l'hôpital für die Exponentialfunktion

08.02.2013, 13:20

Anahita

l'hôpital für die Exponentialfunktion

Hi

Falls die Bedingungen für den Gebrauch von l'hopital für den Bruch
$\begin{eqnarray*} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ erfülllt sind, gilt anscheinend, dass man für $\begin{eqnarray*} \exp(\frac{f(x)}{g(x)}) \end{eqnarray*}$ l'hopital einfach auf den Exponenten anwenden kann.

Womit ist dies begründet?

Danke

Anahita

08.02.2013, 13:24

Mazze

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Die Stetigkeit der Exponentialfunktion. Existiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n \end{eqnarray*}$ so gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}a_n\right) \end{eqnarray*}$

für alle stetigen Funktionen f. Hier wird still angenommen dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich von f liegt.

08.02.2013, 13:24

Bummbumm

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RE: l'hôpital für die Exponentialfunktion
Kannst du an einem Beispiel zeigen, was du meinst?

Von welchem Exponenten sprichst du?

08.02.2013, 13:25

Mazze

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Zitat:

Von welchem Exponenten sprichst du?

f(x) = exp(x) ist eine übliche Schreibweise für die Exponentialfunktion $\begin{eqnarray*} f(x) = e^x \end{eqnarray*}$ .

08.02.2013, 15:02

Anahita

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Zitat:

Original von Mazze
Die Stetigkeit der Exponentialfunktion. Existiert

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}a_n \end{eqnarray*}$ so gilt

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(a_n) = f\left(\lim_{n \to \infty}a_n\right) \end{eqnarray*}$

für alle stetigen Funktionen f. Hier wird still angenommen dass $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ im Definitionsbereich von f liegt.

Vielen Dank! Wenn ich das richtig verstehe, ist das einfach eine Folge der Definition von Stetigkeit. Denn definieren wir Stetigkeit mit mit der "Folgenstetigkeit", dann gilt ja f ist stetig in b wenn:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f (b) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \forall (x_{n})_{n \in \mathbb N } \rightarrow b (n \rightarrow \infty) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} D_{f} \end{eqnarray*}$

Also kann man schreiben:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f(x_{n}) = f(\lim_{n \to \infty} x_{n}) = f (b) \end{eqnarray*}$

Was ich noch nicht ganz verstehe:

Was ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{x^3} \end{eqnarray*}$ wo x^2 und x^3 als Polynome ja stetig sind, aber nicht konvergieren...?

Danke & Gruss

08.02.2013, 15:34

Mazze

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Zitat:

Wenn ich das richtig verstehe, ist das einfach eine Folge der Definition von Stetigkeit.

Tatsächlich ist das sogar direkt die Definition.

Zitat:

Was ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{x^3} \end{eqnarray*}$ wo x^2 und x^3 als Polynome ja stetig sind, aber nicht konvergieren...?

Was genau willst Du tun?

08.02.2013, 15:53

Anahita

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Zitat:

Original von Mazze

Zitat:

Wenn ich das richtig verstehe, ist das einfach eine Folge der Definition von Stetigkeit.

Tatsächlich ist das sogar direkt die Definition.

Zitat:

Was ist in dem Fall $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{x^2}{x^3} \end{eqnarray*}$ wo x^2 und x^3 als Polynome ja stetig sind, aber nicht konvergieren...?

Was genau willst Du tun?

Stimmt, es ist nicht einfach eine "Folge" sondern einfach die Definition, danke.
Wenn man bei stetigen Funktion Grenzwert und Funktion vertauschen kann, dürfte ich den Bruch ja eigentlich schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \frac{(lim(x))^2}{(lim(x))^3} \end{eqnarray*}$

..was nicht viel bringt, aber ich war etwas verwirrt, weil wir, als wir Grenzwerte behandelt haben, gelernt haben, dass man lim a_n/b_n nur als lim a_n/lim b_n schreiben darf, wenn die entsprechenden Grenzwert der Folgen a_n und b_n auch existieren. Ich weiss es ist nicht das Gleiche wie hier, aber das hatte mich irgendwie verwirrt.
Drücke ich mich klar aus?

09.02.2013, 16:33

Mazze

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Mir ist nicht klar was Du genau machen möchest.

Zitat:

..was nicht viel bringt, aber ich war etwas verwirrt, weil wir, als wir Grenzwerte behandelt haben, gelernt haben, dass man lim a_n/b_n nur als lim a_n/lim b_n schreiben darf, wenn die entsprechenden Grenzwert der Folgen a_n und b_n auch existieren.

Nichts anderes machen wir hier. Die Definition der Folgenstetigkeit setzt konvergente Folgen voraus. Damit exisiteren die Grenzwerte immer. Wenn wir eine divergente Folge betrachten haben wir nichts davon.

09.02.2013, 17:44

Anahita

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Ok, ist in Ordnung, danke.

Edit
Was ich gemeint habe, war, ob dies nicht im Widerspruch zu der Aussage steht, dass man für Folgen den Limes nur in den Bruch reinziehen kann wenn die jeweiligen Folgen im Zähler und Nenner konvergieren. Du sagst ja, dass man für stetige Funktionen Funktion und Grenzwert immer vertauschen kann, und Folgen sind ja immer stetige Funktionen, so wie ich das sehe.

10.02.2013, 11:34

Mazze

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Zitat:

Du sagst ja, dass man für stetige Funktionen Funktion und Grenzwert immer vertauschen kann,

Sofern die Grenzwerrte existieren. In der Definition steht ja, sei $\begin{eqnarray*} a_n \to a \end{eqnarray*}$ eine konvergente Folge. Dann heißt die Funktion f Stetig in a wenn $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}f(x_n) = f(a) \end{eqnarray*}$ ist. Sprich, a_n ist schon konvergente. Ist a_n nicht konvergent nützt es uns nichts.

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