Transformation von Zufallsgrößen: Y = 1/X

09.02.2013, 13:50	Manuel87	Auf diesen Beitrag antworten »
Transformation von Zufallsgrößen: Y = 1/X Meine Frage: Hi, Ich habe eine Zufallsgröße X gegeben, die gleichverteilt auf das Intervall [0,1] ist. Nun soll ich die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion von X und Y = 1/X angeben. Meine Ideen: Dichtefunktion X: $\begin{eqnarray} p_{x}(x) = 1: 0\leq x\leq 1; 0 : sonst \end{eqnarray}$ Verteilungsfunktion X: $\begin{eqnarray} F_{x}(x) = 0 : x<0; x :0\leq x\leq 1; 1 : sonst <br /> \end{eqnarray}$ Es gilt weiterhin: $\begin{eqnarray} F_{y}(y) = P(Y\leq y) = P(\frac{1}{X} \leq y) \end{eqnarray}$ Und wie geht es jetzt weiter? Wie stelle ich das weiter um, und wie berechne ich die Grenzen des Intevalls? Wäre schön wenn mit da jemand auf die Sprünge helfen könnte. lg
09.02.2013, 15:22	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist positiv, daher ist für ebenfalls positive $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \frac{1}{X}\leq y \end{eqnarray}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray} X\geq \frac{1}{y} \end{eqnarray}$ , es folgt demnach $\begin{eqnarray} F_Y(y) = P(Y\leq y) = P\left(\frac{1}{X} \leq y\right) = P\left(X \geq \frac{1}{y} \right) = 1-F_X\left(\frac{1}{y} \right) \end{eqnarray}$ . Einsetzen, ableiten (unter Beachtung der sinnvollen Intervalle), fertig. Für $\begin{eqnarray} y\leq 0 \end{eqnarray}$ sollte eh alles klar sein.

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