Ableitung Matrix*Vector nach Vector

08.02.2013, 11:19

Shin

Ableitung Matrix*Vector nach Vector

Meine Frage:
Hallo,

ich habe ein Teilproblem einer größeren Aufgapisxspbe, bei dem ich nicht weiter komme. Ich habe eine symmetrische Matrix $\begin{eqnarray*} K^{-1} \end{eqnarray*}$ [NxN] und einen Vector Y [Nx1] diese werden foglendermaßen verrechnet:

$\begin{eqnarray*} Z = K^{-1} \cdot Y \end{eqnarray*}$

Also einfach multipliziert. Daraus entsteht ein Vecor Z [Nx1].

Nun soll Z abgeleitet werden nach Y

Meine Ideen:
Bis her dachte ich einfach $\begin{eqnarray*} dZ/dY = K^{-1} \end{eqnarray*}$ weil $\begin{eqnarray*} K^{-1} \end{eqnarray*}$ ja bezüglich Y eine Konstante ist.
Ich habe dafür aber keine Ableitungsregel gefunden. Ist das Ergenis so richtig oder muss man da noch mehr beachten?

viele Grüße

08.02.2013, 11:39

Mazze

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Zitat:

Ich habe dafür aber keine Ableitungsregel gefunden. Ist das Ergenis so richtig oder muss man da noch mehr beachten?

Das Ganze sollte man ordentlich formulieren, dann weiß man auch was zu tun ist. Wir haben hier eine Abbildung

$\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$

Das heißt die Ableitung ist eine lineare Abbildung der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ oder anders, die Ableitung ist eine nxn-Matrix. Sofern eine Funktion total Differenzierbar ist, ist die Ableitung bezüglich der Standardbasis gerade die Jacobi-Matrix. Diese gilt es hier zu bestimmen. Interessanterweise hast Du mit deinem intuitiven Ansatz sogar recht Augenzwinkern

11.02.2013, 15:33

Shin

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Ahh ich verstehe.

Deshalb klappt das hier vielleicht auch nicht. Da das ja nur ein Teilprobllem ist, lässt sich das Problem in dem dieses Steckt nicht an der Stelle spalten.

Ich muss nämlich $\begin{eqnarray*} (K \cdot Y)^{T} \cdot K_p \end{eqnarray*}$ ableiten nach $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$
Wobei K und Y wie oben beschrieben und $\begin{eqnarray*} K_p \end{eqnarray*}$ ist [N x 1] ... und natürlich wieder unabh. von Y ... ist somit ist die lineare Abbildung der Form $\begin{eqnarray*} R^{n} -> R \end{eqnarray*}$
Damit ist die Ableitung auch eine andere oder?

11.02.2013, 15:51

Shin

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Die Ableitung müsste dann $\begin{eqnarray*} K \cdot K_p \end{eqnarray*}$ sein richtig?

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