Diskussionen zum Übergangsmarathon - Seite 2

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14.05.2013, 16:25

Guppi12

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Besteht noch Interesse an der Aufgabe oder soll ich demnächst mal auflösen?

23.05.2013, 16:14

Guppi12

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Auf die Gefahr hin, mich jetzt völlig lächerlich zu machen Big Laugh

Ich muss dennoch nachfragen:
Ist diese Aufgabe mit dem Stand einer linA 2 Vorlesung machbar oder braucht man Kenntnisse aus der Algebra?

Falls nicht, könntest du die Aufgabe bitte noch etwas erklären?

Wir haben nur ein bisschen grundlegende Gruppentheorie am Anfang gemacht und ich weiß beim besten Willen nicht, was mit dem Doppelpunkt und auch nicht, was mit dem Punkt gemeint ist.
Falls du es nicht erklären magst, würden mir auch Stichworte zum Googlen reichen.

23.05.2013, 16:29

Iorek

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Die "Aufgabe" ist nicht sinnvoll gestellt bzw. es steht keine zu beweisende Aussage da. Man könnte nun vermuten, dass da wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \color{blue}(G : H_1) = \color{black}(G : H_2) \cdot (H_2 : H_1) \end{eqnarray*}$ hätte stehen sollen, zumindest ist $\begin{eqnarray*} (G : H_2) \cdot (H_2 : H_1) \end{eqnarray*}$ keine Aussage, die man beweisen könnte. Entsprechendes dürfte auch im Matheclub bzw. der Aufgabenstellung im Matheclub gestanden haben, da ist es jetzt aber am Threadersteller, dieses Missverständnis aufzuklären.

23.05.2013, 16:30

tmo

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Da sollte eigentlich $\begin{eqnarray*} [G:H_1] = [G:H_2] [H_2:H_1] \end{eqnarray*}$ stehen.

Man muss halt mal 2 Wochen Gruppentheorie gehört haben. Dann ist das eine sehr einfache Aufgabe.

Man könnte sie noch einfacher machen und für $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ nur endliche Gruppen zulassen. Dann ist es einfach nur mehrfache Anwendung von Lagrange.

Der eigentliche "schwierige" Fall ist, dass die Gruppen jeweils unendlich sind, aber eben von endlichem Index.

23.05.2013, 16:35

Guppi12

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Danke ihr beiden. Ich schaue mir das ganze dann nochmal an, sobald ich weiß, was die Operatoren bedeuten bzw. wenn ich Algebra 1-2 Wochen gehört habe.

24.05.2013, 03:46

Algebra!

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Ich wollte grade Antworten, da kamt ihr (Lorek und tmo) mit zuvor...

@Lorek:
Du hast mich also bereits identifiziert ... Big Laugh

Aber die Aufgabe ist nicht aus dem Matheclub.
Du hast recht, kannst du das bitte korrigieren (ich kann es ja nicht, ich bin ja ein Gast).

@tmo, so ist die Aufgabe auch gedacht, für unendliche Gruppen.

Gruß
...

20.08.2013, 08:28

HAL 9000

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Für diejenigen, die sich Aufgabe 11 schon angeschaut haben und sich gefragt haben:

Was soll das ganze? Wie soll ich hier irgendwas rechnen, wenn doch die Funktion so beliebig ist?

Da werden in der Aufgabenstellung eine Menge Nebelkerzen gezündet. Wirklich wesentlich ist eigentlich nur, dass der Wertebereich der Funktion endlich ist, und das ganze Problem letzten Endes weniger analytischer denn kombinatorischer Natur ist. Augenzwinkern

08.09.2013, 07:28

Gualtiero

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Zu Aufgabe 12:

Da ich auf diesem Gebiet der Mathematik überhaupt nicht bewandert bin, lese ich aus den Angaben den mMn entscheidenden Punkt nicht heraus, nämlich, wie man auf 2013 Elemente kommt.

Es gibt acht Primzahlen, die hier als Faktoren in Frage kommen: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 u. 19, und alle Elemente von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ stellen je eine einzigartige Kombination dieser acht Primzahlen (oder auch nur einigen davon) als Faktoren dar.
Durch Multiplikation der acht gesuchten Zahlen (z1 bis z8) ergibt sich ein Produkt aus lauter Primfaktoren. Wenn dieses Produkt die achte Potenz einer natürlichen Zahl sein soll, muss jeder Faktor genau acht Mal vorkommen.

Eine Lösung wäre $\begin{eqnarray*} (2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19)^8 \end{eqnarray*}$ , und das erreiche ich z. B. so:

z1 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 7

z2 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 5 · 7 · 11

z3 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 7 · 11 · 11

usw. . . . aber das kommt mir doch zu einfach vor. Vor allem habe ich keinen Zusammenhang mit der Zahl 2013. verwirrt

Bin echt gespannt auf die Lösung.

10.09.2013, 21:26

Gast!

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Hallo

Ich habe mir die Aufgabe mal betrachtet und habe folgende Vermutung

Gualtiero kann nicht begründen, daß seine Zahlen in der Menge enthalten sind

Ist die Menge aber groß genug und das ist wohl bei 2013 so

dann müssen zwingend 8 Zahlen vorhanden sein

Viele Grüße

11.09.2013, 06:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast!
Gualtiero kann nicht begründen, daß seine Zahlen in der Menge enthalten sind

Das ist der springende Punkt: Wenn man die Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selbst wählen könnte, wäre man bequem und schnell mit $\begin{eqnarray*} M = \left\{ 2^0, 2^1, \ldots, 2^{2012} \right\} \end{eqnarray*}$ fertig. Big Laugh

Zitat:

Original von Gast!
Ist die Menge aber groß genug und das ist wohl bei 2013 so

dann müssen zwingend 8 Zahlen vorhanden sein

Das ist in Kürze formuliert das, was zu zeigen ist.

Vielleicht sollte man sich erst einer "kleineren" Aufgabe widmen, die (wie sich herausstellt) aber ein wichtiger Baustein zur Gesamtlösung ist:

1.Gibt es in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Zahlen, deren Produkt eine Quadratzahl ist?

2.Die Antwort auf 1. ist ja, aber braucht man dazu wirklich 2013 Zahlen, geht es auch mit weniger? Und falls ja, wieviele braucht man dazu mindestens?

Zitat:

Original von Gualtiero
Wenn dieses Produkt die achte Potenz einer natürlichen Zahl sein soll, muss jeder Faktor genau acht Mal vorkommen.

Nein, nicht notwendig genau achtmal, sondern nur in einer durch 8 teilbaren Anzahl.

Ich habe den Eindruck, du hast das mit den Primfaktoren missverstanden: Es ist keine Rede davon, dass jeder Primfaktor höchstens einmal in einer Zahl aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ vorkommen darf, es sind durchaus auch Primfaktorpotenzen von 2,3,...,19 höheren Grades zugelassen. Sie müssen sogar zugelassen sein, denn sonst bekommt man gar nicht 2013 verschiedene solche Zahlen zustande. Augenzwinkern

12.09.2013, 17:04

Gualtiero

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Danke für die erklärenden Hinweise und Fragen. Die muss ich aber erst mal genauer überdenken. Wink

12.09.2013, 18:00

HAL 9000

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Ich lass mal noch das Stichwort "Schubfachprinzip" fallen. Augenzwinkern

18.09.2013, 16:12

Guppi12

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Möchte noch jemand knobeln oder eher nicht?
Insbesondere Gualtiero schien ja interessiert.

Ich habe nämlich heute Mittag endlich eine schöne Aufgabe zum weitermachen gefunden und würde dann mal meine Lösung posten. Ich möchte aber niemandem den Spaß verderben.

18.09.2013, 19:27

Gualtiero

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@Guppi12, danke für die Rücksichtnahme.
Ich bin zwar noch immer interessiert, muss aber gleichzeitig einsehen, dass ich die Aufgabe mit eigenem Wissen niemals lösen könnte, und bis zur Lösung "heranzudiskutieren" ist nicht mein Ding.

Daher möge sich jeder/jede frei fühlen, den Thread weiterzutreiben; ich profitiere so und so. Wink

18.09.2013, 20:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
Ich habe nämlich heute Mittag endlich eine schöne Aufgabe zum weitermachen gefunden und würde dann mal meine Lösung posten. Ich möchte aber niemandem den Spaß verderben.

Na so viele werden es nicht sein, die da dran arbeiten - also dann mal los, Gualtiero ist interessiert an der Lösung. Und ich auch, ob sie sich von meiner unterscheidet. smile

18.09.2013, 21:57

Guppi12

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Mir ist gerade beim Abtippen aufgefallen, dass ich leider einen ziemlich schwerwiegenden Fehler im Beweis habe, der sich auch nicht beheben lässt.

Ist mir zwar etwas peinlich, aber zu Fehlern muss man stehen, ich ziehe meine Beweisankündigung damit vorerst zurück.

19.09.2013, 08:04

HAL 9000

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Wie sieht es denn mit diesem oben erwähnten ersten Teilschritt aus:

Zitat:

Original von HAL 9000
1.Gibt es in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zwei verschiedene Zahlen, deren Produkt eine Quadratzahl ist?

Kann natürlich sein, dass deine Lösungsidee ganz anders aufgebaut ist - würde mich schon interessieren, selbst wenn es ein Fehlschlag ist. Ist ja hier der Diskussionsthread, da kann ein bisschen Brainstorming auch ohne vollständig exakte Lösungen nicht schaden - und peinlich muss einem hier nichts sein. Augenzwinkern

19.09.2013, 11:27

Guppi12

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Das ist ja noch relativ einfach eigentlich.
Man braucht dafür mindestens 257 Zahlen.

Allerdings sehe ich im Moment noch nicht, wie ich damit das Argument auf 8 Zahlen ausweiten kann. Genau das selbe Argument würde ja 8^8+1 Zahlen benötigen Big Laugh

Es muss also anders gehen. Genau da lag aber der Fehler in meiner ersten Lösung. Ich hatte irgendwie gedacht, es würde genügen, 7*256+1 Zahlen zu betrachten. Das Argument, was ich dafür nutzte, war aber bei näherer Betrachtung totaler Quatsch.

19.09.2013, 11:38

HAL 9000

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OK, dann gebe ich mal noch einen kleinen Anstoß:

Ich bezeichne eine positive ganze Zahl als gut, wennn sie nur Primfaktoren <20 besitzt.

Wegen $\begin{eqnarray*} 2013\geq 257 \end{eqnarray*}$ findet man also zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a_1,b_1 \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_1b_1=c_1^2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt entfernen wir $\begin{eqnarray*} a_1,b_1 \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ und finden wegen $\begin{eqnarray*} 2011\geq 257 \end{eqnarray*}$ wiederum zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} a_2,b_2 \end{eqnarray*}$ in der Restmenge mit $\begin{eqnarray*} a_2b_2=c_2^2 \end{eqnarray*}$ , ...

Auf diese Weise kommen wir zu guten Zahlen $\begin{eqnarray*} c_1,c_2, \end{eqnarray*}$ ... (abzählen, wie viele das sind), auf die man wiederum ... Augenzwinkern

Zitat:

Original von Guppi12
Genau das selbe Argument würde ja 8^8+1 Zahlen benötigen

Die Analogie ist mir nicht ganz schlüssig: Bei den Quadraten nutzt man ja die $\begin{eqnarray*} 2^8 = 256 \end{eqnarray*}$ Schubfächer (0,0,0,0,0,0,0,0) bis (1,1,1,1,1,1,1,1) hinsichtlich der 8 Exponenten modulo 2 in der Primfaktorzerlegung der guten Zahlen aus M.

Wie baust du daraus jetzt etwas für $\begin{eqnarray*} 8^8+1= 2^{24}+1 \end{eqnarray*}$ Zahlen und die achte Potenz? verwirrt

19.09.2013, 12:25

Guppi12

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Damit scheint die Lösung nah(nur ein Eindruck, habe grad nichts zum Schreiben) Augenzwinkern

danke für den Tipp. Werde mich ran setzen, wenn ich zu Hause bin.

19.09.2013, 17:46

HAL 9000

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Die Lösung ist richtig, ich möchte aber noch auf eine "kleines" Notationsproblem aufmerksam machen: Die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ sind nicht notwendig verschieden, so dass man ab der zweiten Argumentationsstufe streng genommen nicht mehr von einer Menge von 878 bzw. später 310 guten Zahlen sprechen darf, sondern nur von einer Folge. Man findet in dem Sinne laut Schubfachprinzip dann nicht notwendig verschiedene Zahlen $\begin{eqnarray*} a_i,a_j \end{eqnarray*}$ , sondern lediglich verschiedene Indizes $\begin{eqnarray*} i,j \end{eqnarray*}$ mit zugehöriger Quadratzahl $\begin{eqnarray*} \sqrt{a_ia_j} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

19.09.2013, 17:51

Guppi12

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Ah, in der Tat. Das hatte ich nicht bedacht.

19.09.2013, 17:53

HAL 9000

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Naja, es reißt keine wirkliche Lücke in die Argumentation - eben wie gesagt eher ein Notationsproblem. Aber es ist gut, wenn man sich der Problematik bewusst ist.

19.09.2013, 18:08

Guppi12

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Ich habe mal ein paar Worte ausgetauscht. Nun sollte es passen.

19.09.2013, 19:34

HAL 9000

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Schöne Aufgabe, die 13. Habe ich zum ersten Mal vor ca. 30 Jahren gesehen, allerdings mit anderen Zahlenwerten und in anderem Kontext. Den werde ich aber nicht verraten, sonst googelt noch jemand danach. Big Laugh

19.09.2013, 19:50

jemand anders

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Hallo

Ich hab schon was
31,95s

19.09.2013, 19:57

Guppi12

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Das ging ja flott smile

Dann schreib mal deine Lösung auf Augenzwinkern

Oder wolltest du noch andere knobeln lassen?

19.09.2013, 20:05

jemand anders

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Meine Lösung ist ein Small-Basic Programm Augenzwinkern

Ich wollte nur einmal schneller sein als HAL und das habe ich geschafft

19.09.2013, 20:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von jemand anders
Ich wollte nur einmal schneller sein als HAL

Nun, wenn ich hätte lösen wollen, dann hätte ich das sofort getan, statt obigen Kommentar zu posten. Augenzwinkern

Hast also genügend Zeit, die DGL auch exakt zu lösen.

19.09.2013, 20:14

Guppi12

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Ich habe mir übrigens eine Lösung überlegt, die mit Schulmathematik auskommt Augenzwinkern

Aber natürlich kann das jeder lösen, wie er will.

19.09.2013, 20:32

jemand anders

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Hier mal mein Programm
Wird wahrscheinlich nicht als Lösung anerkannt
Aber wenigstens ein Anfang

1 x=0
2 s=100
3 t=0
4 dt=0.001
5 Start:
6 v=10+20x/(100+20t)
7 x=x+v*dt
8 s=s+20*dt
9 if x>s then
10 goto res
11 endif
12 t=t+dt
13 goto Start
14 res:
15 textwindow.writeline(x)
16 textwindow.writeline(t)

20.09.2013, 08:57

HAL 9000

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Da die Sache ja nun gelöst ist: Es haben sich auch schon mehrere Threads hier im Board mit dem Thema befasst, meist mit dem Stichwort "Gummiband" verbunden, u.a.

Käfer auf Gummiband

Schnecke auf Gummiband

20.09.2013, 09:27

Che Netzer

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Und ganz allgemein: Wenn Romeo mit einer Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_R \end{eqnarray*}$ rennt, die Halle anfangs eine Länge $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ hat und mit einer Geschwindigkeit von $\begin{eqnarray*} v_H \end{eqnarray*}$ auseinandergezogen wird, erreicht Romeo das andere Ende der Halle zur Zeit
$\begin{eqnarray*} t_0=\frac L{v_H}\left(\mathrm e^{\frac{v_R}{v_H}}-1\right)\,. \end{eqnarray*}$
Insbesondere ist diese Zeit immer endlich.
Auch wenn Romeo mit einem halben Meter pro Sekunde spaziert und die anfangs zehn Kilometer lange Halle mit Schallgeschwindigkeit (hier mal $\begin{eqnarray*} 343 \end{eqnarray*}$ Meter pro Sekunde) auseinandergezogen wird, kommt er irgendwann an. Dauert halt nur etwa $\begin{eqnarray*} 7,8\cdot10^{285} \end{eqnarray*}$ Jahrmillionen.

Wenn ich nichts besseres zu tun habe, kann ich demnächst ja vergleichsweise den Erwartungswert für die Zeit ausrechnen, die einer dieser unsterblichen Affen braucht, um den Bibeltext zu schreiben.

Edit: Und wenn ich noch weniger zu tun habe, könnte ich den Fall von sehr hohem $\begin{eqnarray*} v_H \end{eqnarray*}$ relativistisch durchrechnen Big Laugh

20.09.2013, 11:40

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Che Netzer
Und wenn ich noch weniger zu tun habe, könnte ich den Fall von sehr hohem $\begin{eqnarray*} v_H \end{eqnarray*}$ relativistisch durchrechnen Big Laugh

Da bin ich ja mal gespannt Big Laugh

. Wenn die Eigenzeit der Umgebung genommen wird, welcher Punkt des Gummibandes hat zu welchem Zeitpunkt welche Position? Die Beschleunigungsphase muss dabei wohl berücksichtigt werden, egal wie kurz die ist, da die Information über das Auseinanderziehen sich nur maximal mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten kann.

20.09.2013, 14:19

Guppi12

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Da ich bei Lösungen dieser Aufgabe relativ oft den Gebrauch von DGL's sehe, hier mal die Alternative:

Wenn ich mal die Notation von Che Netzer übernehme, kann man das ganze auch als Lösung der Gleichung

$\begin{eqnarray*} 1 = \int_0^x \frac{v_R}{L+tv_H}\mathrm{d}t \end{eqnarray*}$

in $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sehen, ohne dafür DGL's zu benutzen. Man muss dafür dann nur die Geschwindigkeit von Romeo von "Meter pro Sekunde" in "Anteil des Raums pro Sekunde" umrechnen.

Edit: Wer möchte denn nun weitermachen?

"jemand anders" oder jemand anderes ? Big Laugh

20.09.2013, 15:10

HAL 9000

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Zitat:

Original von Guppi12
ohne dafür DGL's zu benutzen.

Nun ja, auch $\begin{eqnarray*} \dot{y} = g(t) \end{eqnarray*}$ ist eine DGL, wenn auch eine sehr einfache, die durch sofortige Integration gelöst werden kann. Und genau eine solch einfache entsteht, wenn man hier von vornherein die relative Position auf dem Band als Zielfunktion betrachtet. Mit der absoluten Position wäre es dann eine "echte" DGL, die aber auch z.B. mit Variation der Konstanten in diese andere einfache DGL für die relative Position überführt wird. Augenzwinkern

20.09.2013, 15:10

Che Netzer

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@RavenOnJ: Ich hatte mich als erstes gefragt, wie denn die Ausdehnung mit Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} v_H \end{eqnarray*}$ zu verstehen wäre bzw. die man die Längenkontraktion berücksichtigt.
Glücklicherweise habe ich gerade relativ (!) viel zu tun smile

20.09.2013, 15:13

jemand anders

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Ich hab eine tolle Idee für eine Aufgabe
da schwimmt ein Mädchen in einem runden See smile

oder als Alternative eine Würfelaufgabe

Noch 2 Fragen zum Nachdenken
Wie lange dauert die Sache in Aufgabe 13 wenn Julia losrennt und Romeo wartet? Augenzwinkern

Und wie lange dauert es bis zum Treffen wenn beide losrennen?
jeweils 10m/s

20.09.2013, 15:14

RavenOnJ

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Zitat:

Original von jemand anders
Ich hab eine tolle Idee für eine Aufgabe
da schwimmt ein Mädchen in einem runden See smile

oder als Alternative eine Würfelaufgabe

Noch 2 Fragen zum Nachdenken
Wie lange dauert die Sache in Aufgabe 13 wenn Julia losrennt und Romeo wartet? Augenzwinkern

Und wie lange dauert es bis zum Treffen wenn beide losrennen?
jeweils 10m/s

Sehr schön, wie du dich selber disqualifizierst.

21.09.2013, 07:51

jemand anders

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Zitat:

Original von RavenOnJ
Sehr schön, wie du dich selber disqualifizierst.

Was ist der genaue Grund für diese Attacke?
Wenn dich etwas stört oder nervt immer raus damit; ich bin lernfähig (hoffe ich),
aber ich möchte dich an das wichtigste Boardprinzip erinnern. Nämlich ein freundlicher Umgangston

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