Gleichungssystem

09.02.2013, 15:14

Baby21

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Gleichungssystem

Meine Frage:
Hallo leute ich habe probleme bei einer Aufgabe:

Für welche werte des Parameters lambda element R das lineare Gleichungssytem:

x - y - z = 0

2x +y + lambda *z = 2

4x + (lambda -1)*y -2z = 2

keine , genau eine , unendlich viele Lösungen ?

Bestimmen sie gegebenfalls alle Lösungen in Abhängigkeit von lambda.

WIe gehe ich hier vor leute?

Meine Ideen:
keine leider

09.02.2013, 15:25

Karamuto

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löse doch einfach das gleichungssystem und behandle lambda nur als kofaktor

09.02.2013, 15:53

Baby21

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Wie soll ich das genau lösen ?

Ich bin durch die vielen variablen irritiert.

Hast du noch nen kleinen tipp?

Soll ich die erste Zeile nach z auflösen und dann irgendwie in 2 gleichung einsetzen?

09.02.2013, 15:54

aleos

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RE: Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} <br /> x-y-z = 0<br /> 2x + y + \lambda z = 2<br /> 4x + y(\lambda -1) -2z = 2<br /> \end{eqnarray*}$

Wie schon Karamuto gepostet hat, einfach lösen.
Ich empfehle hier das altbekannte Gaußverfahren.

PS:
Bitte in Latex posten. Hab das mal für dich in meinem Post gemacht.

09.02.2013, 16:09

Baby21

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Ich stecke leider jetzt beim gauss verfahren fest .

Bitte hilft mir:

09.02.2013, 16:20

aleos

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Ich hoffe ich kanns jetzt richtig deuten:
Die zweite Matrix, die zweite Zeile, die dritte Spalte. Da muss $\begin{eqnarray*} \lambda + 2 \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} 2\lambda \end{eqnarray*}$ stehen.

Die dritte Matrix passt auch soweit, bis auf der übertragene Fehler aus Matrix 2.

Und jetzt genau so weitermachen wie bis jetzt.

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09.02.2013, 16:24

Baby21

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Warum soll da lambda + 2 stehen:?

Das verstehe ich nicht.

09.02.2013, 16:27

aleos

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Du ziehst ja von der 2. Gleichung zweimal die 1. Gleichung ab.

09.02.2013, 16:30

Baby21

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stimmt, blöd von mir .

Kannst du mir sagen wie ich eine null bei lambda + 3 schaffe?

09.02.2013, 16:33

aleos

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Nehm die 2. Gleichung $\begin{eqnarray*} (\lambda +3) \end{eqnarray*}$ mal und die 3. Gleichung 3-mal. Dann zieh sie voneinander ab und fertig.

09.02.2013, 16:40

Baby21

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Stimmt es so?

09.02.2013, 16:45

aleos

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Der 2. Teil stimmt, den bekomme ich auch raus.

Beim 1. Teil hat sich einer von uns beiden verrechnet.
Ich würde vorschlagen, du erklärst mal, wie du auf deine Zahlen kommst, also:
$\begin{eqnarray*} 12 + \lambda + \lambda^2 \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 16:56

Baby21

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Ich hab 6 - (2+lambda)*( lambda +3) gerechnet.

Wo liegt der Fehler?

09.02.2013, 17:01

aleos

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Multiplizier das mal aus. Und bitte benutze doch latex.

09.02.2013, 17:06

Baby21

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Kommt das raus:

$\begin{eqnarray*} -5\gamma + \gamma ^2 \end{eqnarray*}$

09.02.2013, 17:08

aleos

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Sicher? Ich bekomme nämlich $\begin{eqnarray*} -\lambda^2 - 5\lambda \end{eqnarray*}$ raus.

09.02.2013, 17:19

Baby21

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$\begin{eqnarray*} x - y - z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y+(2+\lambda )*z=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\lambda ^2 -5\lambda )*z= (6-2)*(3+\lambda ) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich dieses LGS wie gehe ich hier vor?

09.02.2013, 17:26

aleos

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Schreiben wir das mal lieber als Matrix:
Ich habe mal das $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit einem einfachen $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ersetzt.
$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & a+2 & 2 \\ 0 & 0 & -a²-5a & -2a \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt hängt das Ergebnis von der letzten Zeile ab.
Wenn -a²-5a = 0 wäre, was stünde dann in der letzten Zeile?
Für welche Werte von a gilt das?

09.02.2013, 17:29

Baby21

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Dann stünde -a^2 - 7a?

09.02.2013, 17:34

aleos

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Hmm, anscheinend hast du etwas missverstanden oder ich mich schlecht ausgedrückt.

Die letzte Zeile ist doch im Grunde:
$\begin{eqnarray*} z\cdot (-a² - 5a) = 2a \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} -a² - 5a = (-a)\cdot (a + 5) = 0 \end{eqnarray*}$ ist, dann hast du den interessanten Fall:

Also: Die Nullstellen sind ja offensichtlich, setze mal ein und schreib die 3. Gleichung auf.

09.02.2013, 17:38

Baby21

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Zitat:

Original von Baby21
$\begin{eqnarray*} x - y - z = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3y+(2+\lambda )*z=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-\lambda ^2 -5\lambda )*z= (6-2)*(3+\lambda ) \end{eqnarray*}$

Dann habe ich dieses LGS wie gehe ich hier vor?

Ich verstehe nicht so ganz.

Meine gleichung sehen doch ander aus.

09.02.2013, 17:41

Karamuto

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nein du hast nur beim letzen die rechte seite noch nicht aufgelöst :P

09.02.2013, 18:12

Baby21

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Die dritte gleichung sieht bei mir ausmultiplziert so aus:

( -lambda^2 - 5lambda)*z = 12 + 4 lambda

Richtig?

09.02.2013, 18:16

aleos

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Einigen wir uns darauf, dass das $\begin{eqnarray*} \lambda = a \end{eqnarray*}$ ist.

Also dann schreibst du nicht richtig ab.
Du hast nämlich auf der Seite 1 stehen:
$\begin{eqnarray*} 6 - 2\cdot (3 + a) \end{eqnarray*}$
Das ausmultipliziert ergibt nicht dein Ergebnis, was du gerade gepostet hast.

09.02.2013, 18:28

Baby21

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Ok jetzt richtig ausmultipliziert:

6 - 6 -2a = -2a

( -lambda^2 - 5lambda)*z = -2a

09.02.2013, 18:38

aleos

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Lass doch jetzt das "lambda" weg! Wir benutzen doch statt lambda einfach nur a.

Jetzt hast du:
$\begin{eqnarray*} z\cdot (-a²-5a) = -2a \end{eqnarray*}$

Nun betrachte die Fälle, dass $\begin{eqnarray*} -a²-5a = 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Mach mal beide Fälle durch!

09.02.2013, 19:47

Baby21

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Wenn ich das gleich 0 setze bekomme ich A1= 0 raus und a2 = -5

Für den zweiten Fall würde ich a1= 0 und a2= -3 raus bekommen.

09.02.2013, 19:57

aleos

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Sauber ausformuliert schreibt man das so auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> -a² - 5a = -a\cdot (a + 5) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \rightarrow a_1 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_2 = -5 <br /> \end{eqnarray*}$

Sei a = 0:
Dann steht in der letzten Zeile:
$\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 0 (= -2\cdot 0) \end{eqnarray*}$
Für welche z gilt das?

Sei a = -5:
Dann steht in der letzten Zeile:
$\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 10 (= -2 \cdot (-5) ) \end{eqnarray*}$
Für welche z gilt das? Gibt es überhaupt z, wo das gilt?

Sei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 & a \neq -5 \end{eqnarray*}$ :
Die Rechnung darfst du selbst machen!

09.02.2013, 21:43

Baby21

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Für den zweiten Fall würde ich a1= 0 und a2= -3 raus bekommen.

Soll ich jetzt für diesen Fall die rechnung machen?

09.02.2013, 22:22

aleos

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Was meinst du mit: Für den 2. Fall würde ich ...?

Ich hab dir doch schon den Großteil vorgerechnet. Du musst doch nur noch interpretieren, was die Ergebnisse heißen.

Und den fehlende Fall hab ich ja auch aufgeschrieben.

09.02.2013, 22:29

Baby21

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Ich weiss nicht für welche z das gilt?

Ich würde sagen für z = 0

09.02.2013, 22:35

aleos

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Zitat:

Original von aleos
Sauber ausformuliert schreibt man das so auf:

$\begin{eqnarray*} <br /> -a² - 5a = -a\cdot (a + 5) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \rightarrow a_1 = 0 <br /> \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} a_2 = -5 <br /> \end{eqnarray*}$

Sei a = 0:
Dann steht in der letzten Zeile:
$\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 0 (= -2\cdot 0) \end{eqnarray*}$
Für welche z gilt das?

Sei a = -5:
Dann steht in der letzten Zeile:
$\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 10 (= -2 \cdot (-5) ) \end{eqnarray*}$
Für welche z gilt das? Gibt es überhaupt z, wo das gilt?

Sei $\begin{eqnarray*} a \neq 0 & a \neq -5 \end{eqnarray*}$ :
Die Rechnung darfst du selbst machen!

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, wo du hängst.
In dem Post oben von mir steht doch schon alles drin.

Wenn a = 0 ist:
Hast du $\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$
Für welche z gilt das denn bitte?

09.02.2013, 22:42

Baby21

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Was meinst du mit für welches z?

09.02.2013, 22:44

aleos

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Was erfüllt die Gleichung.
Z.B.:
Wäre z = 3: Würde sie dann noch stimmen?
Wäre z = 10.000: Würde sie dann noch stimmen?

09.02.2013, 22:45

Baby21

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ah für z= 0 wäre es erfüllt.

09.02.2013, 22:47

aleos

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Also du behauptest folgendes:

$\begin{eqnarray*} z \cdot 0 = 0 \end{eqnarray*}$ gilt nur für z = 0? Und für z = 1 gilt das wohl nicht mehr, ja?

09.02.2013, 22:48

Baby21

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für alle zahlen natürlich

09.02.2013, 22:54

aleos

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Ahja, das klingt schon besser.
Also weißt du jetzt, wenn a = 0 ist, hast du unendlich viele Lösungen.
Jetzt behaupten wir einfach mal, dass z irgendeine Zahl sei.
Was passiert mit den obigen Gleichungen? Löse die jetzt mal nach dieser neuen Unbekannten für z auf.

10.02.2013, 11:27

Baby21

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x-y-z=0

y= 2-x

Hilft es wenn ich das in die 2 Gleichung einsetze?

10.02.2013, 14:44

aleos

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Uhm,
wie sah denn die Matrix aus am Ende?

Du hast sie ja so aufgelöst, dass du die Unbekannten nacheinander auflösen kannst (Dreiecksmatrix).

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