Implizite Differentiation

11.02.2013, 13:52

skyline_1

Implizite Differentiation

Hi,
ich bräuchte dringen Hilfe bei der Ableitung nach y'(x) für eine ImpliziteFunktion:
$\begin{eqnarray*} 100y²(x)+x²y(x)=100x²-x³ \end{eqnarray*}$
Ich würde mich freuen wenn mir jemand erklären könnte wie man dabei vorgeht.

Mfg Skyline

12.02.2013, 01:43

Pueggel

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Hey,
schaufel alle Summanden auf eine Seite, sodass du etwas von der Form

$\begin{eqnarray*} F(x,y(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

hast. Danach kannst du die ableitung von y berechnen mit der Formel

$\begin{eqnarray*} y' = -\frac{F_x}{F_y} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} F_x, F_y \end{eqnarray*}$ die partiellen Ableitungen nach x und y von dem was links von " = 0" steht (dami meine ich F(x,y(x)), sind.

Genau genommen gilt die Formel nur für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , welche in einer Umgebung von einem $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sind, wo $\begin{eqnarray*} F_y(x_0,y(x_0)) \neq 0 \end{eqnarray*}$

hoffe es hilft...

12.02.2013, 10:19

original

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RE: Implizite Differentiation

Zitat:

Original von skyline_1

Ableitung nach y'(x) für eine ImpliziteFunktion:
(Anmerkung: willst du tatsächlich dann y ´ (x) ableiten ?)

$\begin{eqnarray*} 100y²(x)+x²y(x)=100x²-x³ \end{eqnarray*}$

Ich würde mich freuen Freude

.. Variante: (für den Fall, dass du nur y(x) nach x ableiten willst - und nicht y ´ (x))

$\begin{eqnarray*} y(x) \cdot (100\cdot y(x) +x² )=100x²-x³ \end{eqnarray*}$

Ableitung der linken Seite nach x unter Verwendung der Produktregel
usw..

ok?

12.02.2013, 11:58

Pujol

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Nun gut, ich glaube nicht, dass du nach y'(x) ableiten willst. Ich denke eher, hier geht es um den Satz über implizite Funktionen. Stimmts?
Dieser Satz erlaubt es dir, die Ableitung einer implizit gegebenen Funktion zu berechnen.
Wenn du also die Ableitung y' der durch die Gleichung implizit gegebenen Funktion y berechnen willst, mach das genauso wie von Pueggel beschrieben.

12.02.2013, 19:05

skyline_1

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Danke erstmal smile

Die Aufgabe lautet genau: Berechnen Sie die Ableitung y'(x) für die implizit gegebene Funktion.
Habs mal probiert und ich hoffe es stimmt soweit.

Aufgelöst nach:

$\begin{eqnarray*} F(x,y(x)) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 100y(x)^2+x^2y(x) -100x^2+x^3=0 \end{eqnarray*}$

als Ableitung würde ich dann bekommen :

$\begin{eqnarray*} 200y(x)y'(x)+2xy(x)+x^2y'(x)+3x^2-200x=0 \end{eqnarray*}$

zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} y'(x)(200y(x)+x^2)+2xy(x)+3x^2-200x=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weiß ich leider nicht wie ich nach y'(x) auflösen soll.

13.02.2013, 02:27

Pueggel

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Nein - benutze die Formel, die ich dir gegeben habe!!
Leite dazu F(x,y) partiell nach beiden Variablen ab und bilde den Bruch - so, wies die Formel sagt. Damit erhälts du direkt und musst nichts mehr auflösen!!

13.02.2013, 10:39

skyline_1

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Okay danke, ich hoff jetzt ist es richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dx} = 2xy(x)-200x+3x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{df}{dy} = 200y(x) + x^2 \end{eqnarray*}$

also wäre dan y'(x)

$\begin{eqnarray*} y'(x)= -\frac{2xy(x)-200x+3x^2}{200y(x) + x^2} \end{eqnarray*}$

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