Gruppenbeweis |
| 11.02.2013, 12:46 | DasPi | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppenbeweis Also ich soll zeigen, dass: (Z,0,+) eine Zyklische Gruppe ist. Ich weiß dass die Gruppe: -Assoziativ sein muss: Sei a,b,c € Z; dann muss (a+b)+c = a+(b+c) gelten -Ein neutrales Element besitzen muss: a,n € Z dann muss a+n=n+a=a gelten -Ein Inverses Element besitzen muss; a,a-1 € Z dann muss a+a-1 = a-1+a=n gelten Für die Zyklische Gruppe muss es einen Erzeuger geben, für den gilt: Sei <e> der Erzeuger so muss gelten für e,h € Z ist e^n = h , wobei en die n fache hintereinanderausführung der Operation + auf den Erzeuger mit sich selbst ist, und ich somit jedes beliebige h aus Z darstellen kann. Dass das alles gegeben ist, ist mir klar, aber ich weiß nicht wie ich das formell KORREKT beweise. Könnte mir jemand einmal ausführlich aufschreiben wie man sowas korrekt beweist? Ich habe folgenden Ansatz: Der Zyklische Erzeuger ist 1 bzw -1 das inverse, denn für ein a€Z gilt 1 ^ m > 0; -1 ^ m < 0; (a) : für alle a,b,c € Z gilt über + dass: a+(b+c) = (a+b)+c denn: a+(b+c) = a+b+c (a+b)+c = a+b+c (n) : Das neutrale Element ist 0. Sei a € Z gilt: a+0 = a und 0+a=a (i) : Jedes Element in hat ein inverses: a ;-a € Z für das gilt 0 = a -a Damit ist (Z,0,+) Eine Gruppe mit dem Zyklischen Erzeuger 1. Aber das fühlt sich sehr allgemein an. Theoretisch kann ich das ja immer einfach "runterschreiben" und habe damit nichts wirklich bewiesen. Danke! |
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| 11.02.2013, 12:56 | experte | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo, wie man das korrekt sauber aufschreibt hängt stark davon ab wie die ganzen Zahlen definiert/eingeführt wurden. Mit der "naiven" Interpratation der ganzen zahlen ist es in der Tat schwer einen schönen sauberen Beweis aufzuschreiben. Beachte, dass hier eine additive gruppe vorliegt. Daher wird für den Erzeuger betrachtet nicht (Letzeres wäre auch ziemlich sinn entleert.) Bitte achte auch auf deine Benennungen. Du verwendest hier n für zwei verschiedene Sachen. Übrigens ist e für das neutrale Element deutlich geläufiger (oder gleich 0, da hier vorgegeben) P.S. Gruppentheorie gehört zur Algebra nicht zur Analysis. |
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| 11.02.2013, 13:04 | DasPi | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi danke! Dann wäre es nett, wenn ein Mod. das verschieben könnte. Tja, irgendwie scheint das nicht so leicht zu sein. Dass etwas nicht der Fall ist ist ja immer schnell durch ein Gegenbeispiel gezeigt. z.B. Kommutativität von ({f: R -> R;},°). Aber nehmen wir als beispiel ({f: R-> R},°), wie zeige ich hier korrekt dass es sich um eine Gruppe handelt? |
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