Extremwertaufgabe: Günstigste Strecke finden

09.02.2013, 12:25

Evoh

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Extremwertaufgabe: Günstigste Strecke finden

Meine Frage:
Hallo ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter und ich finde meinen Fehler nicht :
Ein Ort A hat von einem geradlinig verlaufenden Kanal den Abstand von 20 km. Es sei B der Fußpunkt des Lotes von A zum Kanal. Der Kanal führt zur Hafenstadt C, die 70 km von B entfernt ist. Wo muss der Hafen H am Kanal gebaut werden, damit die Frachtkosten von C nach A minimal sind, wenn die Kosten für die Wasserfracht 80% der Kosten für die Landfracht ausmachen? Eine Skizze ist im Anhang

Meine Ideen:
U = Kosten
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$ == c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$
ZF: U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + (70-a)^{2}} \end{eqnarray*}$ + 70 - a * 0,8

U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{400 + 4900 - 140a - a^{2} } \end{eqnarray*}$ + 70 - 0,8a

U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{- a^{2} - 140a + 5300} \end{eqnarray*}$ - 0,8a + 70

U = $\begin{eqnarray*} (a^{2} - 140a + 5300)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ - 0,8a + 70 // die - 0,8a + 70 sind keine Potenz

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}z^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$ * (2a - 140) -0,8

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ * (2a - 140) -0,8

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140,8}{2* ( a^{2} - 140a + 5300) } \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140,8}{2* ( a^{2} - 140a + 5300) } \end{eqnarray*}$ | * $\begin{eqnarray*} (a^{2} - 140a + 5300) \end{eqnarray*}$
0 = 2a - 140,8

70,4 = a ---> unreal da a + b = 70 ist

09.02.2013, 13:23

sulo

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RE: Anwendung der Differentialrechnung

Zitat:

ZF: U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + (70-a)^{2}} \end{eqnarray*}$ + 70 - a * 0,8

Du rechnest zweimal 70 - a, niemals mit a.
Das kann nicht stimmen.

Ich würde übrigens b unter Wurzel schreiben und 70 - b für |HC| verwenden.

smile

smile

09.02.2013, 13:49

Evoh

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Hey...
danke für deine Antwort
über den Weg mit b komme ich auch auf das richtige Ergebniss, jedoch möchte ich auch gerne über a an das Ergebnis kommen.

HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$ == c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$
ZF: U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + (70-a)^{2}} \end{eqnarray*}$ + 70 - a * 0,8

aber hier müsste doch 70 - a in die Wurzel, da ich b ersetze oder nicht?

09.02.2013, 13:55

sulo

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Die Gleichung müsste so lauten:

$\begin{eqnarray*} F: U = \sqrt{20^{2} + (70-a)^{2}} + a * 0,8 \end{eqnarray*}$

Unter der Wurzel stehen die Kosten für |AH|, dahinter die Kosten für |HC|.

Ich kann dir aber nur nochmals sehr ans Herz legen, b² statt des Binoms unter die Wurzel zu schreiben und für |HC| (70 - b) einzusetzen. Die weitere Rechnung wird dadurch wesentlich vereinfacht.

Dabei darf keinesfalls auf die Klammer verzichtet werden, so wie du es getan hast.

smile

smile

09.02.2013, 14:23

Evoh

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Das unter dre Wurzel ist doch |HC| oder nicht, da errechne ich doch die Hypotenuse (c) und das addiere ich dann mit |AH| also nur a. Und das scheint mein Fehler zu sein ich versuche mal das durchzurechen.

U = Kosten
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a // Wie lautet denn dann die Nebenbedingung?
NB: 20 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$ == c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$
ZF: U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + (70-a)^{2}} \end{eqnarray*}$ + a * 0,8

U = $\begin{eqnarray*} (\sqrt{400 + 4900 - 140a - a^{2} } \end{eqnarray*}$ + a) * 0,8

09.02.2013, 14:27

sulo

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Du brauchst den Pythagoras für die Strecke AH = c mit c² = 20² + b².

Die Strecke HC = a kannst du direkt als 70 - b darstellen.

smile

smile

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09.02.2013, 14:30

sulo

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Du hast das mit der Klammer missverstanden. Die gehört um (70 - b)*0,8.

Da du dich aber für a als Variable entschieden hast, brauchst du keine Klammer: a*0,8 kann so stehen.

Zitat:

Original von Evoh
U = $\begin{eqnarray*} (\sqrt{400 + 4900 - 140a - a^{2} } \end{eqnarray*}$ + a) * 0,8

Weiterhin muss das a² unter der Wurzel addiert werden, nicht subtrahiert.

smile

smile

09.02.2013, 14:35

Evoh

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Hammer

- und - ergibt puls Hammer

Hammer

aber danke ich versuchs dann jetzt mal kurz nochmal

09.02.2013, 14:37

sulo

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Hier ist es eher - mal - smile

smile

09.02.2013, 14:46

Evoh

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Ich glaube ich mache die Kettenregel falsch... oder ist da noch ein Fehler?
HB: U = c + b * 0,8
NB: 70 = a + b == b = 70 - a
NB: 20 = $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$ == c = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + b^{2}} \end{eqnarray*}$
ZF: U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{20^{2} + (70 - a)^{2}} \end{eqnarray*}$ + a * 0,8

U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{400 + 4900 - 140a + a^{2} } \end{eqnarray*}$ + 0,8a

U = $\begin{eqnarray*} \sqrt{+ a^{2} - 140a + 5300} \end{eqnarray*}$ + 0,8a

U = $\begin{eqnarray*} (a^{2} - 140a + 5300)^{\frac{1}{2} } \end{eqnarray*}$ + 0,8a

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}z^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$ * (2a - 140) + 0,8

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} * \frac{1}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ * (2a - 140) + 0,8

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140,8}{2* ( a^{2} - 140a + 5300) } \end{eqnarray*}$

0 = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140,8}{2* ( a^{2} - 140a + 5300) } \end{eqnarray*}$ | * $\begin{eqnarray*} (a^{2} - 140a + 5300) \end{eqnarray*}$
0 = 2a - 140,8

09.02.2013, 15:01

sulo

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Zitat:

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}z^{\frac{-1}{2}} \end{eqnarray*}$ * (2a - 140) + 0,8

Das z soll ja wohl die Wurzel sein, das ist ok. Freude

Freude

Zitat:

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140,8}{2* ( a^{2} - 140a + 5300) } \end{eqnarray*}$

Wo ist die Wurzel geblieben?
Wie kannst du die 0,8 ohne Nennergleichheit auf den Bruch bringen?

Ich habe deinen Weg nicht durchgerechnet, wie gesagt, er ist erheblich umständlicher als mein Vorschlag mit b.
Dort komme ich auf eine eindeutige Lösung und die Rechnung ist nicht so kompliziert.

Die Sache ist nämlich die: Du brauchst einen negativen Term, weil du die Ableitung ja Null setzt, um a auszurechnen.
Der einzige negative Term steckt in der Wurzel im Nenner*. Du wirst also umformen müssen.

Schön wird das nicht. Aber leider willst du ja unbedingt mit a rechnen... verwirrt

verwirrt

* edit: Nein, im Zähler ist ja auch eine Differenz, habe ich glatt übersehen.
Ich rechne gerade mal deine Version durch.

09.02.2013, 15:32

Evoh

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U' = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140}{2* \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ + 0,8
so hatte ich auch so auf dem Papier Freude

Freude

ich habe jetzt schon einmal einwenig umgestellt nur ich bekomm die Wurzel nicht weg...

09.02.2013, 15:36

sulo

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Gut.

Freude

Ich würde jetzt die Gleichung Null setzen und die 0,8 auf die andere Seite bringen.

Dann kannst du dir überlegen, was du mit der Wurzel machst. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich bin jetzt deinen Weg zu Ende gegangen und auf das gleiche Ergebnis wie auf meinem Weg gekommen.

smile

smile

09.02.2013, 15:44

Evoh

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bei mir sieht die Formel so aus:
-0,8 = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140}{2* \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ | $\begin{eqnarray*} {*2* \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$

-0,8 $\begin{eqnarray*} {*2* \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ = 2a - 140

-1,6 * $\begin{eqnarray*} { \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ = 2a - 140

-0,8 * $\begin{eqnarray*} { \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ = a - 70

soo jetzt bin ich mir unsicher... unglücklich

unglücklich

09.02.2013, 15:49

sulo

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Wie wäre es mit quadrieren? smile

smile

09.02.2013, 16:09

Evoh

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0 = $\begin{eqnarray*} 1,64a^{2} - 89,6a - 1508 \end{eqnarray*}$
soweit richtig?

09.02.2013, 16:17

sulo

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Nein, da ist dir leider ein Fehler unterlaufen.

Die 1,64a² habe ich gar nicht gehabt, die -89,6a schon, aber nicht gleichzeitig mit den 1508, die bei mir auch positiv sind.

smile

smile

09.02.2013, 16:37

Evoh

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meine Rechnung:
$\begin{eqnarray*} -0,8 * { \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } = a - 70 | ² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,64* a^{2} - 140a + 5300 = a^{2} + 4900 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,64a^{2} - 89,6a + 3392 = a^{2} + 4900 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - 89,6a = 0,36a^{2} + 1508 \end{eqnarray*}$ | 0,36
$\begin{eqnarray*} - 248,88a = a^{2} + 4188,888 \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 16:41

sulo

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Du musst beim Quadrieren von (a-70) an die 2. binom. Formel denken. smile

smile

09.02.2013, 16:55

Evoh

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$\begin{eqnarray*} -0,8 * { \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } = (a - 70) | ² \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,64* a^{2} - 140a + 5300 = a^{2} - 140a + 4900 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0,64a^{2} - 89,6a + 3392 = a^{2} - 140a + 4900 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = 0,36a^{2} - 50,4a + 1508 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = a^{2} -140a + 4188,888 \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 16:58

sulo

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Alles richtig. Freude

Freude

Hier sollte man eine Klammer schreiben, die du dir aber gedacht hattest und dann auch entsprechend multipliziert hast:

$\begin{eqnarray*} 0,64* (a^{2} - 140a + 5300) = a^{2} - 140a + 4900 \end{eqnarray*}$

smile

smile

09.02.2013, 17:08

Evoh

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$\begin{eqnarray*} 0 = a^{2} -140a + 4188,888 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0 = (a -70)^{2} - 711,12 \end{eqnarray*}$
jetzt könnte man doch Wurzel ziehen oder P-Q oder nicht?

09.02.2013, 17:12

sulo

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Wie du die quadratische Gleichung löst, überlasse ich dir, es gibt mehrere Möglichkeiten.

Ich habe die obere Gleichung für die pq-Formel genommen.

smile

smile

09.02.2013, 17:40

Evoh

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 711,12 = (a -70)^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} +/-26,67 = a -70 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 96,67 = a1 \end{eqnarray*}$ --> nicht möglich da a + b = 70
$\begin{eqnarray*} 43,33 = a2 \end{eqnarray*}$ ---> das wäre das Ergebniss

a = 43,33
b = 26,67
c = 50,88

U' = $\begin{eqnarray*} \frac{2a - 140}{2* \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } \end{eqnarray*}$ + 0,8

U'(43,43) = $\begin{eqnarray*} \frac{2*43,43 - 140}{2* \sqrt{( 43,43^{2} - 140*43,43 + 5300)} } + 0,8 = 0,00256 \end{eqnarray*}$
U'(43,23) = $\begin{eqnarray*} \frac{2*43,23 - 140}{2* \sqrt{( 43,23^{2} - 140*43,23 + 5300)} } + 0,8 = - 0,00112 \end{eqnarray*}$

U''(43,33) > 0 => rel . Min

soo fertig hoffe ich Big Laugh

Big Laugh

danke für deine Hilfe, auch wenn es einen leichteren Weg gab. Kann man das schon vorher erkennen, welcher Weg einfacher ist?

09.02.2013, 17:49

sulo

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Zunächst mal: Ja, ist richtig, die Strecke HC ist 43,333 km lang. |AC| wird dann 33,333 km lang werden.

Du hast dir ja wirklich viel Mühe mit dem Aufschreiben gegeben. Freude

Freude

Als Tipp würde ich sagen, dass der Ausdruck unter der Wurzel möglichst einfach sein sollte.

Ich hatte als Gleichung: $\begin{eqnarray*} U(b) = \sqrt{20^2 +b^2} + 0,8(70-b) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(b) = \sqrt{400 +b^2} + 56-0,8b \end{eqnarray*}$

Abgeleitet: $\begin{eqnarray*} U'(b) = \frac{b}{\sqrt{400 + b^2}} -0,8 \end{eqnarray*}$

Man sieht, dass alles etwas einfacher ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

smile

09.02.2013, 17:59

Evoh

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von sulo
|AC| wird dann 33,333 km lang werden.

70 - 43,333 = ? Teufel

Teufel

Ok!

Freude

Ich wollte halt nur mal beide Wege berechne.
Aber ich habe die 2. Ableitung richtig oder?

09.02.2013, 18:05

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Evoh

Zitat:

Original von sulo
|AC| wird dann 33,333 km lang werden.

70 - 43,333 = ? Teufel

Teufel

Tippfehler, |AC| ist ja die gesamte Strecke |AH| + |HC|

Ich meinte natürlich |AH|.

Zitat:

Original von Evoh
Aber ich habe die 2. Ableitung richtig oder?

Die habe ich jetzt nicht nachgerechnet. Es ist aber klar, dass die 0,8 wegfallen müssen.

Weiterhin hätte ich auf jeden Fall ein wenig gekürzt: $\begin{eqnarray*} U' = \frac{a - 70}{ \sqrt{( a^{2} - 140a + 5300)} } + 0,8 \end{eqnarray*}$

Ich werde später nachrechnen, jetzt muss ich erst mal afk.

smile

smile

09.02.2013, 18:08

Evoh

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt hätte ich auch sehen können geschockt

geschockt

Aber vielen dank jetzt habe ich das Thema auch richtig verstanden.
smile

smile

09.02.2013, 23:33

Evoh

Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre nett, wenn du mir dann schreibst, ob die 2. Ableitung richtig ist Gott

Gott

10.02.2013, 09:44

sulo

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Du hast die zweite Ableitung ja nicht aufgeschrieben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Es gilt aber:

U''(43,33) ~ 0,0108, also > 0 Freude

Freude

smile

10.02.2013, 10:59

Evoh

Auf diesen Beitrag antworten »

U'(43,43) = $\begin{eqnarray*} \frac{2*43,43 - 140}{2* \sqrt{( 43,43^{2} - 140*43,43 + 5300)} } + 0,8 = 0,00256 \end{eqnarray*}$
U'(43,23) = $\begin{eqnarray*} \frac{2*43,23 - 140}{2* \sqrt{( 43,23^{2} - 140*43,23 + 5300)} } + 0,8 = - 0,00112 \end{eqnarray*}$

U''(43,33) > 0 => rel . Min

Den Wert für 43,33 kann man ja nur schätzen der liegt ja zwischen - 0,00112 bis 0,00256
Aber mein Ergebnis ist dann ja richtig Tanzen

Tanzen

10.02.2013, 11:06

sulo

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, man kann die zweite Ableitung schon bilden und 43,3333 einsetzen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber dein Ergebnis ist schon richtig. Freude

Freude

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