Erwartungswert+Varianz

08.02.2013, 11:34

Kizaru

Erwartungswert+Varianz

Meine Frage:
Angehängt.

Meine Ideen:
Ich versuche, alles genau und formal darzustellen:
Im Folgenden werden diese Abk. benutzt: Verkaufspreis=VP, Schadensersatz=SE, Selbstkosten=SK
a)
1) pro Verkauf werden 80EUR (=VP-SK) Gewinn erzielt. Bei insgesamt 20 Geräten also 80EUR*20=1600EUR.

2) Mit Wsk. 1/10 wird pro Gerät aber ein Verlust von 320EUR (=SE-VP) erwirtschaftet.

3) Die Anzahl der fehlerhaften Geräte lässt sich durch die Binomialverteilung darstellen mit Paramtern n=20,p=1/10, da von Treffern bei unabhängigen Versuchsdurchführungen die Rede ist.

4) Mit $\begin{eqnarray*} \Omega =\left\{0,...,20\right\} \end{eqnarray*}$ und 3) ergibt sich das folgende Zufallsexperiment $\begin{eqnarray*} (\Omega,p) \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} p:\Omega\rightarrow [0,1] , p(k)=\binom{20}{k}(\frac{1}{10})^k(\frac{9}{10})^{20-k} \end{eqnarray*}$

5) Der tatsächliche Gewinn G ist eine Zufallsgröße, nämlich folgende: $\begin{eqnarray*} G:\Omega\rightarrow\mathbb R , G(k)=1600-320k \end{eqnarray*}$

b) Bei der Berechnung des EW und der Var habe ich nun aber Probleme:
$\begin{eqnarray*} \mathbb E (G)=\sum\limits_{k=1}^{20} (1600-320k)\mathbb P(G=1600-320k) \end{eqnarray*}$ nach Definition. Weiter: $\begin{eqnarray*} \mathbb E (G)=\sum\limits_{k=1}^{20} (1600-320k)\mathbb P(\left\{k\in\Omega :G(k)=1600-320k\right\}) \end{eqnarray*}$ . Da G(k) bijektiv, gibt es genau ein k mit G(k)=1600-320k. $\begin{eqnarray*} \mathbb E (G)=\sum\limits_{k=1}^{20} (1600-320k)\mathbb P(\left\{k\right\})= \mathbb E(G)=\sum\limits_{k=1}^{20} (1600-320k)\binom{20}{k}(\frac{1}{10})^k (\frac{9}{10})^{20-k} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit überhaupt richtig? Und falls ja, wie rechnet man das geschickt aus?

08.02.2013, 11:44

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit deiner Gewinnfunktion bin ich nicht einverstanden:

Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ die zufällige Anzahl der in der Garantiezeit ausgefallenen Geräte ist, dann gilt doch für den Gewinn $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} G = 1600 - 500X \end{eqnarray*}$ .

statt deines $\begin{eqnarray*} G = 1600 - 320X \end{eqnarray*}$ - keine Ahnung, wie du darauf kommst.

Und bei der Erwartungswertrechnung kannst du es dir deutlich leichter machen, wenn du einfach die Linearität nutzt:

$\begin{eqnarray*} E(G) = E(1600-500X) = 1600-500E(X) \end{eqnarray*}$ ,

und für $\begin{eqnarray*} E(X) \end{eqnarray*}$ der Binomialverteilung $\begin{eqnarray*} X\sim B\left(20,\frac{1}{10}\right) \end{eqnarray*}$ gibt es fertige Formeln.

08.02.2013, 12:11

Kizaru

Auf diesen Beitrag antworten »

Jaa, das macht in der Tat keinen Sinn (dann hätte ich pro fehlerhaftes Gerät von den 1600EUR 180EUR nochmals abziehen müssen, was man dann zu 500EUR zusammenfassen kann:P). Ich übernehme dann deine Darstellung der Gewinnfunktion. Die Linearität ist mir gar nicht eingefallen, sondern eine komplizierte Berechnung mittels binomischen Lehrsatz. Der EW einer binomialverteilten ZG X lautet $\begin{eqnarray*} \mathbb E(X)=np \end{eqnarray*}$ und damit folgt $\begin{eqnarray*} \mathbb E (G)=1600-500\mathbb E(X)=1600-500\cdot 20\frac{1}{10}=600 \end{eqnarray*}$ .

Die Varianz kann mittels den Rechenregeln für die Varianz Augenzwinkern

ermittelt werden: $\begin{eqnarray*} \mathbb Var(G)=\mathbb Var(1600-500X)=\mathbb Var(-500X)=(-1)^2 \cdot 500^2 \mathbb Var(X)=500^2 npq=500^2 20\frac{1}{10}\frac{9}{10}=450000 \end{eqnarray*}$
Das erscheint mir jetzt aber viel zu hoch verwirrt

oh man

08.02.2013, 12:51

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kizaru
Das erscheint mir jetzt aber viel zu hoch verwirrt

Inwiefern?

Kann es sein, dass du Varianz und Standardabweichung (=Wurzel aus Varianz) miteinander verwechselst? Denn nur letztere kann hinsichtlich der Größenordnung sinnvoll eingeschätzt werden.

08.02.2013, 13:57

Kizaru

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, in letzter Zeit verwechsel ich mal des öfteren was unglücklich

Nochmals danke für die hilfe

Neue Frage »

Antworten »

Erwartungswert+Varianz

Verwandte Themen