Allgemeine Lösung von Matrizen

11.02.2013, 13:52

Flashgirl

Allgemeine Lösung von Matrizen

Hallo !

Ich habe folgende Aufgabe bei der ich nicht weiterkomme:

Frage:
Bestimmen Sie alle Matrizen X Element $\begin{eqnarray*} R ^(2,2) \end{eqnarray*}$ , für die die Gleichung

$\begin{eqnarray*} IX+(AX^T)^T = 2(B+X) \end{eqnarray*}$

erfüllt ist, wobei I die Einheitsmatrix ist und

$\begin{eqnarray*} A= \begin{pmatrix}\begin{array}{cc} 3 & 3 \\ -3 & -3 \end{array} \end{pmatrix} , B= \begin{pmatrix}\begin{array}{cc} 2 & -5 \\ -4 & 6 \end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ermitteln Sie dabei zunächst die allgemeinse Lösung ohne die speziellen Matrizen A und B einzusetzen.

So. Das wäre die Aufgabe und ich weiss soviel, dass ich die Formel zunächst nach X umstellen muss. Doch ich bin mir nicht sicher, wie ich das am Besten machen soll, bzw. wie überhaupt.

Auf eine Antwort würde ich mich freuen Augenzwinkern

11.02.2013, 14:09

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RE: Allgemeine Lösung von Matrizen
Also $\begin{eqnarray*} (AX^T)^T \end{eqnarray*}$ kannst du sicherlich etwas vereinfachen.

Und ab damit in die Algebra.

11.02.2013, 14:16

Flashgirl

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Also in meinem Script steht
$\begin{eqnarray*} (A^T)^T=A \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} (t \cdot A)^T=t \cdot A^T \end{eqnarray*}$

Ich hätte jetzt allerdings die Vereinfachung gemacht:

$\begin{eqnarray*} A^T \cdot X \end{eqnarray*}$ , oder?

Weil $\begin{eqnarray*} (X^T)^T = X \end{eqnarray*}$ ist

11.02.2013, 15:09

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Zitat:

Original von Flashgirl
Ich hätte jetzt allerdings die Vereinfachung gemacht:

$\begin{eqnarray*} A^T \cdot X \end{eqnarray*}$ , oder?

Da hast du leider die falsche Regel erwischt. Siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Matrix_(Mathematik)#Die_transponierte_Matrix

11.02.2013, 15:52

Flashgirl

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Hm ... okay.
Also müsste ich dann die vierte Formel $\begin{eqnarray*} (A \cdot B)^T = B^T \cdot A^T \end{eqnarray*}$ nehmen.

Und dann käme raus:
$\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = A^T \cdot (X^T)^T = A^T \cdot X \end{eqnarray*}$

... aber das ist das gleiche, was ich schon hatte o.O

Oder meinst du die Formel $\begin{eqnarray*} (c \cdot A)^T = c \cdot A^T \end{eqnarray*}$ ?
aber c müstte dann ja eine Zahl sein, soll aber eine Matrix rauskommen. c ist ja nicht gleich X.

Was hättest du da raus ?

11.02.2013, 16:07

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Zitat:

Original von Flashgirl
Und dann käme raus:
$\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = A^T \cdot (X^T)^T = A^T \cdot X \end{eqnarray*}$

Das ist jetzt richtig. Und jetzt sammle mal alle Terme mit X auf einer Seite und klammere X aus.

11.02.2013, 16:26

Flashgirl

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Also ich hab jetzt doch noch den Fehler gefunden
$\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = A^T \cdot (X^T)^T = A^T \cdot X \end{eqnarray*}$

muss eigentlich $\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = X \cdot A^T \end{eqnarray*}$

Und dann hab ich die Rechnung:

$\begin{eqnarray*} IX + XA^T = 2B + 2X IX+ XA^T - 2X= 2B X ( I + A^T-2) = 2B -> | \cdot (I + A^T-2)^{-1} X= 2B( I + A^T-2)^{-1} \end{eqnarray*}$

12.02.2013, 08:29

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Zitat:

Original von Flashgirl
Also ich hab jetzt doch noch den Fehler gefunden
$\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = A^T \cdot (X^T)^T = A^T \cdot X \end{eqnarray*}$

muss eigentlich $\begin{eqnarray*} (AX^T)^T = X \cdot A^T \end{eqnarray*}$

Ja, natürlich. Jetzt bin ich selber in die Falle getappt, die ich eigentlich vermeiden wollte. Hammer

Zitat:

Original von Flashgirl
$\begin{eqnarray*} IX+ XA^T - 2X= 2B X ( I + A^T-2) = 2B \end{eqnarray*}$

Die Umformung geht natürlich nicht. Wie willst du denn 2 von einer Matrix subtrahieren? verwirrt

Hier kann uns die Umformung I*X = X = X*I weiterhelfen.

So ist es richtig: $\begin{eqnarray*} IX+ XA^T - 2X= 2B \Leftrightarrow X + X \cdot A^T - 2X = 2B \Leftrightarrow X \cdot A^T - X \cdot I = 2B \Leftrightarrow X \cdot (A^T - I) = 2B \end{eqnarray*}$

12.02.2013, 12:31

Flashgirl

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Ah okay.
Und was ist mit der $\begin{eqnarray*} -2X \end{eqnarray*}$ geworden?
Hat die sich durch die Multiplikation dann aufgehoben, oder ist die so definiert ?

12.02.2013, 12:51

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Na ja, dieses eben: X - 2X = -X = -X * I smile