Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (Vektoralgebra)

10.02.2013, 20:51

Kunni

Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (Vektoralgebra)

Meine Frage:
Moin. Ich bedanke mich schonmal im voraus für die Zeit die Ihr euch nehmt um mir zu helfen.

Ich würde gern wissen ob meine Ideen und Rechnungen korrekt sind. Für meine erste Idee (A) erhalte zwar richtige Lösungen, dennoch habe ich diese mit einem Vektorprogramm überprüft und da kam nicht das selbe heraus. Darstellungen der Normalenvektoren auf den Seiten des Dreiecks waren unterschiedlich und auch der Schnittpunkt der Geraden die ich hier präsentiere, ergab laut dem Programm einen anderen Schnittpunkt.

In der zweiten Idee (B), die ich im Internet fand und auf meine Aufgabe umsetzte, ergaben sich einige Probleme bezüglich der Lösung. Meine Blätter füllen sich mit versuchen und Proben und dennoch wirds und wirds nicht besser.

Das ist die Aufgabenstellung:

Gesucht ist der Umkreismittelpunkt eines Dreiecks mit den Punkten A,B & C.
$\begin{eqnarray*} A \left(1, 1, 7\right) B \left(2, 2, -1\right) C \left(1, 2, 3\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
IDEE A)
1. Seitenvektoren des Dreiecks bestimmen.
2. Ebene konstruieren in dem das Dreieck liegt.
3. Den Normalenvektor dieser Ebene bestimmen.
4. Einen weiteren Normalenvektor bestimmen der senkrecht zum Normalenvektor der Ebene ist und zu einer Seite des Dreiecks.
5. Seitenvektor halbieren
6. Gerade konstruieren:
Ortsvektor = halbierter Seitenvektor (siehe 5.)
Richtungsvektor = Normalenvektor (siehe 4.)

7. Vorgang mit einem anderen Seitenvektor wiederholen.

8. Schnittpunkt der beiden Geraden bestimmen.

------------------------------------------------------------------------------>

Umsetzung:
1.
$\begin{eqnarray*} A \left(1, 1, 7\right), B \left(2, 2, -1\right), C \left(1, 2, 3\right) \vec{AB} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \vec{BC} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
2.
$\begin{eqnarray*} E(Dreieck) : \vec{x} = \vec{0A} + r\vec{AC} + s\vec{AB} E(Dreieck) : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} + s\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
3.
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = \vec{AC} \times \vec{AB} \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
4.
$\begin{eqnarray*} \vec{nAB} = \vec{n} \times \vec{AB} \vec{nAB} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -8 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
5.
$\begin{eqnarray*} (A+ B)\cdot \frac{1}{2} (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix})\cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
6.
$\begin{eqnarray*} gMAB : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix}+ w\begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
7.
$\begin{eqnarray*} \vec{AC} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} (A+ C)\cdot \frac{1}{2} = (\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})\cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix} \vec{nAC} = \begin{pmatrix} -4 \\ -4 \\ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} gMAC : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix}+ k\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
8.
$\begin{eqnarray*} gMAB : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix}+ w\begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix} gMAC : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix}+ k\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} gMAB = gMAC \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix}+ w\begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix}+ k\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix} und - k\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} w\begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix}- k\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -0,5 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich nehme die dritte Zeile.

$\begin{eqnarray*} 0\cdot w-k\cdot (-4)=2 \end{eqnarray*}$

Teile durch -4 und danach mal -1.

$\begin{eqnarray*} k = 0,5 \end{eqnarray*}$

Setze in die erste Zeile für k = 0,5 und erhalte für w = \frac{8}{33}.

Probe:
$\begin{eqnarray*} gMAB : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 1,5 \\ 3 \end{pmatrix}+ \frac{8}{33}\begin{pmatrix} 33 \\ -33 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9,5 \\ -6,5 \\ 3 \end{pmatrix} gMAC : \vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix}+ 0,5\begin{pmatrix} 17 \\ -16 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9,5 \\ -6,5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
A: Schnittpunkt und somit Umkreismittelpunkt ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 9,5 \\ -6,5 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

------------------------------------------------------------------------------>

IDEE B)

Der Umkreismittelpunkt wird durch die Mittelsenkrechte bestimmmt. Also berechne ich zwei Streckensymmetrale ( $\begin{eqnarray*} S_{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_{b} \end{eqnarray*}$ ) und löse auf.

Ich nehme an, das die Seiten $\begin{eqnarray*} \vec{AB}, \vec{AC} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{BC} \end{eqnarray*}$ Normalenvektoren zu den Streckensymmetralen sind. Als letztes benötige ich noch den Mittelpunkt einer Seite.

Bestimmung von $\begin{eqnarray*} S_{a} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{BC} = (B+ C)\cdot \frac{1}{2} =(\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})\cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} 1,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} \vec{BC}= \vec{n} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n}\cdot H_{BC} \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot\begin{pmatrix} 1,5 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} -x+4z=2,5 \end{eqnarray*}$
Bestimmung von $\begin{eqnarray*} S_{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} H_{AC} = (A+ C)\cdot \frac{1}{2} =(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix})\cdot \frac{1}{2} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix} \vec{AC}= \vec{n} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \vec{n} \cdot \vec{x} = \vec{n}\cdot H_{AC} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1,5 \\ 5 \end{pmatrix} y-4z=-18,5 1.) -x+4z=2,5 2.) y-4z=-18,5 \end{eqnarray*}$
Wenn ich die erste mit der zweiten Zeile addiere dann erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} -x+y=-16 \end{eqnarray*}$
Nach x auflösen:
$\begin{eqnarray*} x=16+y \end{eqnarray*}$
Die zweite Zeile löse ich nach z auf:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{18,5+y}{4} \end{eqnarray*}$
Jetzt setze ich alles wieder in die erste ein:
$\begin{eqnarray*} -16-y+4\frac{18,5+y}{4}=2,5 \end{eqnarray*}$
Ergebnis:
$\begin{eqnarray*} 0=0 \end{eqnarray*}$

Ich bin mir unsicher ob ich das richtig gerechnet habe. Leider hatte ich diese beide Gleichungen jetzt schon so oft durch gekaut, dass ich nicht mehr weis wo, was, wie richtig sein könnte. unglücklich

Anders gesagt. Totaler kudelmudel im Kopp...

10.02.2013, 21:24

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (Vektoralgebra)
ich gebe dir einen weiteren weg:

$\begin{eqnarray*} (1)\quad{ }(x-1)^2+(y-1)^2+(z-7)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2)\quad{ }(x-2)^2+(y-2^2+(z+1)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3)\quad{ }(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2=r^2 \end{eqnarray*}$

woraus folgt

$\begin{eqnarray*} (a)\quad{ }x+y-8z+21=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (b)\quad{ }2y-8z+37=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (E_{ABC})\quad{ }4x+4y+z-15=0 \end{eqnarray*}$

woraus folgt $\begin{eqnarray*} M(9.5/-6.5/3) \end{eqnarray*}$

05.01.2015, 14:48

iJamiro

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (Vektoralgebra)
warum gilt das?

05.01.2015, 15:12

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Umkreismittelpunkt eines Dreiecks (Vektoralgebra)

Zitat:

Original von iJamiro
warum gilt das?

warum gilt was verwirrt