Arccot(x) durch Produktintegration berechnen.

09.02.2013, 00:32

frostkrieger

Arccot(x) durch Produktintegration berechnen.

Hallo Hallo, habe hier folgende Aufgabe.

Jemand paar Tipps für mich wie ich daran gehe und warum?

Also ich weis das es die Umkehrfunktion von der eingeschränkten Kotangensfunktion ist. Nur hilft mir das jetzt erstmal nicht so wirklich weiter. Augenzwinkern

Berechnen Sie $\begin{eqnarray*} \int arc cot(x) dx \end{eqnarray*}$ durch Produktintegration.

09.02.2013, 01:12

Karamuto

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fang doch einfach mal an partiell zu integrieren und stell dann fragen :P

falls du die Ableitung von arccot nicht kennst frag wikipedia,wolfram alpha o.ä.

09.02.2013, 15:27

frostkrieger

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okay werd ich mal versuchen. die Ableitung vom Arccot ist doch ist doch $\begin{eqnarray*} -(1/1+x²) \end{eqnarray*}$ oder?

09.02.2013, 15:56

aleos

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Ja.

13.02.2013, 10:49

frostkrieger

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hi, sry hatte die tage keine zeit.

Also mein $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} -(1/1+x²) \end{eqnarray*}$ jetzt brauch ich aber noch ein $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ hier ist doch garkeins oder sehe ich es nur nicht?

13.02.2013, 11:17

Mulder

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Du hast hier $\begin{eqnarray*} g'(x)=1 \end{eqnarray*}$ . Ein kleiner Trick, zu dem man hin und wieder greift (z.B. kann man auch ln(x) auf diese Weise integrieren).

$\begin{eqnarray*} \int {\color{blue} 1} \cdot \mathrm{arccot}(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 11:31

frostkrieger

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jo das hab ich auch mittlerweile rausgefunden.

bin atm bei:

$\begin{eqnarray*} \int (x/x²+1) dx+x*arccot(x) \end{eqnarray*}$

jetzt muss ich substituieren da habe ich Für $\begin{eqnarray*} x/x²+1 \end{eqnarray*}$ u=x²+1 und du=2xdx

jetzt steh ich aber grad aufm schlauch weil ich hier in der lsg was stehen habe wo ich nicht weis wie man drauf kommt. das wäre

$\begin{eqnarray*} 1/2\int1/u*du+x*arccot(x) \end{eqnarray*}$

wo kommt das 1/2 her ?

13.02.2013, 11:33

Mulder

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Hmm... jetzt hab ich ehrlich gesagt keine Ahnung, was deine Frage ist. Es stehen doch alle Schritte lückenlos da.

Bitte präzisieren, was unklar ist.

(in der ersten Zeile fehlt bei dem Integral das x im Zähler, das ist ein Tippfehler, ja?)

13.02.2013, 11:36

frostkrieger

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1=x laut lsg ^^

und habe nacheditiert die frage ist wo das 1/2 herkommt ?

13.02.2013, 11:37

Mulder

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Du hast doch du=2x dx

Lös das nach dx auf und ersetze das dx im Integral.

13.02.2013, 11:40

frostkrieger

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du/2x=dx

aber das hilft mir jetzt auch nicht weiter Big Laugh

13.02.2013, 11:42

frostkrieger

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ahhh vlt so:

$\begin{eqnarray*} \int x/u*du/2x+xarccot(x) \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 11:43

Mulder

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Nun kürzen sich die beiden x weg und den Faktor 1/2, der da jetzt noch drin steckt, ziehst du vor das Integral.

13.02.2013, 11:48

frostkrieger

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ich nehme mal an das der faktor 1/2 in der 2 steckt richtig ? demnach hätte ich dann

$\begin{eqnarray*} 1/2\int /u*du+xarccot(x) \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 12:26

frostkrieger

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$\begin{eqnarray*} 1/2\int u*du+xarccot(x) \end{eqnarray*}$

so ist richtig.

13.02.2013, 12:31

Mulder

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Du schießt aber auch Böcke... unglücklich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, \dd u \end{eqnarray*}$

So sieht das Integral aus. Ein bisschen Sorgfalt bitte. Das u ist im Nenner.

13.02.2013, 12:33

frostkrieger

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jo hab ich jetzt hier schriftlich mit dem kollegen auch so besprochen.

also $\begin{eqnarray*} 1/2\int 1/u *du+x*arccot(x) \end{eqnarray*}$ ist richtig und 1/u sollte ja dann ln sein oder?

13.02.2013, 12:34

Mulder

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Vielleicht rechnest du jetzt mal zuende. Das wird etwas mühsam, wenn jeder noch so winzig kleine Schritt erst besprochen werden muss. Ist doch Hochschulbereich hier. Du bist doch nun auch fast fertig.

13.02.2013, 12:41

frostkrieger

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Wenn ich gut wäre und es 100% könnte dann würde ich nicht nachfragen ^^

$\begin{eqnarray*} 1/2 log(x²+1)2xdx+xarccot(x)+C \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 12:42

Mulder

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Was soll das 2xdx denn da nun wieder? verwirrt

13.02.2013, 12:42

frostkrieger

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ja wie krieg ich es weg?

13.02.2013, 12:45

Mulder

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Ist das eigentlich das erste Integral, das du in deinem Leben bearbeitest? Das Differential ist nach dem Integrieren doch überhaupt nicht mehr da.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, \dd u = \frac 1 2 \ln(u)+C \end{eqnarray*}$

Nach der Rücksubstitution erhält man

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \ln(x^2+1) +C \end{eqnarray*}$

und fertig.

13.02.2013, 12:50

frostkrieger

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Also erst einmal danke ich dir für deine Hilfe, das ist ja klar. Und 2. ist das doch hier ein Forum wo man Hilfe bekommen kann, richtig? Und 3. Mein Bruder ist genauso wie du, der studiert Mathe der denkt auch nur weil jemand anders etwas nicht weis, ist derjenige gleich dumm und wird arrogant runtergeputzt. Es ist ja schön das du es kannst, wie gesagt ich danke dir auch dafür. Aber muss das sein das jeder mathematiker jeden nicht mathematiker gleich so anmachen muss? Und ja das ist das Erste Integral seit 2 Jahren was ich löse. Ich habe mich während meines Studiums mit wichtigeren Fächern als mit Mathe zuerst befasst. Mathe ist leider pflicht bei Ingenieursstudiengängen das setzt aber nicht vorraus dass, wenn ich hier etwas nachfrage, schon alles kann?

13.02.2013, 12:59

Mulder

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RE: Arccot(x) durch Produktintegration berechnen.

Zitat:

Original von frostkrieger
Und ja das ist das Erste Integral seit 2 Jahren was ich löse.

Diese Info wäre gleich zu Anfang nützlich gewesen, weil man dann entsprechend reagieren kann.

Das ist sicher nicht das allereinfachste Integral zum Üben, daher gehe ich zunächst einmal davon aus, dass du prinzipiell mit dem Vorgehen vertraut bist. Zumal hier im Hochschulbereich eben auch mehr Mitarbeit vorausgesetzt wird als beispielsweise im Schulbereich, ja. Das ist nunmal leider so.

Also es ging mir nicht darum, dich irgendwie "runterzuputzen". Also wenn ich dich da jetzt irgendwie verletzt habe, entschuldigung. Das lag nicht in meiner Absicht. Mit meiner letzten Frage lag ich doch offenbar auch gar nicht so falsch. Da steckte kein Angriff drin.

13.02.2013, 13:03

frostkrieger

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Ja es kam leicht so rüber. Das macht aber nichts ich bin dir nicht böse. Ich weis das ich starke defizite habe. Ich hab mir einfach mal alte Klausuren genommen und versuche die Aufgaben davon jetzt alle zu lösen. Und so schwer fand ich das Integral nicht Augenzwinkern

. Zum schluss hin hat mir halt die Info gefehlt das dass du+arccot(x) einfach wegfällt. Jetzt weis ich ja für die nächsten Integrale bescheid.

13.02.2013, 13:06

Mulder

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Zitat:

Original von frostkrieger
Zum schluss hin hat mir halt die Info gefehlt das dass du+arccot(x) einfach wegfällt.

Das Differential fällt beim Integrieren weg (und man sollte sich vielleicht nochmal die Konstruktion des Riemann-Integrals anschauen und nachsehen, welche Funktion es einnimmt), aber doch nicht das x arccot(x), dieser Term stand ja außerhalb des Integrals, das nun am Ende noch zu lösen war. Die komplette Stammfunktion ist

$\begin{eqnarray*} \int \mathrm{arccot}(x) \, \dd x = x \cdot \mathrm{arccot}(x) + \frac{1}{2} \ln(x^2+1) +C \end{eqnarray*}$

Und nein, schwer ist es nicht. Aber es gibt vielleicht bessere Übungsaufgaben, um überhaupt erst einmal wieder reinzukommen in das Thema.

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