Übergangs-Marathon Mathematik - Seite 6

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HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn stetig und bijektiv ist, ist es strikt monton.

Wenn man das als bewiesene Aussage hinnimmt, dann kürzt das die Sache natürlich ab. Augenzwinkern

Dein b) ist von der Idee her passend, enthält aber einen kleinen Konstruktionsfehler: ist zwingend ungerade, speziell gilt also , während bei dir ist. verwirrt

Ich kann es auch konkreter benennen: Bei dir ist statt .
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von HAL 9000
Zitat:
Wenn stetig und bijektiv ist, ist es strikt monton.

Wenn man das als bewiesene Aussage hinnimmt, dann kürzt das die Sache natürlich ab. Augenzwinkern

Die kleine Anwendung des Zwischenwertsatzes sei dem geneigtem Leser überlassen Augenzwinkern

Zitat:
Original von HAL 9000
Dein b) ist von der Idee her passend, enthält aber einen kleinen Konstruktionsfehler: ist zwingend ungerade, speziell gilt also , während bei dir ist. verwirrt


Mir ist eben auch eine Kleinigkeit aufgefallen. Einfach ist die Abbildung für offene Intervalle der Form zu definieren. Bei den ganzen Zahlen muss ich vorsichtiger sein. Die Funktion kann aber nicht ungerade sein, sonst wäre gerade. Meinst du ungerade? Dort ist bei mir , was zugegeben doof ist Big Laugh

Also noch einmal:
und
mit
.

Jetzt ist und, wenn ist, ist und damit und damit . Wenn , ist und . Damit . Ich denke jetzt sieht es gut aus...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von IfindU
Die Funktion kann aber nicht ungerade sein, sonst wäre gerade.

Lass mich mal überlegen: ist ungerade, da soll dann gerade sein? verwirrt

in die Funktionalgleichung eingesetzt ergibt .
auf angewandt ergibt .
Zusammen liefert das , also Ungeradheit, was speziell für dann ergibt.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Da meine Beispielfunktion offensichtlich ungerade ist, hatte ich wohl massiven Denkfehler Big Laugh

Edit: Ich hatte im Kopf ungerade und , und natürlich ist die Identitätsfunktion gerade! Forum Kloppe Seltsamer Denkfehler....
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktionalgleichung

für alle

für eine Funktion führt zu verblüffenden Ergebnissen. Ich beginne in 1. und 2. mit ein paar notwendigen Bedingungen, die schon in vorigen Beiträgen behandelt wurden.


1. Zunächst muss eine solche Funktion umkehrbar sein.
Denn aus folgt durch Anwendung von gemäß der Funktionalgleichung , also , so daß injektiv ist.
Und zu wähle man . Dann gilt . Daher ist surjektiv. Es sei die Umkehrfunktion von .


2. Aus folgt wegen der Injektivität von :



Ebenso gilt aber, wenn man in durch substituiert: , also oder andersherum:



Führt man das zusammen, erkennt man die Ungeradheit von :




3. Man kann nach Operationen für Funktionen fragen, die die Funktionalgleichung erhalten. Wendet man auf zweimal an, bekommt man



Mit erfüllt also auch (siehe auch 2.) die Funktionalgleichung .

Eine zentrische Streckung des Graphen von mit dem Faktor und dem Ursprung als Streckzentrum führt auf die Funktion mit



Wenn für die Funktionalgleichung gilt, gilt sie auch für . Schnell nachgerechnet:




Wegen der Ungeradheit von genügt es, sich auf zu beschränken.


4. Die von IfindU und HAL angegebene Lösungsfunktion kann folgendermaßen definiert werden:



Nach rechts wird sie fortgesetzt durch



und nach links durch die Ungeradheit



Ich möchte einmal die Funktion mit



den Funktionskeim von nennen. besitzt die Umkehrfunktion



Man kann dann so schreiben:



Wenn ich das richtig sehe, kann man analog mit einem beliebigen Funktionskeim



für den man nur Bijektivität fordern muß, die folgende Definition vornehmen:



Die Funktion wird wieder nach rechts und links fortgesetzt durch





Für ein derart definiertes gilt

Ich habe das einmal mit Euklid für den Funktionskeim



zeichnen lassen. Blau ist , rot ist mit , grün ist .

[attach]56682[/attach]

Gibt es weitere Lösungen der Funktionalgleichung, die nicht den obigen Konstruktionen folgen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Gibt es weitere Lösungen der Funktionalgleichung, die nicht den obigen Konstruktionen folgen?

Eine rhetorische Frage. Ein etwas weiter greifender Ansatz, im Grundmuster aber immer noch basierend auf deiner Grundidee:

Wir betrachten die disjunkte Zerlegung , zudem dann bijektive Funktionen und definieren



Sollte ebenso klappen wie die obige spezielle Konstruktion mit den Intervallen der Länge 1. Indexmenge kann beliebig sein, auch überabzählbar. Im Extremfall sind Einermengen...


EDIT: Hmm, zu kompliziert gedacht - es reicht ja bereits die eine disjunkte Zerlegung mit bijektivem sowie

.

Die Frage ist, ob umgekehrt jede Lösungsfunktion in dieses Schema passt.

EDIT2: Ja, ist wohl so. Einer beliebigen Lösungsfunktion ordnet man dann sowie zu.
 
 
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Aus dem Suneung 2023, der südkoreanischen Abschlußprüfung, die zu einem Hochschulstudium berechtigt:

Zitat:
Aufgabe 74

sei eine ganzrationale Funktion 3. Grades mit führendem Koeffizienten 1 und den folgenden Eigenschaften:







Man bestimme .

98,2 Prozent der Prüflinge seien an dieser Aufgabe gescheitert.


nach DIE ZEIT, 18. Januar 2024, gedruckte Ausgabe, Seite 15
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Gelöscht, da Lösung bereits in den Diskussionen eingestellt (warum nicht gleich hier?).
Ich habe den Rechenansatz zur Bestimmung der richtigen Funktion allerdings mit einigen anderen Überlegungen vorbereitet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hatte nur die ursprüngliche Idee wiederbelebt, hier im Hauptthread nur Aufgaben bzw. vollständig durchdachte Lösungen bzw. zumindest Lösungsideen vorzutragen. Was ich heute zur Aufgabe gepostet hatte, war ja nur ein erster Teil eines möglichen Beweises.

Du kannst natürlich gern deinen Beweis bzw. Beweisskizze hier anbringen, da sie ja sicher deutlich weiter fortgeschritten ist als mein Fragment. Augenzwinkern
klauss Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, von "Beweis" zu sprechen wäre doch sehr vermessen, deshalb stelle ich meinen Weg auch in den Diskussionen ein.
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