Komplexe Zahlen Lösung für z^6=1

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Bam Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen Lösung für z^6=1
Meine Frage:
Zu lösen ist folgende Aufgabe z^6 = 1...
wie gehe ich da am besten ran?


Meine Ideen:
hatte erst die 1 auf der rechten Seite abgezogen, also dann einfach
z^6-1=0
weiß aber dann nicht wie ich die ^6 auflöse, kann mir jemand einen tipp geben?
weisbrot Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen Lösung für z^6=1
geometrische anschauung ist wie immer das stichwort!
bzw z in polarkoordinaten schreiben und rausfuchsen!
lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist eine Kreisteilungsgleichung, die auf die 6 Einheitswurzeln führt.
Die Lösung geht schnell mittels Umschreiben der rechts stehenden Zahl in Polarkoordinaten oder auch auf algebraischem Wege
durch binomische Zerlegung des Ausruckes und in weiterer Folge der Faktoren .

Im Übrigen kannst du dieses Forum mal durchsuchen, es gibt mehr als genug Beiträge zu dem gleichen Thema.

mY+
bam Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe gerade eine formel gefunden

wk=r/n*e^(alpha/n + (k2pi)/n) wobei r der radius ist und n der exponent, bei k würde man die zahlen 0 bis 5 in die formel bei diesem fall einsetzen,
das heißt also bei z^6=1:
r ist ja r=1 [da sqrt(1²+0²)=1]
der winkel ist 0 (da es nur in x richtung geht bzw auch da cos(alpha)=1/1 ein winkel von 0 ergibt)
k sind die zahlen:0,1,2,3,4,5
n=6
also rechne ich:

wk=r/n*e^(alpha/n + (k2pi)/n)

1/6 * e^(0+(0*2pi/6)=1/6
1/6*e^(0+(0*1pi/6)=1/6e^pi/6
1/6 * e^(0+(2*2pi/6)=1/6e^pi/3
1/6 * e^(0+(3*2pi/6)=1/6e^pi/2
1/6 * e^(0+(4*2pi/6)=1/6e^2pi/3
1/6 * e^(0+(5*2pi/6)=1/6e^5pi/3

ist das soweit richtig? und kann ich die ergebnisse noch weiter vereinfachen(ohne TR natürlich) oder könnte ich die in einer Klausur so stehen lassen?
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bam
ich habe gerade eine formel gefunden

wk=r/n*e^(alpha/n + (k2pi)/n) wobei r der radius ist und n der exponent, bei k würde man die zahlen 0 bis 5 in die formel bei diesem fall einsetzen,



ich denke, da ist dir ein n in den Nenner gerutscht. Kann passieren, aber ? sollte stutzig machen. Desweiteren fehlt das i.

dann so:

e^(0+(0*2pi/6i)=1
e^(0+(0*1pi/6)i=e^(ipi/6)
e^(0+(2*2pi/6i)=e^i(pi/3)
e^(0+(3*2pi/6i)=e^(ipi/2)
e^(0+(4*2pi/6i)=e^(i2pi/3)
e^(0+(5*2pi/6i)=e^(i5pi/3)

da es prominente winkel sind, sind die Normalschreibweisen leicht möglich.

z.B.





ist das soweit richtig? und kann ich die ergebnisse noch weiter vereinfachen(ohne TR natürlich) oder könnte ich die in einer Klausur so stehen lassen?[/quote]
Bam Auf diesen Beitrag antworten »

mit "n der exponent" meinte ich das n der exponent von z ist also( z^6, n=6)

ich hätte gedacht, dass das i egal ist, da ja z^6=1 das selbe wie z^6=1+0i ist
bzw habe ich das i mit in den radius r in die formel mit eingebracht (pythagoras)
verwirrt
 
 
bam Auf diesen Beitrag antworten »

achso die formel ist dann wk = r ^(1/n )* e ^(i ( (alpha/n) + (k2pi/n) )
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

ja richtig. Wenn gilt, dann sind die n-ten Wurzeln

für k=0,1...,n-1
Bam Auf diesen Beitrag antworten »

Ok danke, das hat mir sehr geholfen smile
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