Diskussionen zum Übergangsmarathon - Seite 3

08.10.2013, 20:46

Fragen über Fragen

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Soll ich zur Aufgabe 14 einen Tipp geben?

Ich möchte schon mal verraten, dass man sich zunächst auf (i) konzentrieren sollte, denn (ii) kann man erst gewinnbringend benutzen, nachdem man aus (i) einige Eigenschaften der Funktion f hergeleitet hat.

08.10.2013, 21:03

RavenOnJ

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@F ü F
Nicht so fix mit den Tipps, es sind doch erst drei Tage vergangen Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.10.2013, 02:29

Guppi12

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Ich fand bei der Lösung der Aufgabe interessant, was wohl passieren würde, wenn man Bedingung (ii) weglässt. Ich habe hier ein paar Sachen zusammengetragen, aber bei weitem nicht alles. Ich würde mich freuen, wenn andere Interessierte sich an einer Diskussion beteiligen würden smile

smile

Was mir sonst noch so zur Aufgabe eingefallen ist(ich verwende hier, was ich in dem Hauptthread schon aufgeschrieben habe):

Mit $\begin{eqnarray*} f(1) = 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(1\cdot f(x)) = x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ . $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist also selbstinvers.

Damit folgt $\begin{eqnarray*} f(x^n) = f(xf(f(x^{n-1}))) = f(x)f(x^{n-1}) \end{eqnarray*}$ . Somit folgt induktiv $\begin{eqnarray*} f(x^n) = f(x)^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .
Damit bekommen wir für $\begin{eqnarray*} p,q\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(x^{\frac{p}{q}})^q = f(x^p) = f(x)^p \end{eqnarray*}$ . Ziehen der q. Wurzel liefert $\begin{eqnarray*} f(x^{\frac{p}{q}}) = f(x)^\frac{p}{q} \end{eqnarray*}$ . Damit gilt dann sogar $\begin{eqnarray*} f(x^r) = f(x)^r \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0,\infty), r\in\mathbb{Q}_{>0} \end{eqnarray*}$

Kommen wir nun zum Interessanten(ja, ich weiß, Ansichtssache Big Laugh

Big Laugh

):
Was passiert, wenn man Eigenschaft (ii) fallen lässt?

Wir müssen dann unterscheiden, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen Fixpunkt hat oder mehr als einen. Gibt es nur einen, so ist das Ergebnis natürlich klar. Was passiert also, wenn es mehr als einen Fixpunkt gibt?
Es sei für die weitere Beschäftigung $\begin{eqnarray*} c\neq 1 \end{eqnarray*}$ ein weiterer Fixpunkt.

Fordern wir zum Beispiel zusätzlich Stetigkeit für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , so bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} f={id}_{(0,\infty)} \end{eqnarray*}$ über, da wir zu $\begin{eqnarray*} x\in(0,\infty) \end{eqnarray*}$ eine Folge $\begin{eqnarray*} (r_n)_{n\in\mathbb{N}} \end{eqnarray*}$ rationaler Zahlen finden, sodass $\begin{eqnarray*} c^{r_n}\to x \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} f(x) = f(\lim_{n\to\infty}c^{r_n}) = \lim_{n\to\infty}f(c)^{r_n} = \lim_{n\to\infty}c^{r_n} = x \end{eqnarray*}$ .

Betrachten wir also im Folgenden insbesondere nicht stetige Funktionen.

Definieren wir uns dazu zunächst mal eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Sei sei $\begin{eqnarray*} x\sim y \Leftrightarrow \exists r\in\mathbb{Q}_{>0}~x^r = y \end{eqnarray*}$ .

Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf jeder $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ Äquivalenzklasse bereits durch einen einzigen Vertreter eindeutig bestimmt ist. Es gilt also für jeden von $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ verschiedenen Fixpunkt $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f|_{[c]_{\sim}} = id_{[c]_{\sim}} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun eine beliebige Äquivalenzklasse $\begin{eqnarray*} [c]_{\sim} \end{eqnarray*}$ gegeben. Ist $\begin{eqnarray*} f(c) \in [c]_{\sim} \end{eqnarray*}$ , so gibt es $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb{Q}_{>0} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(c) = c^q \end{eqnarray*}$ . Es folgt (da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ selbstinvers) $\begin{eqnarray*} c = f(c^q) = f(c)^q = c^{q^2} \end{eqnarray*}$ . Daraus folgt $\begin{eqnarray*} q = 1 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} [c]_{\sim} \end{eqnarray*}$ also eine jener Klassen, die nur Fixpunkte enthält.
Ist $\begin{eqnarray*} f(c) = d \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} c\not\sim d \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} c = f(d) \end{eqnarray*}$ . Also sind die Bilder der Äquivalenzklasse von $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ damit bereits ebenfalls bestimmt. Es gibt also immer Paare von Äquivalenzklassen, die sich dadurch auszeichnen, dass $\begin{eqnarray*} f([c]_{\sim}) = [d]_{\sim} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f([d]_{\sim}) = [c]_{\sim} \end{eqnarray*}$

Mir ist noch etwas mehr eingefallen. Das fängt dann aber an, wirklich unschön zu werden.
Wie seht ihr das, gibt es eine (zumindest einigermaßen) schöne Charakterisierung von Funktionen, die (ii) nicht erfüllen oder wird es einfach unschön? Könnte es zum Beispiel sein, dass man schlussendlich doch so viele Restriktionen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bekommt, dass es nur noch die Identität sein kann?

Lg Guppi

09.10.2013, 11:50

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Deine Lösung ist korrekt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja, man kann noch ein paar Eigenschaften von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ aus (i) ableiten, du hast ja statt $\begin{eqnarray*} f(x^n)=f(x)^n \end{eqnarray*}$ in deiner Lösung eine schwächere Variante verwendet:

Zitat:

Damit haben wir nach Division durch $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} f(x^2) = f(x)^2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ . Induktiv folgt dann

$\begin{eqnarray*} 2)~~f(x^{2n}) = f(x)^{2n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x\in (0, \infty) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Aus der ersten Gleichung hätte ich eher $\begin{eqnarray*} f(x^{2^n}) = f(x)^{2^n} \end{eqnarray*}$ induktiv gefolgert, d.h. ich weiß nicht, wie du hier die Induktion gemacht hast, was aber nicht schlimm ist, da du ja sowieso schon die stärkere Eigenschaft gezeigt hast.

Wenn man verwendet, dass f selbstinvers ist, kriegt man aus (i) auch

$\begin{eqnarray*} (*)~~f(xy)=f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y>0 \end{eqnarray*}$

Dies ist eine Cauchy-Funktionalgleichung, zur Info finde ich dieses Skript gut: die letzten Seiten (ab Seite 16) beschäftigen sich (grob) damit: http://www.imosuisse.ch/skripte/algebra/...gleichungen.pdf

Die "gutartigen" Lösungen von $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sind die Funktionen $\begin{eqnarray*} f(x)=x^a \end{eqnarray*}$ mit einer reellen Konstante $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .
Wenn du für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen weiteren, von 1 verschiedenen Fixpunkt forderst, kommt von diesen gutartigen Lösungen von (*) nur die Identität in Frage.

Alle weiteren Lösungen von (i) können also nur noch nicht gutartige Lösungen von $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ sein, aber wie man die genau behandelt, also wie genau (i) die Menge der nicht gutartigen Lösungen von $\begin{eqnarray*} (*) \end{eqnarray*}$ einschränkt, weiß ich nicht.

09.10.2013, 12:36

Guppi12

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Du hast Recht, ich habe mich mit dem $\begin{eqnarray*} 2n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ in der Lösung vertan. Ändert ja zum Glück nichts an der bestimmten Divergenz smile

smile

Zitat:

Wenn man verwendet, dass f selbstinvers ist, kriegt man aus (i) auch

$\begin{eqnarray*} (*)~~f(xy)=f(x)f(y) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y>0 \end{eqnarray*}$

Stimmt, darüber war ich irgendwie noch nicht gestolpert.

Zitat:

Wenn du für $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ einen weiteren, von 1 verschiedenen Fixpunkt forderst, kommt von diesen gutartigen Lösungen von (*) nur die Identität in Frage.

Ja, das hatte ich ja auch rausgefunden. Ich glaube inzwischen auch, dass die Charakterisierung der nicht stetigen Funktionen, die (i) erfüllen wirklich nicht besonders schön ist. Ich dachte, man kann da vielleicht was machen wegen der ansich doch recht starken Eigenschaft $\begin{eqnarray*} f(x^r)=f(x)^r \end{eqnarray*}$ für rationale Zahlen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

Habe aber jetzt mit deinem Stichwort der Cauchy-Funktionalgleichung mal ein bisschen bei Google gesucht und auf den ersten Blick nur die Behandlung der stetigen Lösungen gefunden. Dann scheinen die unstetigen wirklich unschön zu sein.

09.10.2013, 13:01

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Ja, in dem Link wird bewiesen, dass der Graph jeder unstetigen Lösungsfunktion dieser Cauchy-Fktnlgl. dicht im $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{>0}^2 \end{eqnarray*}$ liegt, schön ist anders Big Laugh

Big Laugh

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08.11.2013, 13:04

RavenOnJ

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@Iorek
Ist 15 nicht ein bisschen einfach, mal im Vergleich zu der IMO-Aufgabe 14? Oder fandest du die zu schwierig?

08.11.2013, 13:31

Iorek

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Ob die Aufgabe einfach ist hängt von dem ab, der sich mit der Aufgabe beschäftigt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich finde die Aufgabe einfach, ich kann dir aber mehrere Erstsemester nennen, die das nicht so sehen. Für den großen Marathon wäre die Aufgabe natürlich zu leicht, für den Übergangsmarathon passt das mMn aber ganz gut. Die Resonanz zu den anderen "schweren" Aufgaben war ja bisher nicht so groß, vielleicht bringt eine leichtere Aufgabe wieder etwas mehr Leben in den Marathon.

08.11.2013, 17:44

RavenOnJ

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@Iorek
Die 14 hätte meiner Meinung nach auch eher in den Marathon gepasst.

18.11.2013, 10:32

Iorek

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@DrummerS,

ich würde dir zunächst einmal etliche Punkte für Formalitäten und Ungenauigkeiten abziehen. Es ist nirgendwo gesagt, dass ein minimales Element $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ existiert, deine Sortierung könnte man auch dahingehend lesen, dass du die Menge als abzählbar annimmst.

Und die Begründung für $\begin{eqnarray*} x<x_n \end{eqnarray*}$ sehe ich nicht. Zunächst: was soll $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sein? Der Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ ? Falls dem so ist, ist $\begin{eqnarray*} x<x_n \end{eqnarray*}$ und damit $\begin{eqnarray*} \operatorname{sup}(M)<x_n \end{eqnarray*}$ natürlich falsch; damit wäre das nämlich auch keine Folge in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ . Und wieso daraus direkt schon $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} x_n=C \end{eqnarray*}$ folgen soll, ist auch nicht klar.

18.11.2013, 15:06

Iorek

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Ich glaube, deine Lösung muss ich nicht mehr bestätigen, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von RavenOnJ
Anmerkung: Dass die Folgen streng monoton sind, ist eigentlich unerheblich. Einfache Monotonie reicht schon für den Beweis.

Ich hätte sogar noch nichtmal eine monotone Folge gefordert bzw. konstruiert sondern ganz elementar zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ gefunden...mit der Monotonie ist das natürlich eine schöne Variante. Augenzwinkern

Augenzwinkern

18.11.2013, 15:31

RavenOnJ

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@Iorek
Ja klar, es reicht zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n) \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist. Ich fand den Beweis mit der Monotonie aber einleuchtender. Wink

Wink

18.11.2013, 18:35

DrummerS

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@ Iorek

Alles klar. Ich habe da wohl etwas einfach gedacht und halte mich nun zurück. Kann ein Moderator bitte meinen letzten Post mit der neugestellten Aufgabe im Thread "Übergangsmarathon" entfernen?

Danke & Gruß

18.11.2013, 19:15

RavenOnJ

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Zitat:

Original von DrummerS
Kann ein Moderator bitte meinen letzten Post mit der neugestellten Aufgabe im Thread "Übergangsmarathon" entfernen?

Warum? Gibt es doch keinen Grund für. Ich hätte sowieso jemand anderen gebeten, eine Aufgabe zu stellen.

18.11.2013, 19:38

DrummerS

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@ RavenOnJ

Ok. In diesem Fall nehme ich die Frage zur Löschung des gemeinten Posts zurück smile

smile

.

24.02.2014, 08:36

kgV

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Darf gefragt werden, was mit $\begin{eqnarray*} M_n(K) \end{eqnarray*}$ gemeint ist? Einfach die Menge aller $\begin{eqnarray*} n\times n \end{eqnarray*}$ -Matrizen über K? (die ich btw. in der Notation $\begin{eqnarray*} K^{n\times n} \end{eqnarray*}$ kennengelernt habe)

24.02.2014, 10:42

Louis1991

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Genau die. Ich werde eben spezifizieren.

01.08.2014, 13:41

HAL 9000

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@Guppi12

Schöne Aufgabe, die 17. Hat mir auch immer gut gefallen, dieser Zugang zum W***ISschen Produkt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2014, 16:49

Guppi12

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@Hal, ja finde ich auch.

Mal so die Frage in die Runde:

Beschäftigt sich jemand mit der Aufgabe oder kam das bei jedem schon in der Übung / Vorlesung dran?

Falls das allen Studenten schon bekannt ist, hier ein Aufruf an die Schüler: Solange man etwas über Grenzwerte Bescheid weiß, ist die Aufgabe gut mit Schulmitteln lösbar, also ran an den Speck Augenzwinkern

Augenzwinkern

02.08.2014, 16:52

Gast11022013

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Die Aufgabe sollte wohl den meisten, die das erste Semester absolviert haben, bekannt sein.

03.08.2014, 10:28

pz

Auf diesen Beitrag antworten »

Um ehrlich zu sein, ich habe keine Ahnung davon, aber ich poste mal meine Rechnung (ist ja dafür da dieser Thread) smile

smile

$\begin{eqnarray*} I_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x)^n \mathrm{dx} \end{eqnarray*}$ Nun wende ich die Potenzregel an (Darf ich das bei sinus überhaupt??)

$\begin{eqnarray*} I_n = \left[ \frac{(\sin x)^{n+1}}{n+1} \right]^{\frac{\pi}{2}}_{0}=\frac{(\sin x)^{\frac{\pi}{2}}}{\frac{\pi}{2} +1} - \sin x=\frac{2 \cdot (\sin x)^{\frac{\pi}{2}}}{\pi+2} - \sin x \end{eqnarray*}$

Bevor ich weitermache warte ich erstmal lieber. Augenzwinkern

Augenzwinkern

ist das richtig so?

03.08.2014, 10:41

Che Netzer

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Zitat:

Original von pz
Darf ich das bei sinus überhaupt??

Nein, du könntest mal probeweise ableiten (beachte die Kettenregel). Auch ist eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} \sin x=(\sin x)^1 \end{eqnarray*}$ ja durch $\begin{eqnarray*} -\cos x \end{eqnarray*}$ gegeben; nicht durch $\begin{eqnarray*} \frac12(\sin x)^2 \end{eqnarray*}$ .

Beim Einsetzen der Grenzen ging übrigens noch etwas schief.

03.08.2014, 11:28

pz

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Ich habs mal mit partieller Integration probiert, rausgekommen ist: $\begin{eqnarray*} \frac{-\sin x\cdot\cos x+x}{n} \end{eqnarray*}$ Ist das richtig?

Jop, Grenzen waren falsch Freude

Freude

, habs faksch abgeschrieben.

03.08.2014, 11:31

Guppi12

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Hallo pz,

nein leider nicht, aber partielle Integration ist schonmal eine gute Idee Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schön, dass du dich mit der Aufgabe beschäftigst Freude

Freude

05.08.2014, 07:41

Guppi12

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Ich würde sonst demnächst mal auflösen, um eine Stagnation wie letztes mal zu vermeiden.

Es scheint mir so, dass jeder, der die Aufgabe lösen kann, das Ergebnis bereits kennt und deswegen nichts posten möchte (was ich selbst in diesem Fall auch so machen würde).

Wenn es also keine Einwände gibt, werde ich gegen Ende der Woche eine neue Aufgabe posten.

05.08.2014, 08:05

Louis1991

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Ich hätte da viel eher Lust auf den Uni-Marathon, wo es auch noch eine offene Aufgabe gibt. Sobald die gelöst ist, beteilige ich mich auch gerne an den folgenden Aufgaben (solange es nicht wieder bäh-Analysis ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

)

05.08.2014, 11:21

Guppi12

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Zitat:

solange es nicht wieder bäh-Analysis ist Augenzwinkern

Damit es mal etwas Abwechslung gibt, kann nach Auflösung auch gerne jemand anderes eine Aufgabe stellen, von mir gäbe es nämlich sonst wieder Analysis.

Was den Hochschulthread betrifft: warum postet da eigentlich keiner die Lösung? Ich habe zwar auch keine Lust, mich mit der Aufgabe zu beschäftigen (bäh-Algebra Big Laugh

Big Laugh

) aber da gibt es doch genug Leute hier verwirrt

verwirrt

07.08.2014, 17:40

Guppi12

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Ich werde mal auflösen. Danach werde ich einen Tag nichts posten, damit andere können, wenn sie wollen.

Wenn bis morgen Abend nichts da ist, gibts wieder was von mir smile

smile

10.08.2014, 19:55

Guppi12

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Hallo Jayk,

schön, dass du dich mit der Aufgabe befasst hast. Ich habe noch eine Frage:

In der letzten Abschätzung, wie bekommst du da $\begin{eqnarray*} |f_n(x)-f_n(x_{k,j})| \end{eqnarray*}$ abgeschätzt ? Übersehe ich das gerade?

Und es hat sich ein Schreibfehler eingeschlichen, du meinst sicher $\begin{eqnarray*} x_{k, i} := \inf f^{-1} ([f(a)+i \delta / k, f(a) + (i+1) \delta / k]) \end{eqnarray*}$ oder ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.08.2014, 15:32

Jayk

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo.

smile

Ja, da ist wohl Einiges schief gegangen... Wenn alle Diskussionen beendet sind, schreibe ich das nochmal richtig auf.
Die Intention bei den Kontrollpunkten hast du richtig erfasst. Aufgrund der Stetigkeit und Monotonie von f würde ich aber dann folgende natürlichere Schreibweise bevorzugen: $\begin{eqnarray*} x_{k, i} := \inf f^{-1} ( \lbrace f(a) + i \delta / k \rbrace ) \end{eqnarray*}$ . Ist zwar das selbe, aber naja...

Die Abschätzung ist irgendwie in die Hose gegangen. Zwar kann man den von dir angesprochenen Term wegen der Monotonie der fn gegen $\begin{eqnarray*} 3 \delta / k \end{eqnarray*}$ abschätzen und erhielte dann insgesamt eine Abschätzung gegen $\begin{eqnarray*} 5 \delta / k \end{eqnarray*}$ (was ja immer noch ausreicht), aber das ist vielleicht ein bisschen zu brutal. Das geht eindeutig besser. Ich führe sie mal vor für den Fall $\begin{eqnarray*} x \in [a=x_{k, 0}, x_{k,1}] \end{eqnarray*}$ . Die anderen sind völlig analog, aber ich will verhindern, dass wieder bei der Schreibweise etwas schief geht (z.B. +/- 1 bei i). Es ist $\begin{eqnarray*} f(x) \in [f(a), f(a) + \delta / k] \end{eqnarray*}$ (wegen der Monotonie und der Definition des darauffolgenden Kontrollpunkts) und $\begin{eqnarray*} f_n (x) \in [f(a) - \delta / k, (f(a) + \delta / k) + \delta / k ] \end{eqnarray*}$ . Jetzt unterscheidet man die Fälle, in welchem Drittel des Intervalls sich fn(x) befindet, und erhält in zwei Fällen die Abschätzung $\begin{eqnarray*} \vert f(x) - f_n (x) \vert \leq 2 \delta / k \end{eqnarray*}$ (und im dritten die gegen delta/k). Rein anschaulich ist das, glaube ich, auch die beste Abschätzung, die man kriegen kann.

So weit einverstanden?

11.08.2014, 15:44

Guppi12

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Zitat:

So weit einverstanden?

Ja, bestens smile

smile

Mit dieser Korrektur bin ich mit deiner Lösung dann einverstanden und freue mich auf die nächste Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.08.2014, 08:36

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Jayk

Aufgrund der Stetigkeit und Monotonie von f würde ich aber dann folgende natürlichere Schreibweise bevorzugen: $\begin{eqnarray*} x_{k, i} := \inf f^{-1} ( \lbrace f(a) + i \delta / k \rbrace ) \end{eqnarray*}$ . Ist zwar das selbe, aber naja...

Du hast in deiner Lösung allerdings wieder $\begin{eqnarray*} x_{k, i} := \inf f^{-1} (\lbrace a+i \delta / k \rbrace ) \end{eqnarray*}$ geschrieben. Es muss $\begin{eqnarray*} f(a) \end{eqnarray*}$ , nicht $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ heißen.

Außerdem vergisst du am Anfang zu schreiben, dass $\begin{eqnarray*} x_1 < x_2 \end{eqnarray*}$ gelten muss. Für allgemeine Paare $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \in [a,b] \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} f(x_2) - f(x_1) = \lim_{n \to \infty} f_n (x_2) - \lim_{n \to \infty} f_n (x_1) = \lim_{n \to \infty} (f_n (x_2) - f_n (x_1)) \geq 0 \end{eqnarray*}$ nämlich nicht.

Des weiteren schreibst du manchmal i und manchmal j, wie in

Zitat:

Original von Jayk
Es ist nämlich für $\begin{eqnarray*} x \in [x_{k, j}, x_{k, j+1}] \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} f(x) \in [f(a)+i \delta / k, f(a) + (i+1) \delta / k] \end{eqnarray*}$

Ich könnte auch noch was zum Stil schreiben, lass das aber jetzt. Wenn's dich interessiert, schreib mir eine PN.

12.08.2014, 11:08

RavenOnJ

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Zitat:

Aufgabe 19
$\begin{eqnarray*} \psi = \phi_{\color{red}3} (v) \circ \phi_2 (T, X) \circ \phi_3 (A) \end{eqnarray*}$
...
$\begin{eqnarray*} \phi_2 (T, X): (t, x) \mapsto (t+T, x+{\color{red}T}) \end{eqnarray*}$
...

Es muss wohl
$\begin{eqnarray*} \psi = \phi_1 (v) \circ \phi_2 (T, X) \circ \phi_3 (A) \end{eqnarray*}$

heißen, sowie
$\begin{eqnarray*} \phi_2 (T, X): (t, x) \mapsto (t+T, x+X) \end{eqnarray*}$ .

12.08.2014, 16:01

Iorek

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Ist das wirklich eine Aufgabe, die den Regeln und dem Gedanken des Übergangsmarathon entspricht? Für einen (interessierten) Schüler scheint mir das deutlich zu hoch zu sein... verwirrt

verwirrt

12.08.2014, 16:27

AbXyGh

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht ist die echt zu schwer. Ich habe die Aufgabe als Abiturient das erste Mal gesehen, sie damals aber als sehr schwer empfunden. An Kenntnissen wird nur LA 1 benötigt. Der Beweis ist technisch (vor allem ist er konstruktiv führbar). Ich hätte als Alternative noch eine Aufgabe, die mit Schulwissen lösbar ist, bei der man aber Intuition braucht: Drücke die Stammfunktion einer Funktion durch ihre Umkehrfunktion und deren Stammfunktion aus.
Ist das besser?

Jayk

12.08.2014, 19:59

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AbXyGh
Vielleicht ist die echt zu schwer. Ich habe die Aufgabe als Abiturient das erste Mal gesehen, sie damals aber als sehr schwer empfunden. An Kenntnissen wird nur LA 1 benötigt.

Du willst aber nicht behaupten, dass solche Aufgaben im Abitur vorkommen. Wenn ja, wo?

12.08.2014, 20:08

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Das wollte er mit Sicherheit nicht sagen, aber der Thread ist ja auch nicht nur für Schüler gedacht, sondern für alle zwischen Schule und 3. Semester. Ob die Aufgabe in diesem Rahmen passt, kann ich nicht beurteilen.

12.08.2014, 20:28

Che Netzer

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von AbXyGh
Drücke die Stammfunktion einer Funktion durch ihre Umkehrfunktion und deren Stammfunktion aus.
Ist das besser?

Und sicher nützlicher (die Idee) und für die meisten auch interessanter.

13.08.2014, 03:19

Jayk

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, dann soll es so sein. Die Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion, $\begin{eqnarray*} (f^{-1})'(x) = 1 / f'(f^{-1}(x)) \end{eqnarray*}$ lernt man zwar nicht in der Schule kennen, aber wahrscheinlich in jedem Vorkurs und in jedem Analysis-Kurs. Die analoge Formel für die Stammfunktion ist mir dagegen noch nie begegnet, ich hatte aber einmal die Idee, wie man sie finden kann, und benutze sie seitdem regelmäßig.

@RavenOnJ: Nein, das wollte ich nicht sagen. Ich wollte ausdrücken, dass die über den Schulstoff hinausgehenden Kenntnisse, die für diese Aufgabe gebraucht werden, vertretbar sind. Jedenfalls so, dass ein interessierter Schüler (als das ich mich zum damaligen Zeitpunkt bezeichnet hätte) über sie verfügen kann. Aufwand und Niveau der Aufgabe sind nur eben etwas höher (selbst auf Uni-Übungszetteln sind ja Existenzbeweise eher die Ausnahme).

Ich formuliere die Aufgabe erstmal hier, dann kann jeder darüber herfallen und die tausend Fehler finden, die sicher noch drin sein werden (empirische Hypothese), dann kommt in den Hauptthread eine (hoffentlich) fehlerfreie Version. Tut mir echt leid, dass da so viele Fehler drin waren.

Zitat:

Vorschlag für Aufgabe $\begin{eqnarray*} 18.5 \pm 0.5 \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R , f: [a,b] \to f([a,b]) \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ bijektiv und differenzierbar, sei $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ die dazugehörige Umkehrfunktion und es gelte stets $\begin{eqnarray*} f'(x) \neq 0 \forall x \in (a, b) \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} G(t) := \int_{f(a)}^t g(\tau )\,\dd\tau\;\forall t \in f([a,b]) \end{eqnarray*}$ . Finde eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} (a, b) \end{eqnarray*}$ durch Komposition von $\begin{eqnarray*} \operatorname{id}, f, g, G \end{eqnarray*}$ (d.h. erlaubt ist Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division und Verketten).

Hinweis zur Lösung: Die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion ist gesichert.

16.08.2014, 21:54

xb

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Ich hab mal versucht die Aufgabe 21 numerisch zu lösen und dabei auch gleich etwas erweitert

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{b^{w(k)}+b^{-w(k)}}{b^k}=\frac{3b-1}{b-1} \ ; \ -1>b>1 \end{eqnarray*}$

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