Übergangs-Marathon Mathematik

10.02.2013, 10:44

Monoid

Übergangs-Marathon Mathematik

Hi!

Ich möchte hier einen Übergangs-Marathon eröffnen.

Er funktioniert genauso wie z.B. der Mathe-Marathon-Schule, also derjenige, der die aktuelle Aufgabe gelöst hat, stellt die nächste.

Weitere Regeln sind:

Nur Oberstufenpogramm oder das, was 1. oder 2. Semesterer im Mathematikstudium lernen.
Aufgaben und Lösungen werden in Zitaten geschrieben.
Man nummeriere die Aufgabe bzw. die Lösung.
Man vermeide Kommentare.
Schreibe zu Lesbarkeit mit $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ .

Ich fange dann an:

Zitat:

Aufgabe 1 Algebra :

Sei $\begin{eqnarray*} a_n := 1 \underbrace{ 0...0 }_{n-1 \text{ Nullen }} 1 \underbrace{ 0...0 }_{ n-1 \text{ Nullen }} 1 \end{eqnarray*}$ .

Man zeige:
$\begin{eqnarray*} 37 | a_n \Leftrightarrow \neg ( 3 | n) \end{eqnarray*}$

Edit:
Teilnehmen darf jeder.

10.02.2013, 13:31

Guppi12

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So jetzt aber:

Zitat:

Lösung Aufgabe 1:

Vorüberlegung: Offenbar gilt $\begin{eqnarray*} a_n = 1+10^n+10^{2n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Zunächst fällt uns auf, dass
sowohl $\begin{eqnarray*} 10^3-1 \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} 10^6-1 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 37 \end{eqnarray*}$ teilbar sind.
Damit folgt, dass

$\begin{eqnarray*} (10^3-1)\cdot 10^n+(10^6-1)\cdot 10^{2n} \end{eqnarray*}$

für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 37 \end{eqnarray*}$ teilbar ist. Wir bezeichnen diese Aussage mit $\begin{eqnarray*} (A) \end{eqnarray*}$

---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Offenbar gilt ebenso für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}: \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a_{n+3} = 1+10^{n+3}+10^{2n+6} = 1+10^3\cdot 10^n+10^6\cdot 10^{2n} = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \underbrace{1+10^n+10^{2n}}_{= a_n} + \underbrace{(10^3-1)\cdot 10^n+(10^6-1)\cdot 10^{2n}}_\text{Nach (A) durch 37 teilbar} \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} a_{n+3} \end{eqnarray*}$ genau dann durch $\begin{eqnarray*} 37 \end{eqnarray*}$ teilbar, wenn es auch $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ ist.
Mit
a_1 = 111 durch 37 teilbar
a_2 = 10101 durch 37 teilbar
a_3 = 1001001 nicht durch 37 teilbar
folgt die Behauptung.

Hoffe ich habe diesmal nichts übersehen.
Lg

edit von sulo: Zeilenumbruch für bessere Lesbarkeit eingefügt.

10.02.2013, 16:00

Guppi12

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So, mir ist doch was eingefallen:

Zitat:

Aufgabe 2:
Zeige, dass in jedem Dreieck der Schwerpunkt, Umkreismittelpunkt und Höhenschnittpunkt auf einer Geraden liegen

Tipp: Vektorrechnung bietet sich an

13.02.2013, 21:28

omegalambda

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Lösung Aufgabe 2:

Für das Dreieck ABC gilt

$\begin{eqnarray*} A(0;0)\ B(x_{1}; 0)\ C(x_{2} ;y) \end{eqnarray*}$

Für den Schwerpunkt S nimmt man die Schwerpunktformel und bekommt

$\begin{eqnarray*} S=(\frac{x_{1}+ x_{2} }{3}\ ;\ \frac{y}{3}) \end{eqnarray*}$

Dann braucht man den zu $\begin{eqnarray*} \vec {AC}=\begin{pmatrix} x_{2} \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ orthogonalen Vektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -y \\ x_{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Der Höhenschnittpunkt H hat den x-Wert $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_{b}= \begin{pmatrix} x_{1} \\ 0 \end{pmatrix}+a\begin{pmatrix} -y \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{2} \\ y_{H} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(hb ist die Senkrechte auf b durch B)

a und dann yH berechnen führt zum Höhenschnittpunkt

$\begin{eqnarray*} H=(x_{2} \ ;\ \frac{(x_{1}- x_{2})\cdot x_{2} }{y}) \end{eqnarray*}$

Der Umkreismittelpunkt U hat den x-Wert $\begin{eqnarray*} \frac{x_{1} }{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{b}= \begin{pmatrix} \frac{x_{2}}{2} \\ \frac{y }{2} \end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} -y \\ x_{2} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{x_{1} }{2} \\ y_{U} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
(mb ist die Mittelsenkrechte von b)

k und yU berechnen führt zum Umkreismittelpunkt

$\begin{eqnarray*} U=(\frac{x_{1} }{2} \ ;\ \frac{y}{2} -\frac{(x_{1}- x_{2})\cdot x_{2} }{2y}) \end{eqnarray*}$

Damit die 3 Punkte auf einer Geraden liegen
müssen $\begin{eqnarray*} \vec {SH} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec {SU} \end{eqnarray*}$ linear abhängig sein

Was man dann auch zeigen kann

$\begin{eqnarray*} \ \vec {SH}=-2\cdot \vec {SU} \end{eqnarray*}$

13.02.2013, 21:58

Guppi12

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Jap, sehr schön Freude

Du kannst die nächste Aufgabe stellen Augenzwinkern

13.02.2013, 22:35

omegalambda

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Zitat:

Aufgabe 3:

geg $\begin{eqnarray*} \ f(x)=a^{x} \ \left\{ \ a,x\in \mathbb R ;a>1\right\} \end{eqnarray*}$

Für jedes a existiert eine Stelle $\begin{eqnarray*} x_{\kappa } \end{eqnarray*}$ an der die Krümmung $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ der Kurve maximal wird

Gesucht wird der Wertebereich der Funktion $\begin{eqnarray*} x_{\kappa }(a)\ \left\{x_{\kappa }\in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

07.03.2013, 22:29

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Da die Aufgabe hier schon so lange steht, erlaube ich mir, eine Kurz-Lösung hinzuschreiben und hoffe, dass mir dabei keine Fehler unterlaufen sind.

Zitat:

Mit der Formel für die Krümmung erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \kappa(x,a)=\frac{a^x(\ln(a))^2}{(a^{2x}(\ln(a))^2+1)^{1.5}} \end{eqnarray*}$ .

Nun hat mein Taschenrechner $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ abgeleitet und meine Hand die Nullstelle der Ableitung bestimmt zu $\begin{eqnarray*} x_k(a)=\frac{-2\ln(\ln(a))-\ln(2)}{2\ln(a)} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt ziehe ich mich, um lange Rechnerei zu vermeiden, auf deine Voraussetzung zurück: Aufgabe 3 schickt mit auf den Weg, dass $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ bei festgehaltenem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Maximum annimmt, sodass die oben bestimmte Nullstelle der Ableitung tatsächlich die Maximalstelle $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ aus der Aufgabenstellung sein muss ( $\begin{eqnarray*} \kappa \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert, sodass Randbetrachtungen für das Maximum entfallen).

Für die Bestimmung des Wertebereichs von $\begin{eqnarray*} x_k(a) \end{eqnarray*}$ schaue ich mir mal das Verhalten der Ableitung an:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dd x_k(a)}{\dd a} = \frac{2\ln(\ln(a))+\ln(2)-2}{2a(\ln(a))^2} \end{eqnarray*}$

Der Nenner der Ableitung ist positiv, also braucht man für das Vorzeichen der Ableitung bloß den Zähler betrachten:
er ist kleiner als 0 für $\begin{eqnarray*} a < e^{e/\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ , gleich 0 für $\begin{eqnarray*} a = e^{e/\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ und größer als 0 für $\begin{eqnarray*} a > e^{e/\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ .

Das heißt für $\begin{eqnarray*} a = e^{e/\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$ (was auch größer 1 ist, was die Bedingung an a in der Aufgabenstellung war) nimmt $\begin{eqnarray*} x_k(a) \end{eqnarray*}$ seinen kleinsten Funktionswert an, der $\begin{eqnarray*} \frac{ - \sqrt{2}}{e} \approx -0.52 \end{eqnarray*}$ ist.

Wegen $\begin{eqnarray*} \lim_{a \to 1+0} x_k(a) = \infty \end{eqnarray*}$ und da x_k (a) stetig ist auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} (1 , e^{e/\sqrt{2}}] \end{eqnarray*}$ , nimmt x_k(a) jeden Funktionswert größer gleich -0,52 an, was gerade der Wertebereich ist: $\begin{eqnarray*} [\frac{-\sqrt{2}}{e}, \infty) \end{eqnarray*}$

PS: Ich habe hier rund 20 mal statt /latex \latex geschrieben und ich glaube, ich werde diesen Fehler niemals wegbekommen, solange alle anderen Symbole mit \ eingeleitet werden unglücklich

08.03.2013, 11:34

omegalambda

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Du hast die Lösung gefunden.

Beachte auch f´(xk) = ?

Du kannst dann die nächste Frage stellen.

24.03.2013, 23:42

Fragen über Fragen

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Aus dem BWM 1992:

Zitat:

Aufgabe 4:
Für drei Zahlenfolgen $\begin{eqnarray*} (x_n), (y_n), (z_n) \end{eqnarray*}$ mit positiven Anfangsgliedern $\begin{eqnarray*} x_1, y_1, z_1 \end{eqnarray*}$ gelte

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = y_n + \frac{1}{z_n}, <br /> y_{n+1} = z_n + \frac{1}{x_n}, <br /> z_{n+1} = x_n + \frac{1}{y_n}, <br /> <br /> (n = 1,2,3,...). \end{eqnarray*}$

Man beweise:
a) Keine der drei Folgen ist nach oben beschränkt.
b) Mindestens eine der Zahlen $\begin{eqnarray*} x_{200}, y_{200}, z_{200} \end{eqnarray*}$ ist größer als 20.

Zur Motivation der Schüler: Da die Aufgabe aus einem Schülerwettbewerb stammt, wird für ihre Lösung auch kein Hochschulwissen über Folgen benötigt Augenzwinkern

02.04.2013, 15:06

tmo

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Ich denke, ich habe jetzt lange genug Zeit gelassen, daher löse ich mal auf:

Zunächst betrachte ich die durch $\begin{eqnarray*} f(x) := x+ \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ definierte Funktion und stelle fest, dass sie für $\begin{eqnarray*} x \geq 1 \end{eqnarray*}$ monoton steigt (Kann sich ja jeder selbst überlegen, wo das gebraucht wird)

Ich zeige zunächst

$\begin{eqnarray*} f^{n-2}(2) \geq \sqrt{2n} \end{eqnarray*}$ (Dabei ist die Potenz als Hintereinanderausführung zu verstehen)

per Induktion.

Der Induktionsanfang $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ ist klar, für den Induktionsschritt zeigen wir $\begin{eqnarray*} f(\sqrt{2n}) \geq \sqrt{2(n+1)} \end{eqnarray*}$ unter Benutzung der Ungleichung von arithmetischen und geometrischen Mittel:

$\begin{eqnarray*} f(\sqrt{2n}) = \sqrt{2n}+ \frac{1}{\sqrt{2n}} = \frac{2n+1}{\sqrt{2n}} = \frac{\frac{2n+(2n+2)}{2}}{\sqrt{2n}} \geq \frac{\sqrt{2n(2n+2)}}{\sqrt{2n}} = \sqrt{2n+2} \end{eqnarray*}$ .

Für die Aufgabe müssen wir jetzt nur noch zeigen:

$\begin{eqnarray*} \max \{x_n,y_n,z_n\} \geq f^{n-2}(2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \geq 2 \end{eqnarray*}$ . Wieder mit Induktion:

Diesmal erfordert schon der Anfang etwas mehr:

o.B.d.A ist $\begin{eqnarray*} x_1 = \max \{x_1,y_1,z_1\} \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} z_2 =x_1+\frac{1}{y_1} \geq x_1 + \frac{1}{x_1} \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Der Induktionsschritt ist nun die selbe Überlegung:

Sei o.B.d.A $\begin{eqnarray*} x_n = \max \{x_n,y_n,z_n\} \geq f^{n-2}(2) \end{eqnarray*}$ .

Dann ist $\begin{eqnarray*} z_{n+1} = x_n + \frac{1}{y_n} \geq x_n + \frac{1}{x_n} = f(x_n) \geq f(f^{n-2}(2)) = f^{n-1}(2) \end{eqnarray*}$ . Fertig.

Achso, das war ja jetzt nur die b). Die impliziert natürlich vermöge $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \geq y_{n+1} \geq z_n \end{eqnarray*}$ die a).

Dennoch will ich zeigen, dass die a) (wo man nur zeigt, dass die Folgen beliebig wachsen) in der Tat viel einfacher ist als die b) (wo man eine untere Schranke für das Wachstum findet).

Nehmen wir an, eine der drei sei beschränkt, so sind wegen $\begin{eqnarray*} x_{n+2} \geq y_{n+1} \geq z_n \end{eqnarray*}$ alle 3 beschränkt, sagen wir durch $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ .

Wegen $\begin{eqnarray*} x_{n+3} = x_n + \frac{1}{z_{n+2}} + \frac{1}{x_{n+1}} + \frac{1}{y_n} \geq x_n + \frac{3}{C} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ aber doch unbeschränkt. Widerspruch.

05.04.2013, 21:16

Fragen über Fragen

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Folgende Aufgabe ist vielleicht weniger abschreckend, als die Aufgabe 4:

Zitat:

Aufgabe 5:
Man beweise, daß ein Würfel für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \geq 100 \end{eqnarray*}$ in genau n Würfel zerlegt werden kann.

Wurde mal in der deutschen Olympiade 1993 gestellt, Aufgabe 321242.

Zusatzfrage (kenne selbst keine Antwort): Für welche n<100 existiert keine Zerlegung? Sowas wie n=2 ist klar, aber wie stehts z.B. mit n=42 ?

28.04.2013, 19:47

Guppi12

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Könnte bitte ein Moderator meine Lösung oben entfernen?
Ich hatte mich in der Dimension vertan Big Laugh

Zitat:

Lösung 5

Zunächst stellen wir fest, dass sich jeder Würfel für alle $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} k^3 \end{eqnarray*}$ Würfel zerlegen lässt, indem jeder das $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ -fache, der Kantenlänge des zerlegten Würfels bekommt.

Behauptung 1:
Sei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so, dass ein Würfel sich in genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfel zerlegen lässt. Dann lässt sich auch jeder Würfel in $\begin{eqnarray*} n+7, n+19, n+26, n+37 \end{eqnarray*}$ Würfel zerlegen.
Beweis:
n+7: Zerlege den Würfel in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfel und einen der $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ danach in $\begin{eqnarray*} 8=2^3 \end{eqnarray*}$ Würfel. Dann wurde insgesamt in n+7 Würfel zerlegt.
n+26 Geht genauso wegen $\begin{eqnarray*} 26 = 3^3-1 \end{eqnarray*}$
n+19 Zerlege den Würfel in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfel, einen von diesen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dann in $\begin{eqnarray*} 27 \end{eqnarray*}$ und fasse von diesen $\begin{eqnarray*} 27 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ zu einem größeren Würfel zusammen. Dann wurde insgesamt in $\begin{eqnarray*} n -1 + 27 -8 + 1 = n+19 \end{eqnarray*}$ Würfel zerlegt.
n+37 Zerlege den Würfel in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfel, einen von diesen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ dann in $\begin{eqnarray*} 64 \end{eqnarray*}$ und fasse von diesen $\begin{eqnarray*} 64 \end{eqnarray*}$ wieder $\begin{eqnarray*} 27 \end{eqnarray*}$ zu einem größeren Würfel zusammen. Dann wurde insgesamt in $\begin{eqnarray*} n -1 + 64 -27 + 1 = n+37 \end{eqnarray*}$ Würfel zerlegt.

Es bleibt noch zu zeigen, dass die Behauptung für $\begin{eqnarray*} n \in \{100,101,102,103,104,105,106\} \end{eqnarray*}$ gilt.

Dies ist der Fall wegen:

$\begin{eqnarray*} 100 = 27+2*26+3*7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 101 = 64+37 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 102 = 27+26+7*7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 103 = 27+4*19 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 104 = 64+26+2*7 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 105 = 27+3*26 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 106 = 64+6*7 \end{eqnarray*}$

30.04.2013, 14:24

Guppi12

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Zitat:

Aufgabe 6 (Analysis)
Sei $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$ .
Zeige: Es gibt $\begin{eqnarray*} \alpha , \beta \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f = \alpha sin+\beta cos \end{eqnarray*}$

Tipp: Betrachte $\begin{eqnarray*} \varphi = f\cdot cos-f'\cdot sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi = f\cdot sin+f'\cdot cos \end{eqnarray*}$ und berechne $\begin{eqnarray*} \varphi ' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi ' \end{eqnarray*}$

16.05.2013, 17:16

Guppi12

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Ich werde dann mal auflösen. Wer will kann die nächste posten.

Zitat:

Lösung 6

Sei also $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R} \to\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zweimal stetig differenzierbar mit $\begin{eqnarray*} f''+f = 0 \end{eqnarray*}$ .

Definiere $\begin{eqnarray*} \varphi := f\cdot cos-f'\cdot sin \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi := f\cdot sin+f'\cdot cos \end{eqnarray*}$

Als Produkte, Summen differenzierbarer Funktionen sind $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ differenzierbar mit

$\begin{eqnarray*} \varphi ' = f'\cdot cos - f\cdot sin - f''\cdot sin - f'cos = -sin\cdot (f+f'') = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \psi ' = f'\cdot sin + f\cdot cos +f''\cdot cos-f'\cdot sin = cos\cdot (f+f'') = 0 \end{eqnarray*}$

Also sind $\begin{eqnarray*} \varphi,\psi \end{eqnarray*}$ konstante Funktionen.

Ferner gilt

$\begin{eqnarray*} \psi\cdot sin+\varphi\cdot cos = (f\cdot sin+f'\cdot cos)\cdot sin + (f\cdot cos-f'\cdot sin)\cdot cos = \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\cdot sin^2 + f'\cdot sin\cdot cos+f\cdot cos^2-f'\cdot sin\cdot cos = f\cdot(sin^2+cos^2) = f \end{eqnarray*}$

Identifizieren wir nun $\begin{eqnarray*} \psi,\varphi \end{eqnarray*}$ mit ihrem konstanten Funktionswert, so ergibt sich die Behauptung.

edit von sulo: Zeilenumbruch für bessere Lesbarkeit eingefügt.

22.05.2013, 06:21

Algebra!

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Hi!

Zitat:

Aufgabe 7:
Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine Gruppe, $\begin{eqnarray*} H_1,H_2 \subset G \end{eqnarray*}$ seien Untergruppen mit $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray*} [G:H_1] = [G:H_2] [H_2:H_1] \end{eqnarray*}$ . Beweise dies!

Bitte nicht (!) nach der Lösung googlen, Google an sich jedoch, darf als Hilfsmittel benutzt werden (z.B. für die Definitionen von Gruppen oder Untergruppen).

28.05.2013, 16:31

Tesserakt

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Zitat:

Lösung Aufgabe 7
Sei also $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ Gruppe, $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ Untergruppen mit $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \end{eqnarray*}$ .

Wir stellen zunächst fest, dass dann $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} 1_G \end{eqnarray*}$ bezeichne das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} H_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} H_2 \end{eqnarray*}$ .
Sei $\begin{eqnarray*} \varphi: G/H_1 \to G/H_2, \; gH_1 \mapsto gH_2 \end{eqnarray*}$ .
Es ist leicht einzusehen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ wohldefiniert ist; ist nämlich $\begin{eqnarray*} g'H_1 = gH_1 \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} \varphi(gH_1) = gH_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi(g'H_1) = g'H_2 \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} g = g * 1_G \in gH_1 \end{eqnarray*}$ muss auch $\begin{eqnarray*} g \in g'H_1 \end{eqnarray*}$ gelten. Also existiert ein $\begin{eqnarray*} h \in H_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g = g' * h \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} h = g'^{-1} * g \end{eqnarray*}$ .
Da $\begin{eqnarray*} H_1 \subset H_2 \end{eqnarray*}$ , ist $\begin{eqnarray*} h \in H_2 \end{eqnarray*}$ und daher $\begin{eqnarray*} g \in g'H_2 \end{eqnarray*}$ , woraus $\begin{eqnarray*} g'H_2 = gH_2 \end{eqnarray*}$ und letztendlich $\begin{eqnarray*} \varphi(gH_1) = \varphi(g'H_1) \end{eqnarray*}$ folgt.
Wir sehen, dass $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ eine surjektive Abbildung ist, da zu jedem $\begin{eqnarray*} tH_2 \in G/H_2 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \varphi(tH_1) = tH_2 \end{eqnarray*}$ .
Also $\begin{eqnarray*} \varphi(G/H_1) = G/H_2 \end{eqnarray*}$ .

Man betrachte nun eine Linksnebenklasse $\begin{eqnarray*} kH_2 \in G/H_2 \end{eqnarray*}$ und die Menge $\begin{eqnarray*} M_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} M_k = \{lH_1 \in G/H_1 \; | \; \varphi(lH_1) = kH_2\} \end{eqnarray*}$ .
Offenbar gilt also $\begin{eqnarray*} l \in kH_2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} lH_1 \in M_k \end{eqnarray*}$ gilt.
Sei nun $\begin{eqnarray*} \rho_k: H_2/H_1 \to M_k, \; \eta H_1 \mapsto k\eta H_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \eta \in H_2 \end{eqnarray*}$ jeweils.
$\begin{eqnarray*} \rho_k \end{eqnarray*}$ ist surjektiv, da zu jedem $\begin{eqnarray*} mH_1 \in M_k \end{eqnarray*}$ (daher $\begin{eqnarray*} m \in kH_2 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} \rho_k(k^{-1}mH_1) = mH_1 \end{eqnarray*}$ ist.
$\begin{eqnarray*} \rho_k \end{eqnarray*}$ ist fernerhin injektiv. Ist nämlich $\begin{eqnarray*} \rho_k(a_1H_1) = \rho_k(a_2H_1) \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} ka_1H_1 = ka_2H_1 \end{eqnarray*}$ , ergo $\begin{eqnarray*} a_1H_1 = a_2H_1 \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} \rho_k \end{eqnarray*}$ ist daher bijektiv und es muss $\begin{eqnarray*} |H_2/H_1| = |M_k| \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} |M_k| = [H_2 : H_1] \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ .

Wir können hieraus schlussfolgern: $\begin{eqnarray*} |G/H_1| = |\varphi(G/H_1)| \cdot |M_k| \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} [G : H_1] = [G : H_2] \cdot [H_2 : H_1] \end{eqnarray*}$

q.e.d.

29.05.2013, 17:46

Tesserakt

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Zitat:

Aufgabe 8 Zahlentheorie
Es sei $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ prim.
Man zeige, dass dann für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} n^p \equiv n \mod p \end{eqnarray*}$ gilt; $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilt also die Differenz $\begin{eqnarray*} n^p - n \end{eqnarray*}$ .

02.06.2013, 22:27

Guppi12

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Zitat:

Lösung Aufgabe 8
Sei $\begin{eqnarray*} p\in\mathbb P \end{eqnarray*}$ . Wir zeigen mit vollständiger Induktion:
Für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} n^p-n \end{eqnarray*}$ .

Induktionsanfang: Offenbar wird $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ geteilt.

Induktionvoraussetzung: Gelte die Behauptung nun für festes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N_0 \end{eqnarray*}$ .

Induktionsschritt: Betrachte $\begin{eqnarray*} (n+1)^p-(n+1) \end{eqnarray*}$ .

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} (n+1)^p-(n+1) = -n-1+\sum_{k=0}^p\begin{pmatrix}p \\ k\end{pmatrix}n^k = \underbrace{n^p-n}_{\text{Teilbar durch p nach IV}}+\underbrace{\sum_{k=1}^{p-1}\frac{p!}{k!(p-k)!}n^k}_{:= A} \end{eqnarray*}$

Es bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar ist:
Es ist sowohl $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ , als auch $\begin{eqnarray*} p-k \end{eqnarray*}$ kleiner als $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p-1 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ prim, entält also $\begin{eqnarray*} k!(p-k) \end{eqnarray*}$ keinen Primfaktor von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ (der einzige ist ja $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ).
Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{p!}{k!(p-k)!} \end{eqnarray*}$ für alle betrachteten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ teilbar und damit dann auch $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

04.06.2013, 16:46

Guppi12

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Mal was einfaches:

Zitat:

Aufgabe 9
Sei $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ endlich-dimensionaler Vektorraum und $\begin{eqnarray*} F\in End(V) \end{eqnarray*}$ eine Projektion(d.h. $\begin{eqnarray*} F^2 = F \end{eqnarray*}$ ).

Zeige: Es gibt Untervektorräume $\begin{eqnarray*} U, W \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} V = U\oplus W \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{|U} = id_U \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_{|W} = 0 \end{eqnarray*}$

20.07.2013, 11:35

Guppi12

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Ich löse mal auf und gebe den Marathon anschließend frei

Zitat:

Lösung 9:

Setze $\begin{eqnarray*} U := F(V), W:= ker(f) \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} F_{|W} = 0 \end{eqnarray*}$ trivial.
Sei nun $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ . Dann ex. $\begin{eqnarray*} u'\in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} F(u') = u \end{eqnarray*}$ . Es folt $\begin{eqnarray*} u = F(u') = F(F(u')) = F(u) \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ beliebig, folgt $\begin{eqnarray*} F(u) = u \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} u\in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} F_{|U} = id_U \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt zu zeigen:

$\begin{eqnarray*} V = U\oplus W \end{eqnarray*}$

Dafür zeigen wir $\begin{eqnarray*} dim(V) = dim(U)+dim(W) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U\cap W = \{0\} \end{eqnarray*}$

Ersteres folgt direkt mit der Dimensionsformel.

Sei nun $\begin{eqnarray*} v\in U\cap W \end{eqnarray*}$ . Einerseits gilt $\begin{eqnarray*} F(v) = v \end{eqnarray*}$ , andererseits $\begin{eqnarray*} F(v) = 0 \end{eqnarray*}$ . Damit folgt direkt $\begin{eqnarray*} v=0 \end{eqnarray*}$ , also die Behauptung.

Wie gesagt, es stelle gerne jemand anderes eine neue Aufgabe. Die letzte kam ja offenbar nicht so gut an Augenzwinkern

20.07.2013, 22:40

jemand anders

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kleine Korrektur das war die Schüleraufgabe

Hallo zusammen smile

Zitat:

Aufgabe 10

$\begin{eqnarray*} f(x)=\int_x^{2x} \! e^{-t^{2} } \, dt \end{eqnarray*}$

Ermittle die Extremstellen von f

Edit Equester: Zitatumgebung eingefügt. "Schüleraufgabe" entfernt.

07.08.2013, 00:16

HAL 9000

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Mal ein Versuch der Thread-Wiederbelebung...

Lösung Aufgabe 10:

Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = G(2x)-G(x) \end{eqnarray*}$ stetig differenzierbar, wobei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ irgendeine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} g(x)=e^{-x^2} \end{eqnarray*}$ ist. Notwendige Bedingung für eine lokale Extremstelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ist gemäß Kettenregel

$\begin{eqnarray*} 0 = f'(x) = 2G'(2x)-G'(x) = 2g(2x)-g(x) = 2e^{-4x^2}-e^{-x^2} = -e^{-4x^2} \left( e^{3x^2}-2 \right) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. mögliche lokale Extremstellen sind $\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{\ln(2)}{3}} \end{eqnarray*}$ .

Über $\begin{eqnarray*} f''(x) = -16x e^{-4x^2}+2xe^{-x^2} = 2x e^{-4x^2} \left( e^{3x^2}-8 \right) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f''\left( x_k \right) = -12x_k e^{-4x_k^2} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\sqrt{\frac{\ln(2)}{3}} \approx -0.48 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} f''(x_1)>0 \end{eqnarray*}$ eine lokale Minimumstelle.

$\begin{eqnarray*} x_2 = \sqrt{\frac{\ln(2)}{3}} \approx 0.48 \end{eqnarray*}$ ist wegen $\begin{eqnarray*} f''(x_2)<0 \end{eqnarray*}$ eine lokale Maximumstelle.

Zitat:

Aufgabe 11: Es seien eine natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ sowie eine beliebige Funktion $\begin{eqnarray*} f:\;\mathbb{C}\to \{1,2,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ gegeben. Man beweise, dass es komplexe Zahlen $\begin{eqnarray*} z_1,z_2 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ nicht reell ist, und die beiden Eigenschaften

$\begin{eqnarray*} f(z_1)=f(z_2) \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \left| z_2 \right| = \left| z_1 \right| + \frac{\operatorname{arg}(z_1)}{\left| z_1 \right|} \end{eqnarray*}$

gelten.

25.08.2013, 22:20

HAL 9000

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Ok, die Aufgabe war ja auch nicht so ernst gemeint. Augenzwinkern

Eine mögliche Lösung Aufgabe 11:

Wir betrachten die Menge der $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ -Funktionswerte auf konzentrischen Kreisen um den Ursprung in der Gaußschen Zahlenebene, d.h.

$\begin{eqnarray*} W(r) := \left\{ f(z) \bigm| |z|=r \right\} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} W(r) \end{eqnarray*}$ ist eine nichtleere Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \{1,\ldots,n\} \end{eqnarray*}$ , von letzteren gibt es insgesamt $\begin{eqnarray*} 2^n-1 \end{eqnarray*}$ . Wir suchen nun zwei unterschiedliche Kreise mit $\begin{eqnarray*} 0 < r_1<r_2<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W(r_1)=W(r_2) \end{eqnarray*}$ . Das ist problemlos möglich, etwa über folgende Konstruktion: Wir betrachten $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ verschiedene Radien <1 und zugehörige Kreise, dann muss es nach Schubfachprinzip zwei Kreise mit identischem $\begin{eqnarray*} W \end{eqnarray*}$ -Funktionswert geben.

Wir wissen jetzt, dass es zu jedem $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z_1|=r_1 \end{eqnarray*}$ eine Zahl $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |z_2|=r_2 \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} f(z_1)=f(z_2) \end{eqnarray*}$ gilt. Jetzt müssen wir lediglich noch das Argument von $\begin{eqnarray*} z_1 \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} r_2 = r_1 + \frac{\operatorname{arg}(z_1)}{r_1} \end{eqnarray*}$ gilt, was mit $\begin{eqnarray*} \operatorname{arg}(z_1) = r_1(r_2-r_1) \end{eqnarray*}$ möglich ist, es gilt ja $\begin{eqnarray*} 0<r_1(r_2-r_1)<1 \end{eqnarray*}$ . Das führt demnach zu $\begin{eqnarray*} z_1 = r_1\exp(ir_1(r_2-r_1)) \end{eqnarray*}$ , und wir sind fertig. Augenzwinkern

05.09.2013, 18:46

HAL 9000

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Ich geb's nicht auf mit den Wiederbelebungsversuchen - die hier könnte interessanter sein smile

Zitat:

Aufgabe 12

Es sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge von 2013 positiven ganzen Zahlen, die sämtlich nur Primfaktoren kleiner als 20 besitzen. Man zeige, dass man aus dieser Menge acht verschiedene Zahlen auswählen kann, so dass deren Produkt die achte Potenz einer ganzen Zahl ist.

19.09.2013, 19:08

Guppi12

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Ok, nun also die Lösung.
Ist irgendwie nicht sehr schön zu lesen.

Zitat:

Lösung 12

Zunächst stellen wir fest, dass es $\begin{eqnarray*} 8 \end{eqnarray*}$ Primzahlen gibt, die kleiner als $\begin{eqnarray*} 20 \end{eqnarray*}$ sind.
Betrachten wir nun die Exponenten der Primfaktorzerlegungen der Elemente aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ modulo $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , so können hier nur $\begin{eqnarray*} 2^8=256 \end{eqnarray*}$ verschiedene Kombinationen von Primzahlexponenten modulo $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ auftreten. Nimmt man also $\begin{eqnarray*} 257 \end{eqnarray*}$ Elemente aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , so findet man unter diesen nach Schubfachprinzip auf jedenfall $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ solche Zahlen, $\begin{eqnarray*} m_1,m_2 \end{eqnarray*}$ mit gleichen Primzahlexponenten modulo $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ . Multipliziert man diese beiden Zahlen, so erhält man wegen $\begin{eqnarray*} 1+1 \equiv_2 0+0 \equiv_2 0 \end{eqnarray*}$ auf jedenfall eine Zahl, deren Primzahlexponenten alle kongruent zu Null, modulo 2 sind, also eine Quadratzahl.

Betrachtet man nun die Menge $\begin{eqnarray*} M \backslash \{m_1,m_2\} \end{eqnarray*}$ , so können wir auf diese das gleiche Argument erneut anwenden, da diese Menge mit 2011 Elementen immernoch mehr als 257 Elementa hat, und erhalten wieder eine Quadratzahl. Insgesamt bekommen wir auf diese Weise also $\begin{eqnarray*} \frac{2013-257}{2} = 878 \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen. Diese fassen wir nun zu einem Tupel $\begin{eqnarray*} A = (a_1, ..., a_{878}) \end{eqnarray*}$ zusammen und betrachten dann $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ (die Wurzel ist komponentenweise zu verstehen).

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ ein Tupel natürlicher Zahlen, da $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nur aus Quadratzahlen bestand.

Außerdem haben alle Komponenten aus $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ wieder nur Primzahlen kleiner als 20 in ihrer Primfaktorzerlegung. Also haben wir die gleichen Voraussetzungen, wie an die Menge M. (Nur das diesmal ein Tupel vorliegt).

In den Komponenten von $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ können wir nun wieder Produkte suchen, die Quadratzahlen sind und erhalten auf diese Weise eine neues Tupel $\begin{eqnarray*} B = (b_1, ..., b_{310}) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \left\lceil \frac{878-257}{2}\right\rceil = 310 \end{eqnarray*}$ Quadratzahlen.

Wir betrachten nun das Tupel $\begin{eqnarray*} \sqrt{B} \end{eqnarray*}$ , dessen Komponenten wieder natürliche Zahlen sind. Da dieses Tupel mehr als $\begin{eqnarray*} 257 \end{eqnarray*}$ Komponenten hat, finden wir darin Komponenten $\begin{eqnarray*} \sqrt{b_{i_1}}, \sqrt{b_{i_2}} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{b_{i_1}}\sqrt{b_{i_2}} = r^2 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .Es folgt $\begin{eqnarray*} b_{i_1}\cdot b_{i_2} = r^4 \end{eqnarray*}$ .

Außerdem finden wir zu $\begin{eqnarray*} b_{i_1}, b_{i_2} \end{eqnarray*}$ dann Komponenten $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{i_1}}, \sqrt{a_{i_2}}, \sqrt{a_{i_3}}, \sqrt{a_{i_4}} \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{A} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{i_1}}\cdot \sqrt{a_{i_2}} = b_{i_1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_{i_3}}\cdot \sqrt{a_{i_4}} = b_{i_2} \end{eqnarray*}$ .

Es folgt $\begin{eqnarray*} a_{i_1}a_{i_2}a_{i_3}a_{i_4} = r^8 \end{eqnarray*}$ .

Dazu finden wir dann die zugehörigen Elemente $\begin{eqnarray*} (m_i)_{i=1}^8 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \prod\limits_{i=1}^8m_i = r^8 \end{eqnarray*}$ .

19.09.2013, 20:50

Guppi12

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Ich finde diese Aufgabe insofern schön, dass die Lösung auf den ersten Blick etwas kontraintuitiv ist:

Zitat:

Aufgabe 13

Romeo und Julia werden von einem Bösewicht gekidnappt und in eine 100 Meter lange Halle gesperrt, die sich aber beliebig in die Länge ziehen lässt (sie besteht sozusagen aus Gummi).
Romeo steht am einen Ende der Halle und Julia am anderen Ende.

Natürlich sprintet Romeo sofort los, um seine Julia zu erreichen und erreicht dabei eine beachtlich Geschwindigkeit von immerhin 10 m/s. Der Bösewicht aber hat mitgedacht und beginnt, die Halle allmählich auseinanderzuziehen. Er denkt sich: "Gut, wenn Romeo nicht schneller als 10 m/s laufen kann, dann ziehe ich die Halle eben mit 20 m/s auseinander."

Kann Romeo seine Julia trotzdem erreichen ?
Falls ja, in welcher Zeit?

Ich hoffe sie gefällt euch Augenzwinkern

05.10.2013, 21:44

Fragen über Fragen

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Die Lösung der Aufgabe 13 wurde hier diskutiert:

Diskussionen zum Übergangsmarathon

Ich erlaube mir mal das Stellen einer neuen Aufgabe, zwar eine der leichteren Funktionalgleichungs-Aufgaben der IMO, aber dafür stößt man bei der Lösung auf recht hübsche und sehenswerte Pointen.

Zitat:

Aufgabe 14
Bestimme alle Funktionen $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to(0,\infty) \end{eqnarray*}$ , die folgende Bedingungen erfüllen:

(i) $\begin{eqnarray*} f(x \cdot f(y)) = y \cdot f(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \forall x,y >0 \end{eqnarray*}$

(ii) $\begin{eqnarray*} f(x) \to 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x \to \infty \end{eqnarray*}$

(IMO 1983, Aufgabe 1)

09.10.2013, 02:46

Guppi12

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Hallo allerseits Wink

Zitat:

Lösung 14
Behauptung: $\begin{eqnarray*} f: (0,\infty)\to(0,\infty),x\mapsto\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ist die einzige Funktion, die obige Eigenschaften erfüllt.

Beweis:

Mit $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ in (i) folgt $\begin{eqnarray*} f(xf(x)) = xf(x) \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir

$\begin{eqnarray*} 1)~~xf(x) \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty) \end{eqnarray*}$ ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Damit folgt $\begin{eqnarray*} xf(x^2) \overset{(i)}{=} f(x^2f(x)) = f(x(xf(x)) \overset{1)}{=} f(xf(xf(x))) \overset{(i)}{=} xf(x)\cdot f(x) = xf(x)^2 \end{eqnarray*}$ . Damit haben wir nach Division durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(x^2) = f(x)^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Induktiv folgt dann

$\begin{eqnarray*} 2)~~f(x^{2n}) = f(x)^{2n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Mit $\begin{eqnarray*} x=1,n=1 \end{eqnarray*}$ in 2) folgt $\begin{eqnarray*} f(1) = f(1)^2 \end{eqnarray*}$ und damit, da hier alles positiv ist $\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} 3)~~1 \end{eqnarray*}$ ist ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$

Angenommen es gebe weitere Fixpunkte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ : Sei $\begin{eqnarray*} c' \end{eqnarray*}$ ein solcher Fixpunkt. Es folgt $\begin{eqnarray*} 1 = f(1) = f(\frac{1}{c'}\cdot c') = f(\frac{1}{c'}\cdot f(c')) = c'\cdot f(\frac{1}{c'}) \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{c'}) = \frac{1}{c'} \end{eqnarray*}$ . Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{c'} \end{eqnarray*}$ auch ein Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Definiere $\begin{eqnarray*} c := \max\{c',\frac{1}{c'}\} > 1 \end{eqnarray*}$ (wegen $\begin{eqnarray*} c'\neq 1 \end{eqnarray*}$ ).

Da $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ existiert, ist selbiger Grenzwert gleich dem Grenzwert der Funktionswerte einer bestimmt gegen unendlich divergenten Folge.

Es folgt $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\infty}f(x) \overset{c>1}{=} \lim_{n\to\infty}f(c^{2n}) \overset{2)}{=} \lim_{n\to\infty}f(c)^{2n} = \lim_{n\to\infty}c^{2n} \overset{c> 1}{=} \infty \end{eqnarray*}$ . Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} (ii) \end{eqnarray*}$ .

Also ist $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ eindeutiger Fixpunkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . Wir erinnern uns an $\begin{eqnarray*} 1) \end{eqnarray*}$ . Damit folgt dann

$\begin{eqnarray*} xf(x) = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ .

Damit haben wir bisher aber nur gezeigt, dass keine andere Funktion in Frage kommt. Man prüft aber schnell nach, dass diese Funktion tatsächlich auch die gewünschten Eigenschaften hat(das spare ich mir hier mal Big Laugh

Ich würde den Thread gern freigeben. Ich kümmere mich auch um eine neue Aufgabe aber es soll sich niemand gehemmt fühlen, seine zu posten. Wer halt am zeitnahesten eine schöne parat hat.

08.11.2013, 12:36

Iorek

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Vielleicht animiert ja eine kleine Aufgabe zu Folgen wieder ein paar Leute (die Aufgabe habe ich letzte Woche mit einer Nachhilfeschülerin bearbeitet und fand die Aufgabe gut und elementar zu bearbeiten; da heute der Abgabetermin war, dürfte auch eine potentielle Lösung kein Problem mehr darstellen). Augenzwinkern

Zitat:

Aufgabe 15
Sei $\begin{eqnarray*} \emptyset\neq M\subset\mathbb R \end{eqnarray*}$ eine nach oben beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen. Man zeige:
Es existiert eine Folge $\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\operatorname{sup}(M) \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Tipp: Ist $\begin{eqnarray*} C:=\operatorname{sup}(M) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ , so existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C-\varepsilon\leq x \end{eqnarray*}$ .

16.11.2013, 12:52

DrummerS

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Hi Iorek, z.B.

$\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)_{n\in\mathbb N}=C-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Beweis:

$\begin{eqnarray*} \left(x_n\right)_{n<\infty}<C \end{eqnarray*}$

Teil 1: Über

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (-\frac{1}{n}) = 0 \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N} = C \end{eqnarray*}$

Teil 2: Aus

$\begin{eqnarray*} C-\varepsilon\leq C-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

folgt

$\begin{eqnarray*} \varepsilon\leq \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

Die Ungleichung ist bei $\begin{eqnarray*} \varepsilon\in ]0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllt, was im Einklang mit $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ist.

Hoffe, das ich nicht irgendwas vergessen habe smile

16.11.2013, 12:55

Iorek

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Da missachtest du die Forderung, dass es sich um eine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ handeln soll. Für eine beliebige Menge muss aber nicht $\begin{eqnarray*} C-\frac 1n\in M \end{eqnarray*}$ sein.

16.11.2013, 17:06

DrummerS

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Hoppla, es handelt sich natürlich nicht zwangsweise um einen Abschnitt der reellen Zahlen von $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ bis C Augenzwinkern

Also erstmal die Elemente in M sortieren: $\begin{eqnarray*} x_1\leq ...\leq x_{n-1}\leq x_n \leq x_{n+1}\leq...\leq C \end{eqnarray*}$

Mit $\begin{eqnarray*} x_n \leq C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \leq x + \varepsilon \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} x_n \leq x + \varepsilon \end{eqnarray*}$ , woraus sich $\begin{eqnarray*} x < x_n \end{eqnarray*}$ ergibt.

Also ist $\begin{eqnarray*} x < lim_{n \to \infty}\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} lim_{n \to \infty}\left(x_n\right)_{n\in\mathbb N} = C \end{eqnarray*}$ !

18.11.2013, 11:07

DrummerS

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Hi Iorek,

leider weiß ich nicht, ob meine letzte Beweisführung einigermaßen gut oder eher schräg/falsch ist? verwirrt

Falls du nichts dagegen hast, poste ich schonmal eine neue Aufgabe (?). Im Nachhinein
kann ich diese bei Bedarf ja "weg" editieren" oder einen Moderator bitten, diese zu löschen.

Nach welchem System lassen sich schnell und einfach, positiv ganzzahlige Wertepaare (x,y) für

$\begin{eqnarray*} x^y = y^x \end{eqnarray*}$

finden? x = y ist leider nicht erlaubt. Augenzwinkern

Tipp: Wie hängt der Tag des Datums vor zwei Tagen (MEZ) mit der sehr kurzen Antwort zu der Frage „nach dem Leben, dem Universum und dem ganzen Rest“ zusammen?
(Eine Ziffer der gesuchten Zahlen darf hierzu verschoben werden)

18.11.2013, 14:40

RavenOnJ

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Ich löse dann mal die 15.

Sei $\begin{eqnarray*} C := \sup(M) \end{eqnarray*}$ . Gibt es ein Element $\begin{eqnarray*} x\in M: x = C \end{eqnarray*}$ , dann ist die Aufgabe bereits gelöst, da man einfach die Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \forall n: x_n= C\Rightarrow \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\operatorname{sup}(M) \end{eqnarray*}$ wählen kann.

Werde also das Supremum in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ nicht angenommen. Es gibt gemäß der Definition des Supremums zu jedem $\begin{eqnarray*} 0<\epsilon\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} y\in M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C-\epsilon \le y < C \end{eqnarray*}$ .

Man kann nun eine streng monoton fallende Nullfolge $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n) \end{eqnarray*}$ und eine streng monoton steigende Folge $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ folgendermaßen definieren: Man wähle ein $\begin{eqnarray*} x_0\in M \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \epsilon_0 = C-x_0 \end{eqnarray*}$ . Im Intervall $\begin{eqnarray*} [C-\epsilon_0/2,C) \end{eqnarray*}$ muss nun wiederum ein Element $\begin{eqnarray*} x_1\in M \end{eqnarray*}$ existieren. Sodann wähle man $\begin{eqnarray*} \epsilon_1 := C-x_1 \le\epsilon_0/2 \end{eqnarray*}$ . Ebenso muss im Intervall $\begin{eqnarray*} [C-\epsilon_1/2,C) \end{eqnarray*}$ ein Element $\begin{eqnarray*} x_2\in M \end{eqnarray*}$ existieren und man wählt $\begin{eqnarray*} \epsilon_2 := C-x_2\le\epsilon_1/2 \end{eqnarray*}$ . Diese Konstruktion lässt sich ad infinitum fortsetzen. Aufgrund der Konstruktion ist also $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n) \end{eqnarray*}$ eine streng monoton fallende Nullfolge und $\begin{eqnarray*} (x_n) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n = C-\epsilon_n < C \end{eqnarray*}$ eine streng monoton steigende Folge.

Da $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n) \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist, gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} (C-\epsilon_n)= C =\operatorname{sup}(M) \end{eqnarray*}$

Anmerkung: Dass die Folgen streng monoton sind, ist eigentlich unerheblich. Einfache Monotonie reicht schon für den Beweis.

23.02.2014, 19:39

Louis1991

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Und auch hier versuche ich, mal wieder etwas Leben in die Bude zu kriegen. Thematisch nahe an der letzten Aufgabe:

Zitat:

Aufgabe 15b: Jede überabzählbare Teilmenge der reellen Zahlen enthält eine streng monoton steigende Folge.

Edit: Ich sehe gerade, die Aufgabe ist mit Aufgabe 15 quasi geschenkt. Aber gut... ich reiche gleich etwas richtiges nach, man mag das mal als 15b betrachten.

Okay, LinA1:

Zitat:

Aufgabe 16: Sei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein Körper. Seien $\begin{eqnarray*} A, B \in M_n(K) \end{eqnarray*}$ (d.h. $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Matrizen über $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ). Dann ist das charakteristische Polynom von $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ gleich dem charakteristischen Polynom von $\begin{eqnarray*} BA \end{eqnarray*}$ .

Es gibt mehrere Wege, das zu zeigen.

31.07.2014, 15:26

Guppi12

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Zitat:

Lösung 16

Seien $\begin{align*} S,T\in GL_n(K) \end{align*}$ mit $\begin{align*} SAT = \begin{pmatrix}E_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(n-k)\times k} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} k = Rang(A) \in \{0,...,n\} \end{align*}$ und $\begin{align*} 0_{i\times j} \end{align*}$ eine Nullmatrix mit $\begin{align*} i \end{align*}$ Zeilen, $\begin{align*} j \end{align*}$ Spalten.

Es gilt also $\begin{align*} A = S^{-1}\begin{pmatrix}E_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(n-k)\times k} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}T^{-1} \end{align*}$

Setze $\begin{align*} B' := T^{-1}BS^{-1} =: \begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix} \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} B_{11} \in K^{k\times k}, B_{12} \in K^{k\times (n-k)}, B_{21}\in K^{(n-k)\times k}, B_{22}\in K^{(n-k)\times(n-k)} \end{align*}$ , also $\begin{align*} B = TB'S \end{align*}$

Es folgt $\begin{align*} AB = S^{-1}\begin{pmatrix}E_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(n-k)\times k} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}T^{-1}T\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}S = S^{-1}\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ 0_{(n-k)\times k} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}S \end{align*}$ .

Da das charakteristische Polynom unter Konjugation invariant ist, folgt

$\begin{align*} \chi_{AB}(t) = \chi_{B_{11}}(t) \cdot (-t)^{n-k} \end{align*}$ .

Andererseits folgt $\begin{align*} BA = T\begin{pmatrix}B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22}\end{pmatrix}SS^{-1}\begin{pmatrix}E_k & 0_{k\times(n-k)} \\ 0_{(n-k)\times k} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}T^{-1} = T \begin{pmatrix}B_{11} & 0_{k\times(n-k)} \\ B_{21} & 0_{(n-k)\times(n-k)}\end{pmatrix}T^{-1} \end{align*}$

Damit folgt $\begin{align*} \chi_{BA}(t) = \chi_{B_{11}}(t)\cdot (-t)^{n-k} \end{align*}$ .

31.07.2014, 15:33

Louis1991

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Das ist zwar nicht die Lösung, die ich kannte, aber scheint richtig zu sein. Glückwunsch und auf zur nächsten Aufgabe Wink

31.07.2014, 16:40

Guppi12

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So, dann mal wieder was aus dem Bereich Analysis, ich hoffe, dass das nicht jeder, an den dieser Thread adressiert ist, schonmal gesehen hat Augenzwinkern

Zitat:

Aufgabe 17

Sei $\begin{align*} I_n := \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(x))^n\mathrm d x \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N_0 \end{align*}$ . Leite eine Rekursionsformel für $\begin{align*} I_n \end{align*}$ her.

Was kann man daraus für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ schließen, wenn man $\begin{align*} \frac{I_n}{I_{n-1}} \end{align*}$ für gerade $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ untersucht?

07.08.2014, 20:29

Guppi12

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Zitat:

Lösung 17
Es gilt $\begin{align*} I_0 = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\mathrm dx = \frac{\pi}{2} \end{align*}$
und $\begin{align*} I_1 = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(x) \mathrm dx = -\cos(x)\bigg\vert_{x=0}^{\frac{\pi}{2}} = 1 \end{align*}$ .

Für $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ gilt:

$\begin{align*} I_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}}(\sin(x))^n\mathrm d x = \int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin(x)(\sin(x))^{n-1}\mathrm d x = -\cos(x)(\sin(x))^{n-1}\bigg\vert_{x=0}^{\frac{\pi}{2}}+\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x)(n-1)(\sin(x))^{n-2}\cos(x)\mathrm dx \end{align*}$ .

$\begin{align*} = (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^2(x)(\sin(x))^{n-2}\mathrm dx = (n-1)\int_0^{\frac{\pi}{2}} ((\sin(x))^{n-2} - (\sin(x))^n)\mathrm dx = (n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n \end{align*}$

Es folgt $\begin{align*} I_n = \frac{n-1}{n} I_{n-2} \end{align*}$ .

Wegen der Monotonie des Integrals gilt für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ , dass $\begin{align*} I_{n+1} \leq I_n \leq I_{n-1} \end{align*}$ . Es folgt $\begin{align*} \frac{n}{n+1} = \frac{I_{n+1}}{I_{n-1}} \leq \frac{I_n}{I_{n-1}} \leq 1 \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ .

Damit folgt mit Einschnürungssatz, dass $\begin{align*} \frac{I_n}{I_{n-1}} \end{align*}$ für $\begin{align*} n\to\infty \end{align*}$ gegen $\begin{align*} 1 \end{align*}$ konvergiert.

Für gerade $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ gilt nun

$\begin{eqnarray*} \displaystyle\frac{I_n}{I_{n-1}} = \frac{I_0\cdot \prod_{j=1}^{\frac{n}{2}}\frac{I_{2j}}{I_{2j-2}}}{I_1\cdot \prod_{j=1}^{\frac{n}{2}}\frac{I_{2j+1}}{I_{2j-1}}}\cdot \frac{I_{n+1}}{I_{n-1}} = \frac{I_0\cdot \prod_{j=1}^{\frac{n}{2}}\frac{2j-1}{2j} }{\prod_{j=1}^{\frac{n}{2}}\frac{2j}{2j+1}}\cdot \frac{2n}{2n-1} = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{2n}{2n-1}\cdot \prod_{j=1}^{\frac{n}{2}} \frac{(2j-1)(2j+1)}{(2j)(2j)} \end{eqnarray*}$ .

Der Grenzübergang liefert

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{\pi} = \prod_{j=1}^\infty \frac{(2j-1)(2j+1)}{(2j)(2j)} \end{eqnarray*}$

Siehe auch Wallissches Produkt.

08.08.2014, 18:47

Guppi12

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Zitat:

Aufgabe 18
Seien $\begin{align*} f_n: [a,b] \to\mathbb R \end{align*}$ für alle $\begin{align*} n\in\mathbb N \end{align*}$ (nicht notwendigerweise stetige) Funktionen und $\begin{align*} f:[a,b]\to\mathbb R \end{align*}$

Es gelte:

1. $\begin{align*} f_n \to f \end{align*}$ punktweise.
2. $\begin{align*} f_n \end{align*}$ monoton wachsend für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$
3. $\begin{align*} f \end{align*}$ stetig.

Zeige, dass $\begin{eqnarray*} f_n \to f \end{eqnarray*}$ gleichmäßig.

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