Differentialquotienten

10.02.2013, 13:56

Lola1234

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Differentialquotienten

Meine Frage:
Ich soll den Differentialquotienten berechnen und mit limes aufschreiben und die Polynomdivision durchführen .

Meine Ideen:
Mir ist nicht klar warum man das macht.
Bei der linearen Funktion kann man ja die Steigung mithilfe einer formel einfach berechnen aber ich weiß nicht wie ich das mit einer anderen funktion mache .
Könnt ihr mir anhand dieses Beispiels das Prinzip verständlich erklären ?
Das wäre nett.

Beispiel : 2 x²

10.02.2013, 14:05

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RE: Differentialquotienten
Dann fang doch am besten damit an, den Differentialquotienten aufzuschreiben.

10.02.2013, 14:06

zyko

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RE: Differentialquotienten
Die Ableitung ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} \frac{d (x^2)}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{2(x+h)^2-x^2}{h} \end{eqnarray*}$ .
Forme den Ausdruck beim Limes um und setze dann h=0.
Was entsteht?

Auch bei anderen Funktionen muss man das so machen.
Bei den meisten Funktionen verwendet man dazu die Taylorentwicklung oder z.B. bei den Winkelfunktionen die Additionstheoreme.

10.02.2013, 14:14

Bjoern1982

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Zitat:

Forme den Ausdruck beim Limes um und setze dann h=0. Was entsteht?

Der Fragesteller wollte bzw sollte was mit Polynomdivison machen, da ist der Ansatz mit dem h eher nicht geeignet.
Wahrscheinlich soll zunächst einmal allgemein ein Differenzenquotient durch zwei Punkte P(x1)|f(x1)) und Q(x2|f(x2)) aufgestellt werden (denn das funktioniert ganz analog zu der vom Fragesteller bereits erwähnten Steigungsformel) und danach geht es dann mit der Polynomdivision weiter (welche hier zwar nicht gerade elegant, aber dennoch möglich ist).

Zitat:

Bei den meisten Funktionen verwendet man dazu die Taylorentwicklung oder z.B. bei den Winkelfunktionen die Additionstheoreme.

Bedenke wir sind hier in der Schulmathematik und insbesondere bei jemandem, der sich hier offenbar zum ersten Mal an sowas ranwagt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.02.2013, 14:14

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RE: Differentialquotienten
@zyko: wenn du den Zähler noch korrigieren könntest...

10.02.2013, 14:16

Lola1234

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RE: Differentialquotienten
Der Differentiaquotient lautet :

$\begin{eqnarray*} \lim_{a \to b} x \end{eqnarray*}$

f (x) - f(x_0) geteilt durch x-x_0

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10.02.2013, 14:18

Lola1234

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Genau das meine ich Björn .
Wir haben gerade erst mit dem Thema angefangen und ich weiß nur die Rechenschritte aber nicht wie ich das anwende bei einer Aufgabe.

10.02.2013, 14:20

zyko

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RE: Differentialquotienten
Ich bitte um Entschuldigung für die Flüchtigkeitsfehler.
Die Ableitung ist definiert durch
$\begin{eqnarray*} \frac{d (2x^2)}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{2(x+h)^2-2x^2}{h} \end{eqnarray*}$ .

10.02.2013, 14:23

Lola1234

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RE: Differentialquotienten
Danke für die Hilfe aber leider hatte ich diese Formel noch nicht im Unterricht .
Bin im Mathegrundkurs.

10.02.2013, 14:23

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Der Differentialquotient von f an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist
$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f (x) - f(x_0)}{x-x_0 } \end{eqnarray*}$

Dort musst du als nächstes dein f einsetzen

10.02.2013, 14:25

Lola1234

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Was ist denn mein f?

10.02.2013, 14:26

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RE: Differentialquotienten

Zitat:

Original von Lola1234
Beispiel : 2 x²

10.02.2013, 14:28

Lola1234

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aber das ist doch mein y

10.02.2013, 14:38

Lola1234

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Wie untersuche ich jetzt das Steigungsverhalten?

10.02.2013, 14:41

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y=f(x) in den Differentialqoutienten einsetzen

10.02.2013, 14:41

Bjoern1982

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Falls der unregistrierte (und damit nicht sichtbare) User URL nicht mehr antworten sollte, werde ich dir später noch antworten.
Jetzt warte ich aber noch, sonst wird das hier zu unübersichtlich.

10.02.2013, 14:44

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@Bjoern1982: Ja, ja, weiß schon, registrieren hilft Big Laugh

Big Laugh

Darfst ruhig übernehmen. Willst du?

10.02.2013, 14:47

Lola1234

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Hauptsache irgendjemand erklärt es mir verständlich . Big Laugh

Big Laugh

10.02.2013, 14:49

Bjoern1982

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Macht ihr beiden ruhig. Wink

Wink

10.02.2013, 15:01

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@Lola1234: Du wolltest in den Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f (x) - f(x_0)}{x-x_0 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ einsetzen - und natürlich entsprechend $\begin{eqnarray*} f(x_0)=\ldots? \end{eqnarray*}$

10.02.2013, 15:07

Lola1234

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Ich setze in die Formel 2 ein oder was?

10.02.2013, 15:21

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wieso 2?

10.02.2013, 15:32

Lola1234

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welche zahl denn sonst?

10.02.2013, 15:43

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Du kannst keine konkrete Zahl einsetzen - und brauchst das auch überhaupt nicht. Benutze nur die Funktionsdefinition $\begin{eqnarray*} f(x)=2x^2 \end{eqnarray*}$ . Sie besagt, dass du überall, wo f(x) steht genauso gut $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ schreiben darfst.

10.02.2013, 15:47

Lola1234

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ok kannst du das bitte in die funktionsgleichung einsetzen , ich krieg das nicht hin

10.02.2013, 15:49

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Äh, nein.
Was bekommst du daran nicht hin, in diesem Ausdruck $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f (x) - f(x_0)}{x-x_0 } \end{eqnarray*}$
überall, wo f(x) steht $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ zu schreiben?

10.02.2013, 15:56

Lola1234

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und was mache ich mit dem unteren teil der formel ? aslo da wo x steht ?

danke für deine hilfe aber ich bin ein hoffnungsloser fall

10.02.2013, 15:59

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alles der Reihe nach Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn wir mit dem Zähler fertig sind, siehst du vermutlich klarer, sprich ein Polynom im Zähler. Dann kommt auch die Polynomdivision ins Spiel.

Also: ersetzen. Jetzt! Augenzwinkern

Augenzwinkern

und hoffnungslos will ich hier überhaupt nicht mehr lesen

10.02.2013, 16:03

Lola1234

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2x² geteilt durch (x-x_0)

10.02.2013, 16:05

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du solltest nur f(x) ersetzen. Alles andere bleibt stehen $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{2x^2 - f(x_0)}{x-x_0 } \end{eqnarray*}$

wenn $\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ , was ist dann $\begin{eqnarray*} f(x_0) \end{eqnarray*}$ ?

10.02.2013, 16:14

Lola1234

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x ?

verwirrt

10.02.2013, 16:23

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Nein. Eine Funktion ist doch eine Art Maschine. In deinem Fall steckst Du vorne eine Zahl x hinein und bekommst hinten $\begin{eqnarray*} 2x^2 \end{eqnarray*}$ heraus (das war übrigens in meinem vorigen post falsch, da stand f(x)=x^2; es muss heißen f(x)=2x^2)
Wenn du also x_0 hineinsteckst, was kommt dann hinten heraus?

10.02.2013, 16:26

Lola1234

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2x

10.02.2013, 16:39

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Du steckst in deine Funktion (Maschine, du erinnerst dich) eine Zahl und die Maschine
quadriert diese Zahl und multipliziere das Ergebnis mit zwei.

Jetzt steck in deine Maschine eine Zahl, die x_0 heißt.

10.02.2013, 16:45

Lola1234

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4 x?

Mir hilft das mehr wenn du mir die lösung sagst , dann kann ich das besser nachvollziehen .Du kannst echt froh sein , dass du Mathe verstehst.

10.02.2013, 17:02

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wie kommt man anhand dieser Vorschrift
"steck in deine Maschine eine Zahl, die x_0 heißt, quadriere diese Zahl und multipliziere das Ergebnis mit zwei"
auf 4x komm. Da ist kein x_0, schon gar kein Quadrat und die 2 ist auch verschwunden, vermutlich quadriert

Das wäre es gewesen:
steck in deine Maschine eine Zahl, die x_0 heißt, quadriere diese Zahl und multipliziere das Ergebnis mit zwei.
$\begin{eqnarray*} x_0\mapsto x_0^2\mapsto 2x_0^2 \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} f(x_0)=2x_0^2 \end{eqnarray*}$ und damit

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to x_0}\frac{f (x) - f(x_0)}{x-x_0 } = \lim_{x\to x_0}\frac{2x^2 - 2x_0^2}{x-x_0 } \end{eqnarray*}$

Jetzt siehst du vermutlich das Polynom im Zähler, das ich angekündigt habe. Jetzt mach mal eine Polynomdivision.

10.02.2013, 17:13

Lola1234

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achso sag das doch gleich

Polynomdivision

(2x² -2x²) : (x-x_0 ) =
-(2x²-2x*x_0)

10.02.2013, 17:22

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Zitat:

Original von Lola1234
achso sag das doch gleich

Ah, ja. Wenn das so einfach ist, warum muss ich das überhaupt sagen? Und wer wird es dir in der Klausur sagen?

Und das

Zitat:

Polynomdivision

(2x² -2x²) : (x-x_0 ) =
-(2x²-2x*x_0)

ist nur der Anfang einer Polynomdivision. Was ist das Ergebnis?

10.02.2013, 17:25

Lola1234

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Ich hab nicht behauptet , dass es einfach ist .
Damit meinte ich nur , dass ich deine Erklärung jetzt nachvollziehen kann .
In der Klausur wird es mir niemand sagen , deshalb übe ich jetzt hier .

10.02.2013, 17:32

Lola1234

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Das Ergebnis ist 2x+2x_0

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