Exponentialreihe / Indexverschiebung und Konvergenz

08.02.2013, 13:02

Peitho

Exponentialreihe / Indexverschiebung und Konvergenz

Liebe Mitglieder, ich weiß leider nicht weiter,

folgendes ist gegeben, ie Reihe muss auf konvergenz untersucht werden.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sum\limits_{j=1}^n \frac{5^{\frac{j}{2}} }{j!} +2 \end{eqnarray*}$

Meine Überlegungen:
$\begin{eqnarray*} 5^{\frac{j}{2}} = \sqrt{5}^{j} \end{eqnarray*}$

bei der Indexverschiebung bekomme ich Probleme, ich möchte nun j = 0 setzten.

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sum\limits_{j=0}^n-1 \frac{\sqrt{5}^{j+1} }{(j+1)!} +2 \end{eqnarray*}$

Dann ziehe ich den Term auseinander:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sum\limits_{j=0}^n-1 \frac{\sqrt{5}^{j} }{(j)!} * \frac{\sqrt{5}^{1} }{(1)!} +2 <br /> <br /> = e^{\sqrt{5}} * \frac{\sqrt{5}^{1} }{(1)!} +2 \end{eqnarray*}$

Leider merke ich meinen Fehler nicht, ich glaube nicht, dass es richtig ist.

Vielleicht eine Erklärung wie ich Indexverschiebungen bei einer Fakultät im Nenner vornehme?

Liebe Grüße,

Peitho

08.02.2013, 13:16

Che Netzer

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RE: Exponentialreihe / Indexverschiebung und Konvergenz

Zitat:

Original von Peitho
$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sum\limits_{j=0}^n-1 \frac{\sqrt{5}^{j+1} }{(j+1)!} +2 \end{eqnarray*}$

Die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ sollte wohl noch über der Summe stehen...

Zitat:

$\begin{eqnarray*} a_{n}=\sum\limits_{j=0}^n-1 \frac{\sqrt{5}^{j} }{(j)!} * \frac{\sqrt{5}^{1} }{(1)!} +2 <br /> <br /> = e^{\sqrt{5}} * \frac{\sqrt{5}^{1} }{(1)!} +2 \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} (j+1)!\neq j!1!=j! \end{eqnarray*}$ . Edit: Und das letzte obige Gleichheitszeichen ist ohnehin falsch.
Eine Indexverschiebung würde ich auch gar nicht empfehlen, schreibe lieber $\begin{eqnarray*} -1+1 \end{eqnarray*}$ vor die Summe.

08.02.2013, 13:31

Peitho

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Erstmal, vielen Dank für die schnelle Antwort,

Ja es sollte n-1 darstellen, sorry smile

$\begin{eqnarray*} -1 \sum\limits_{i=0}^{n-1} \frac{\sqrt{5}^j }{j!} + 2 \end{eqnarray*}$

?

Wobei die $\begin{eqnarray*} -1 = \frac{\sqrt{5}^0}{0!} \end{eqnarray*}$ darstellt, also i = 0 weches wir abziehen?

Verstehe ich das richtig?

Im Ergebnis also

$\begin{eqnarray*} 1 + e^{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

?

Liebe Grüße,

Peitho

08.02.2013, 13:39

Che Netzer

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Zitat:

Original von Peitho
Im Ergebnis also

$\begin{eqnarray*} 1 + e^{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Das stimmt zumindest, der Rest sah noch ziemlich wirr aus, anscheinend hast du doch noch eine Indexverschiebung durchgeführt.

08.02.2013, 13:44

Peitho

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$\begin{eqnarray*} -1 \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{\sqrt{5}^j }{j!} + 2 \end{eqnarray*}$

So besser? Ich ziehe ja ein Glied raus, deswegen i = 0, und da ich das sowieso abziehe indem ich es vor die Summe ziehe, bleibt n gleich?

Ich glaube ich habe das mit der Indexverschiebung falsch verstanden- oder mit der Schreibweise.

Danke dir, immerhin ein Ergebnis smile

08.02.2013, 13:46

Che Netzer

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Zitat:

Original von Peitho
$\begin{eqnarray*} -1 \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{\sqrt{5}^j }{j!} + 2 \end{eqnarray*}$

Jetzt darf nur die $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nicht direkt vor der Summe ohne weiteres Rechenzeichen stehen.

08.02.2013, 13:50

Peitho

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$\begin{eqnarray*} -1 + \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{\sqrt{5}^j }{j!} + 2 \end{eqnarray*}$

smile

08.02.2013, 13:52

Che Netzer

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Besser

Jetzt musst du nur noch alles zusammenbringen und sauber aufschreiben

08.02.2013, 13:57

HAL 9000

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Ein Ärgernis, das mir in vielen Threads auffällt: Da wird

$\begin{eqnarray*} a_n = \ldots = e^{\sqrt{5}}+1 \end{eqnarray*}$

geschrieben, wo doch aber nur $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n = e^{\sqrt{5}}+1 \end{eqnarray*}$ gilt.

Für Schreibfaule (wie ich auch einer bin) ist ja auch die Kurzform $\begin{eqnarray*} a_n \to e^{\sqrt{5}}+1 \end{eqnarray*}$ noch tragbar, wenn implizit klar ist, dass man dabei den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ im Sinn hat.

Nach diesem erhobenen Zeigefinger Lehrer

bin ich auch schon wieder weg. Wink

08.02.2013, 14:03

Peitho

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Danke dir vielmals ! smile

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{j=1}^n \frac{5^{\frac{j}{2}} }{j!} +2 \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} 5^{\frac{j}{2}} = \sqrt{5}^{j} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 + \sum\limits_{i=0}^{n} \frac{\sqrt{5}^j }{j!} + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -1 + e^{\sqrt{5}} + 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1 + e^{\sqrt{5}} \end{eqnarray*}$

Ich darf das limes doch einfach weglassen? Ups

Liebe Grüße,

Peitho

08.02.2013, 14:23

Che Netzer

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Wenn du den Limes weglässt, müsstest du beim Grenzübergang aber $\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$ schreiben (siehe Hal).
Verknüpfe die Ausdrücke aus deinem letzten Beitrag mal mit sinnvollen Symbolen.

08.02.2013, 14:47

Peitho

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Hab die Nachricht von HAL 9000 erst jetzt gelesen smile

Jetzt wird es mir klar ^^

Danke euch Beiden!

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