Funktionsgleichung aus Zeichnung ermitteln |
| 08.02.2013, 11:50 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Funktionsgleichung aus Zeichnung ermitteln ich habe hier eine Funktion 3. Grades (verläuft nur negativ, es gibt also weder Hoch-, noch Tiefpunkt) liegen und soll daraus die Funktionsgleichung ermitteln. Folgende Daten konnte ich ablesen: Der Wendepunkt liegt bei (-2/1), eine Nullstelle liegt bei x1=-1, Sy liegt bei (0/-7). Wie mache ich daraus nun eine Funktionsgleichung? In der Lösung steht folgendes: f(x)=-(x+2)^3 + 1 = -x^3 - 6x^2 - 12x-3 (ich weiß allerdings nicht, ob diese Lösung so korrekt war, da mein Lehrer gerne mal Druckfehler drin hatte!) Ich kenne die Allgemeine Form, Linearfaktorform undd Scheitelpunktform - muss man die Punkte da in irgendeine von einsetzen? Wenn ich eine Zeichnung einer Funktinon 3. Grades habe, setze ich normalerweise meien Nullstellen in diese Formel ein. Nehmen wir an de Nullstellen liegen bei x1=-1, x2=3 und x3=4. Dann würde ich so anfangen (so haben wir es in der Schule gemacht): a(0+1)(0-3)(0-4) nach a auflösen... --> Frage: Ist das die Linearfaktorform dann, in die ich meine Punkte einsetze? |
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| 08.02.2013, 12:12 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Lineaform nützt Dir hier nicht soviel, da Du nur eine Nullstelle kennst. Dein Lehrer hat anscheinend die Symmetrie einer Funktion dritten Grades zu ihrem Wendepunkt ausgenutzt, um die Funktion zu bestimmen. Beim Ausrechnen ist dann aber ein Fehler unterlaufen. Richtig ist |
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| 08.02.2013, 12:15 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Und wie kommt man auf dieses Ergebnis? Ich habe den Ansatz noch nicht verstanden |
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| 08.02.2013, 14:24 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oder anders gefragt: Warum nehme ich bei dieser Aufgabe wie bei einer normalen Funktion 3. Grades auch nicht einfach den Schnittpunkt mit der y-Achse und setze den in die Linearfaktorform ein: Sy (0/-3) a(0+1) = -3 ... |
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| 08.02.2013, 14:55 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Weil Du nur einen Linearfaktor kennst. Für eine vollständige Linearfaktorzerlegung brauchst Du drei Nullstellen, was die Funktion aber (im reellen) nicht hat. Edit: Euer Lehrer ist so vorgegangen: Wendepunkt (-2/1) Nullstelle eingesetzt: Möglicherweise hat er auch den Schnittpunkt mit der y-Achse benutzt. |
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| 08.02.2013, 15:01 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ok, und wenn ich eine Funktion 2. Grades habe, dann würde das mit den Linearfaktoren aber gehen, oder? Wenn ich dann zwei Nullstellen habe. Ich habe das Prinzip dieser Aufgabe glabe ich verstanden, sitze aber gerade an einer weiteren ähnlichen Übungsaufgabe, wo die Lösung wohl mal wieder falsch abgedruckt wurde. Ich kenne folgende Daten: WP (3/-1) N1 (4/0) Dann habe ich folgendes gerechnet: f(3) = -1 a(3+1) = -1 a = -0,25 Als Funktion 3. Grades soll laut Lösung jedoch folgendes rauskommen: f(x)=(x-3)^3 - 1 = x^3 - 9x^2 + 27x-28 Stimmt diese Lösung? |
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| 08.02.2013, 15:17 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich muss meine Begündung von oben leider etwas korrigieren: Aus dem Wendepunkt folgt nicht direkt die angegebene Darstellung von f(x), sondern zuerst einmal nur . Erst durch Einsetzen der anderen beiden Bedingungen ergibt sich die gesuchte Funktion. Zu deiner neuen Aufgabe: Wir reden hier von einer quadratischen Funktion? Wenn ja, wo liegt die zweite Nullstelle? Du hast doch nur eine in deine Rechnung einfliessen lassen. |
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| 08.02.2013, 15:30 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also jetzt bin ich total verwirrt. Ich schreibe mal auf, wie ich vorher gerechnet habe. Also ich kenne die Nullstelle -1, den WP -2/1 und den Sy 0/-7 Ich habe dann den WP eingesetzt, um a herauszubekommen: f(-2) = 1 a(-2+2) = 1 a= 1 EDIT: Dieser Teil stimmt nicht, weiß nicht wie der Ansatz ist Das ähnelt ja der Linearfaktorzerlegung oder nicht? Zumindest vom Ansatz her? a(x-x01)... Dann habe ich es zu dieser Form gebracht: -(x+2)^3 + 1 -> ähnlich wie bei der Scheitelpunktform habe ich einfach a und den WP in die Formel (x-WPx)^3 + WPy gebracht. Dann habe ich diese Funktion aufgelöst zu einer Gleichung 3. Grades. -1(x+2)^3 +1 = -x^3 - 6x^2 - 12x - 7 Stimmt das so? |
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| 08.02.2013, 15:38 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wo hast Du den WP denn eingesetzt? In jedem Fall dürfte da kein linearer Term stehen. Die Lösung ist zwar richtig, aber die Frage bleibt, wie Du das hergeleitet hast. Wenn Du meinen Schnellschuss von oben verwendet hast: Den habe ich inzwischen korrigiert, denn leider ist es nicht so einfach wie bei der Scheitelpunktsform quadratischer Funktionen. Ein Beispiel: und haben denselben Wendepunkt bei (0/-1) |
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| 08.02.2013, 15:56 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich hab leider keine Ahnung. Kannst du mir noch mehr Tipps geben? |
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| 08.02.2013, 16:03 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ich habs jetzt nochmal versucht ich setze den WP ein f(-2) = 1 Dann a(-2+1) = 1 die +1 in der Klammer ist die Nullstelle mit umgedrehten Vorzeichen --> N (-1/0) die = 1 ist der y-Wert des Wendepunkts die -2 ist der x-Wert des Wendepunkts Regel ist wie bei Linearfaktorzerlegung: a(x-x01) -1a = 1 / : -1 a= -1 Ich mache quasi das, was ich sonst mit Sy mache. |
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| 08.02.2013, 16:25 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ich immer noch nicht weiss, wo Du genau einsetzt (Doch wohl hoffentlich nicht a(x+1)=1?), gehen wir vielleicht von diesem Spezialfall weg und widmen uns dem allgemeinen Vorgehen bei solchen Aufgaben. Gesucht ist also eine Funktion dritten Grades, d.h. mit der Eigenschaft, dass
Diese vier Bedingungen setzt Du nun in deine allgemeine Funktionsgleichung ein und versuchst das entstehende Gleichungsystem zu lösen. |
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| 08.02.2013, 16:48 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich setze meinen WP in a(x-x01) ein. Und dann habe ich a erhalten. Ich weiß nicht, was ich nun machen soll mit den vier Bedingungen. |
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| 08.02.2013, 17:01 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Damit ist gemeint. |
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| 08.02.2013, 17:03 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja und was soll ich da einsetzen? den Wendepunkt? Wie soll das denn gehen? d ist -7, das weiß ich noch. |
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| 08.02.2013, 17:06 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Punkt besteht aus x und y-Werte, also wo wirst Du die wohl einsetzen müssen? |
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| 08.02.2013, 17:13 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
f(x)= -2x^3 + 1x^2 -2x - 7 |
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| 08.02.2013, 17:18 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie Du jetzt auf diese Funktion kommst, bleibt dein Geheimnis. Du hast die Zuordnung und weisst, dass f(-2)=1, also ist x=-2 zu setzen und du erhältst die Gleichung Das gleiche machst Du mit den anderen Bedingungen. |
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| 08.02.2013, 17:53 | patfan1980111 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
0= a*0^3+b*0^2+c*0-7 -1= a*0^3+b*0^2+c*0+d Ich weiß echt nicht, wie mir das weiterhelfen soll. In der Schule hatten wir das zu diesem Zeitpunkt nicht so gemacht. Zudem hatten wir damals noch nicht mit Ableitungen angefangen. Es muss also eine andere Lösung geben. |
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| 08.02.2013, 18:54 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ich keine Idee habe, wie man Wendepunkte ohne Kenntnis der Ableitung definiert oder berechnet, muss ich dann wohl passen. Edit: Was mir zwischenzeitlich noch eingefallen ist: Steht in der Aufgabe evt., dass die gesuchte Funktion eine Verschiebung und/oder Streckung der Funktion sein soll? Das würde die Aufgabe zumindest vereinfachen. |
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