Grenzwert - Seite 2

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09.02.2013, 18:17

aleos

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Was glaubst du denn? Was besagt denn die Regel von Hospital?

09.02.2013, 18:22

chat

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Ableitung sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \frac{1/x}{\frac{cosx+sinx}{(sinx)^2} } = \end{eqnarray*}$

Stimmts jetzt?

09.02.2013, 18:35

aleos

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Hmm, die Ableitung im Nenner kommt mir bisschen Spanisch vor.

Sollte eilg sein:
$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{sin(x)} \right)' = \frac{-cos(x)}{sin^2(x)} \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 18:49

chat

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Was für ne regel hast du denn angewendet?

09.02.2013, 18:50

aleos

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Quotientenregel.

09.02.2013, 19:42

Chat

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Aber als Grenzwert würde ja trotzdem 0 rauskommen oder?

09.02.2013, 19:59

aleos

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Weiß nicht, aber du bist noch ein paar Schritte davon entfernt :P

09.02.2013, 20:53

chat

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nochmal ableiten oder wie?

09.02.2013, 20:58

aleos

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Überleg doch mal, musst du ableiten oder nicht? Was hast du jetzt für Funktion überhaupt? Schreib das mal ordentlich auf und überprüfe was passiert, wenn du 0 einsetzt bzw. gegen 0 strebst.

09.02.2013, 21:37

chat

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$\begin{eqnarray*} \frac{-cosx}{sin^2(x)}= \frac{sin(x)*sin^2(x) +cos(x) * cos^2(x)}{sin^4(x)} \end{eqnarray*}$

Das kann ich doch bestimmt irgendwie vereinfachen oder?

09.02.2013, 22:20

aleos

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Also irgendwie scheinst du den Überblick verloren zu haben!
Nochmal zu deinem Hauptproblem:

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0}sin(x)\cdot ln(x) = \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{sin(x)}}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt hatten wir festgestellt, dass du hier die Regeln von L'Hospital anwenden kannst/sollst.

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0} \frac{ln(x)}{\frac{1}{sin(x)}} =^{L'Hospital} \lim_{x \to 0} \frac{ \frac{1}{x} }{ \frac{-cos(x)}{sin^2{x}}}<br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt darfst du mal den letzten Ausdruck vereinfacht darstellen. Dann überlegen wir weiter.

09.02.2013, 22:24

chat

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$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{-cos(x)*x} \end{eqnarray*}$

Ok was mache ich als nächstes?

09.02.2013, 22:25

aleos

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Und, was passiert wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} x \to 0 \end{eqnarray*}$ laufen lässt?

09.02.2013, 22:27

chat

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es kommt 0 raus oder?

09.02.2013, 22:33

aleos

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Schreib mal eine Begründung auf, dann wirst du sehen obs stimmt oder nicht.

09.02.2013, 22:34

chat

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sin^2 (0) = 0

-cos(0) *0= 0

0/0 = 0

09.02.2013, 22:37

aleos

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Weißt du überhaupt wann man die Regeln von L'Hospital anwendet?
Wenn nicht, würde ich das mal nachschlagen!

09.02.2013, 22:40

chat

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ich würde normalerweise nocmal ableiten.

Soll ich jetzt so ableiten:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{-cos(x)*x} = \lim_{x \to 0} \frac{cos^2 x}{sinx*x-cos x} = -1 \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 22:46

aleos

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Das beantwortet nicht die Frage, ob du die Regeln von L'Hosptial kennst oder nicht.
Wenn du sie weißt, wirst du auch schnell verstehen was du machen musst. Es bringt dir nichts ständig zu raten.
Wenn du was nicht verstehst, kannst du gerne fragen. Aber nicht sowas wie: Ich versteh die Regeln von L'Hospital nicht ^^

09.02.2013, 22:49

chat

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solange der nenner 0 ist sollte man ableiten oder?

09.02.2013, 22:52

aleos

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Nein, daran liegts nicht.

Gegenbeispiel:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{1}{x} = \infty \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 23:03

chat

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Habe ich jetzt falsch gerechnet oder wie?

09.02.2013, 23:06

aleos

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Nein, du hast falsch begründet.
Wenn der Nenner gegen 0 geht, heißt es noch lange nicht, dass man L'Hospital anwenden kann/soll/darf.
Und das oben drüber ist ein Gegenbeispiel.

Such in google nach "l hosptial anwenden" und klick auf den 2. Link und les dir das Dokument mal gut durch.

Wenn du das gemacht hast, können wir hier gerne weitermachen.

10.02.2013, 11:21

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Oder man schafft die Form:

1/0. ,dann darf man auch lopi anwenden.

10.02.2013, 11:38

Mulder

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Was?

L'Hospital findet Anwendung, wenn du auf unbestimmte Ausdrücke stößt, wie etwa $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ .

Wenn der Zähler gegen 1 geht und der Nenner gegen 0, kann und muss man kein L'Hospital anwenden, der Grenzwert ist dann doch klar. Definitionen durchlesen liegt dir nicht sonderlich, oder?

Wenn ich das richtig sehe, wart ihr doch schon hier:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{sin^2(x)}{-cos(x)*x} \end{eqnarray*}$

Zähler und Nenner gehen gegen 0. Theoretisch könnte man hier nun also wieder L'Hospital anwenden.

Würde ich aber gar nicht. Allerspätestens an dieser Stelle sollte man doch mal den bekannten Grenzwert

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}=1 \end{eqnarray*}$

ins Spiel bringen (das hätte ich übrigens von Anfang an gemacht), dann ist man schon fertig.

Du hast schon gesagt, der Grenzwert sei 0. Wie bist du da denn drauf gekommen? Spuck die Begründung aus und dieser Thread findet endlich ein Ende.

10.02.2013, 12:17

chat

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wie bist du auf sin(x) /x gekommen ?

Das musst du mir bitte zuerst erklären mulder ?

Und warum ergibt das 1 ?

10.02.2013, 12:50

Mulder

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Oh Gott, ne, dann vergiss das halt wieder.

Dann wende halt nochmal L'Hospital an. Nur dieses Mal bitte mit richtigen Ableitungen.

10.02.2013, 12:56

chat

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Bei der zweiten Ableitung kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} \frac{cos^2(x)}{sinx *x -cosx} \end{eqnarray*}$

Stimmts?

10.02.2013, 12:59

Mulder

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Nein. Bei

$\begin{eqnarray*} \sin^2(x) \end{eqnarray*}$

solltest du vernünftig mit der Kettenregel arbeiten.

10.02.2013, 13:08

chat

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(sinx)^2 = 2*cosx*(sinx)

Jetzt müsste es stimmen ?

10.02.2013, 13:11

Mulder

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Ja.

10.02.2013, 13:22

Che Netzer

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Wobei mich die Schreibweise aber sehr stört.

Zitat:

Original von chat
(sinx)^2 = 2*cosx*(sinx)

Die Gleichheit gilt nicht.
Die rechte Seite ist aber Ableitung der linken Seite.

10.02.2013, 13:24

chat

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Aber dann würde ja trotzdem 0 rauskommen leute oder?

10.02.2013, 13:29

Mulder

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Es kommt 0 raus, ja. Das ist ja auch der tatsächliche Grenzwert.

Nur fehlte bisher eben eine Begründung dafür. Jetzt haben wir aber eine. Denn jetzt können wir 0 einsetzen und erhalten keine "0/0" Situation mehr. Sondern jetzt geht der Zähler gegen 0 und der Nenner gegen -1.

10.02.2013, 13:35

chat

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Ah gut danke leute .

Endlich am Ziel .

Aber wenigstens am Ziel.

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