder?

der lim ergibt - unendlich ?

07.02.2013, 20:13

Che Netzer

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Ja, $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ ist der Grenzwert bzw. der Limes superior – so passt es zumindest zu deiner Aussage von oben.

Aber wie kommst du denn auf
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert=-\infty\,? \end{eqnarray*}$

07.02.2013, 20:20

div

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unendlich -1 ist ja unendlich oder ?

07.02.2013, 20:22

Che Netzer

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In gewissem Sinne ja, aber was hat das mit obigem Grenzwert zu tun? Halte da mal die Variablen besser auseinander.

07.02.2013, 20:25

div

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Welchen grenzwert meinst du denn genau ?

07.02.2013, 20:33

Che Netzer

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Den, über den wir die ganze Zeit sprechen, nämlich
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert\,. \end{eqnarray*}$
Wieso sollte der Unendlich sein? Welcher Teil davon ist denn unbeschränkt (und wieso)?

07.02.2013, 20:35

div

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Die e funktion ist unbeschränkt oder ?

07.02.2013, 20:51

div

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Oder was ist dann genau beschränkt ?

Ein paar tips musst du mir schon geben.

07.02.2013, 21:05

div

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Ist es vielleicht bis 1+e beschränkt?

07.02.2013, 21:31

Che Netzer

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verwirrt

Du lässt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich laufen.
Dann setze doch mal ein paar Testwerte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ein...

07.02.2013, 21:31

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Zitat:

Original von Che Netzer
Den, über den wir die ganze Zeit sprechen, nämlich
$\begin{eqnarray*} \limsup_{n\to\infty}\mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert\,. \end{eqnarray*}$
Wieso sollte der Unendlich sein? Welcher Teil davon ist denn unbeschränkt (und wieso)?

$\begin{eqnarray*} e^{-1}\lvert x-1\rvert\ \end{eqnarray*}$ hängt doch überhaupt nicht von n ab.

Vertraue Che, halte da mal die Variablen besser auseinander Augenzwinkern

Augenzwinkern

07.02.2013, 22:57

div

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Was soll ich denn genau machen?

08.02.2013, 06:20

Che Netzer

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Die letzten beiden Beiträge genauer lesen.
Wenn wir $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich laufen lassen, geht $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ deiner Meinung nach auch gegen Unendlich.
Dann machen wir doch mal ganz schulmathematisch ein paar Testeinsetzungen.
Wähle ein paar große Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und setze diese Werte für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ ein.

08.02.2013, 11:01

div

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Ich verstehe nicht was passiert wenn man e^-1 * unendlich rechnet ?

08.02.2013, 11:05

Che Netzer

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Hm...

unglücklich

Dann mal ganz langsam.
Wähle doch mal $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ (also ganz groß Augenzwinkern

Augenzwinkern

). Jetzt setze $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ in den Term $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ ein. Andere Variablen bleiben dabei fest.

08.02.2013, 11:30

DIV

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Das würde 99*e^-1 ergeben oder?

08.02.2013, 11:32

Che Netzer

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Nein! Du sollst $\begin{eqnarray*} {\color{red}n}=100 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert{\color{blue}x}-1\rvert \end{eqnarray*}$ einsetzen...

08.02.2013, 13:41

div

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Das wäre doch

e^-1*| 100 - 1 |

So in ordnung?

08.02.2013, 13:42

Che Netzer

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unglücklich

Wieso bitteschön ist denn nun plötzlich $\begin{eqnarray*} x=100 \end{eqnarray*}$ ?

08.02.2013, 13:44

div

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Wo soll ich dann die 100 einsetzen?

08.02.2013, 13:45

Che Netzer

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In $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ .
Betrachte den Term $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ und ersetze jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht merkst du jetzt, was
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}\mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$
sein könnte.

08.02.2013, 13:50

div

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Ja aber ich verstehe nicht was ich amchen soll.

Dann kommt doch 99*e^-1 raus?

08.02.2013, 13:55

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Betrachte den Term $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ und ersetze jedes $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ .

Mal als Algorithmus:
Wiederhole folgende Schritte, bis du kein $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ mehr in dem Term $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ findest:
1. Suche die Variable $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in diesem Term.
2. Ersetze sie durch $\begin{eqnarray*} 100 \end{eqnarray*}$ .

Also: Wieviele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s findest du denn in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ ?
Wieviele musst du demnach ersetzen bzw. was verändert sich, wenn du $\begin{eqnarray*} n=100 \end{eqnarray*}$ einsetzt?

-> Kannst du daraus schließen, wie sich der Term für andere große Werte von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ verhält?
Wie lautet also der Grenzwert?

08.02.2013, 14:05

div

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Zitat:

Original von div
Das wäre doch

e^-1*| 100 - 1 |

So in ordnung?

Hier habe ich das doch gemacht oder?

08.02.2013, 14:11

div

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Ich verstehe nicht, was ich mahen soll?

08.02.2013, 14:21

div

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Werte eingesetzt wäre das so:

e^-1*| 1 - 1 | + e^-1*| 2 - 1 | + e^-1*| 3 - 1 |

usw . Was mache ich jetzt?

Der wert im betrag bleibt immer positiv.

08.02.2013, 14:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Che Netzer
Also: Wieviele $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ s findest du denn in $\begin{eqnarray*} \mathrm e^{-1}\lvert x-1\rvert \end{eqnarray*}$ ?

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , sondern irgendeine reelle Zahl, bzw. $\begin{eqnarray*} x\in[1-\mathrm e,1+\mathrm e] \end{eqnarray*}$ .

08.02.2013, 14:26

div

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Eingesetzt wäre das:

e^-1*| 1-e - 1 |

e^-1*| -e |

Richtig?

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