Umformung mit binomischer Formel

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GG Auf diesen Beitrag antworten »
Umformung mit binomischer Formel
Hallo,

aus der binomischen Formel

folgt mit a=1 und b=1


Aber woher kommt denn die folgende Umformung?:
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht. Tatsächlich ist

.
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung mit binomischer Formel
Abgesehen vom Faktor 2 im Exponenten dürfte die Erklärung sein: Er/sie hat mit eiserner Konsequenz gleich dreimal den gleichen Fehler gemacht, nämlich die Summation bei k=1 zu beginnen... unglücklich
GG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung mit binomischer Formel
Vielen Dank für die Antworten.
Um es erstmal klar zu stellen: Ich bin ein 'er'. Aber ich bin auch nicht beleidigt, wenn man mich als du, Sie, Person oder GG, etc.etc. bezeichnet... aber gerne auch 'er'! Hoffentlich sind jetzt einige fundamentale Fragen aus dem Weg geräumt!

Ich sehe den Fehler sofort ein. Die Laufvariable fängt also bei k=0 an. Das wenn ich bei k=1 anfange der Term '-1' noch dazukommt, ist mir auch klar.
Dies ist aber also nicht das Wesentliche für mich, sondern:

Warum das 2^(-1)?
Es wäre für mich logisch, wenn das Berechnete 2^(2n) wäre (jetzt ab k=0 summiert...).
'dumbed down' gesagt: Ich setzte halt theoretisch 'n=2n','k=2k'. (Mir ist auch klar, das das mathematisch nicht richtig ist!)

Mir ist auch klar, dass das 2^(-1) damit zu tun hat, dass ich nur bis n summiere und nicht bis 2n. Ich möchte aber irgendetwas haben, z.B. eine Formel, genauso wie ich euch die binomische Formel angegeben habe und damit mein Vorgehen erklärt habe! Gibt es sowas? Oder kommt das 2^(-1) von niergendwo? Vielleicht durch "Ausprobieren"...
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung mit binomischer Formel
Eine Bemerkung noch, bevor ich aus diesem Thread verschwinde: Du gehst an diese Aufgabe grundfalsch heran, nämlich indem mit irgendwelchen Formeln herumwirfst, welche du offenbar nicht verstehst, statt dir an kleinen Beispielen klar zu machen, worum es hier überhaupt geht...

Nehmen wir doch einmal den Fall n=2... Wegen

= Anzahl der Teilmengen mit 2k Elementen einer Menge mit 2n Elementen

geht es also bei deiner Summe, hier also



darum, die Anzahl der Teilmengen von M={1,2,3,4} abzuzählen, welche eine gerade Anzahl von Elementen haben... Ich hoffe, du weißt schon, dass die Anzahl aller Teilmengen gerade beträgt, wenn man also zeigen könnte, dass es gleich viele Teilmengen mit einer geraden Anzahl und einer ungeraden Anzahl von Elementen gibt, dann wäre die Aufgabe gelöst...

Nimm dazu ein festes Element a aus M, z.B. a=4, und gebe es zu einer beliebigen Teilmenge T mit geradem |T| dazu, wenn es in T nicht enthalten war, sonst entferne es aus T... Du sollstest dir zunächst an dem Beispiel und dann allgemein klar machen, warum das eine Bijektion zwischen den Teilmengen mit einer geraden Anzahl von Elementen und jenen mit einer ungeraden Anzahl von Elementen ist, und dass damit die Aufgabe gelöst ist... Wink
GG Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung mit binomischer Formel
Super, vielen vielen Dank für die Antwort!!

Ich bin das Beispiel auch heute noch mit einer Freundin durchgegangen und wir haben es uns für verschiedene n's klar gemacht.

Ja, ich glaube das für n=2 die Summe 2^(2n)=2^4 ergibt ist klar.

Das mit den ungeraden und geraden Teilmengen ist ja interessant und faszinierend.

Ich finde es verblüffend, dass die Summe der ungeraden Teilmengen also für z.B. n=2 sind das (4 über 1) und (4 über 3) gleich der Summe der geraden Teilmengen, nämlich 8 ist. Aber so einigermaßen nachvollziehbar ist das schon!
 
 
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Umformung mit binomischer Formel
Wichtig ist vor allem, dass die Abbildung, wie ich sie oben für n=2 eingeführt habe, auch allgemein funktioniert und die dazu inverse Abbildung ganz genau gleich definiert ist, womit sie also dann eine Bijektion ist... Nimmt man als Definitionsmenge die Menge P(M) aller Teilmengen von M, so ist das eine sog. Involution auf P(M), also ihr eigenes Inverses, welche "gerade" Teilmengen auf "ungerade" Teilmengen abbildet und umgekehrt... Die Tatsache, dass sich "gerade" und "ungerade" Teilmengen in jeder endlichen Menge M mit mindestens einem Element (für die leere Menge funktioniert das also nicht, aber sonst benötigt keine weiteren Voraussetzungen!) umkehrbar eindeutig entsprechen, ist das, was aus kombinatorischer Hinsicht hinter der Aufgabe steckt...
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