Homomorphismus - einmal isomorph; einmal nicht

11.02.2013, 14:44

Naryxus

Homomorphismus - einmal isomorph; einmal nicht

Hallo,

ich bearbeite folgende Übungsaufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} (G, *) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Gruppenelement.
Dazu ist folgender Homomorphimus von $\begin{eqnarray*} G \rightarrow G \end{eqnarray*}$ gegeben:

$\begin{eqnarray*} \varphi_g: h \rightarrow \overline{g} * h * g \end{eqnarray*}$

Wir sollen nun eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit jeweils einem Element $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ einmal ein Isomorphimus ist und einmal nicht.

Ich finde sehr viele Isomorphismen aber bis jetzt noch keine einzige Abbildung, die nach der gegeben Definition nicht bijektiv ist.

Kann mir jemand helfen? Wenn möglich dann ein recht einfaches Beispiel und nicht eine Symmetriegruppe oder ähnliches. Würde meine Lösung gerne so einfach wie möglich halten.

11.02.2013, 14:54

experte

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Hallo,

diese Abbildung ist ein Isomorphismus (die Identität) wenn G abelsch ist.
Also solltest Du nach nicht abelschen Gruppen Ausschau halten.
Die Symmetriegruppen sin ziemlich einfache Beisoiele für nicht-abelsche endliche Gruppen.
Man könnte auch Matrizengruppen nehmen.

11.02.2013, 15:47

zweiundvierzig

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RE: Homomorphismus - einmal isomorph; einmal nicht

Zitat:

Original von Naryxus
Wir sollen nun eine Gruppe $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ mit jeweils einem Element $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ finden, sodass $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ einmal ein Isomorphimus ist und einmal nicht.

Das geht nicht, weil $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ immer ein Isomorphismus ist! Das ist auch nicht schwer nachzurechnen.

Edit: Ich gehe davon aus, dass $\begin{eqnarray*} \overline{g} \end{eqnarray*}$ bei Dir das Inverse zu $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ bezeichnen soll. Das ist eher keine geläufige Schreibweise.

11.02.2013, 17:22

Naryxus

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Danke für eure Antworten!

Erst einmal: Ich weiß, dass die Matrixmultiplikation z.B. nicht kommutiert. Aber wie könnte ich daraus schließen, dass die Abbildung nicht bijektiv ist (selbst wenn ich ein konkretes Beispiel finden würde; wobei ich noch nicht einmal genau weiß, welches Beispiel ich da suchen müsste. Muss ich z.B. dann eine Matrix suchen, auf die nicht abgebildet wird?)

Zu der Schreibweise: So verwendet das unser Prof. ausschließlich in Vorlesung und Skript geschockt

Das Problem zu dem Isomorphismus ist, dass die Aufgabenstellung nicht von der Form "Beweisen oder widerlegen Sie..." sondern es ist explizit gefordert, dass man einen Isomorphismus und einen nicht-Isomorphismus findet.
Und wenn ich das richtig verstanden habe, soll der Definitions- und Zielbereich bei Isomorphismus und nicht-Isomorphismus gleich bleiben, also soll sich nur das beliebige Element g verändern.

Hoffe ihr könnt mir nochmal weiterhelfen.

11.02.2013, 17:45

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Naryxus
Erst einmal: Ich weiß, dass die Matrixmultiplikation z.B. nicht kommutiert. Aber wie könnte ich daraus schließen, dass die Abbildung nicht bijektiv ist (selbst wenn ich ein konkretes Beispiel finden würde; wobei ich noch nicht einmal genau weiß, welches Beispiel ich da suchen müsste. Muss ich z.B. dann eine Matrix suchen, auf die nicht abgebildet wird?)

Wie schon gesagt: der Homomorphismus ist immer eine bijektive Selbstabbildung, sprich ein Isomorphismus. (Hier sind Quell- und Zielmenge gleich, dann spricht man auch von einem Automorphismus.)

Befolge doch mal meinen Rat und überprüfe die zwei nötigen Kriterien dazu.

Ich weiß nicht, ob die Fragesteller eine Fangfrage im Sinn hatten, aber jede Abbildung der vorliegenden Form ist stets ein Isomorphismus (nennt man übrigens auch Konjugation mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ).

Zitat:

Original von Naryxus
Zu der Schreibweise: So verwendet das unser Prof. ausschließlich in Vorlesung und Skript geschockt

Sein gutes Recht, aber dann schreibe das bitte dazu.

11.02.2013, 18:02

Naryxus

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
Ich weiß nicht, ob die Fragesteller eine Fangfrage im Sinn hatten, aber jede Abbildung der vorliegenden Form ist stets ein Isomorphismus (nennt man übrigens auch Konjugation mit $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ).

Das bezweifle ich eher. Da es eine Aufgabe aus dem Skript ist. Und eigentlich dürfen wir alles, was in dem Skript steht, später z.B. in der Klausur als bewiesen ansehen und verwenden. Deshalb bin da gerade total stutzig...

Sollte das tatsächlich ein Isomorphismus sein (ich werde das wohl nochmal bei Tutor und/oder Assistent nachfragen), muss ich Surjektivität und Injektivität zeigen oder?

Grüße

11.02.2013, 18:10

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Naryxus
Sollte das tatsächlich ein Isomorphismus sein [...] muss ich Surjektivität und Injektivität zeigen oder?

Ja. Was hält Dich davon ab? smile

11.02.2013, 18:13

Che Netzer

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Ich würde eher eine Umkehrfunktion angeben, das geht ja fast noch schneller.

Edit: Und ich wäre auch mal an der wörtlichen Aufgabenstellung interessiert, solch ein Fehler würde mich wundern.

13.02.2013, 16:09

Naryxus

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Hey,
sorry, dass ich erst heute zum Antworten komme.

Die Aufgabenstellung:

Zeigen Sie:
Ist $\begin{eqnarray*} (G, *) \end{eqnarray*}$ eine Gruppe und $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ ein beliebiges Gruppenelement, so ist
$\begin{eqnarray*} \varphi_g : \begin{cases} G \rightarrow G\\ h \mapsto \overline{g} * h * g \end{cases} \end{eqnarray*}$

ein Homomorphismus (Anmerkung von mir: $\begin{eqnarray*} \overline{g} \end{eqnarray*}$ bezeichnet das Inverse Element von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ ).
Finden Sie weiter Beispiele von Gruppen G und Elementen $\begin{eqnarray*} g \in G \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ einmal ein Isomorphismus ist und einmal nicht.

Meine Interpretation der Aufgabenstellung habe ich ja oben schon offenbart.

Grüße

13.02.2013, 16:34

Naryxus

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Ich habe jetzt mal als Beispiel die Gruppe der invertierbaren Matrizen genommen mit der Verknüpfung der Matrix-Multiplikation.

Dann habe ich mir eine Matrix mit ihrer Inversen als g gewählt und eine weitere invertierbare Matrix als h. Dann habe ich das Produkt berechnet und habe eine nicht invertierbare Matrix erhalten.
Habe ich da irgendwas falsch gemacht?

Grüße

Edit: Hat sich erledigt: Verrechnet Hammer

13.02.2013, 17:14

Naryxus

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Zitat:

Original von Che Netzer
Ich würde eher eine Umkehrfunktion angeben, das geht ja fast noch schneller.

Hey cool, ich glaube ich habe tatsächlich was gefunden!!!

Könnt ihr mir sagen ob das folgende alles richtig ist:

Sei die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} \varphi_g^{-1}: g * h * \overline{g} \end{eqnarray*}$

Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} \varphi_g^{-1}(\varphi_g(h)) = \varphi_g^{-1}(\overline{g} * h * g) = g * (\overline{g} * h * g) * \overline{g} = (g * \overline{g}) * h * (g * \overline{g}) = n * h * n = h \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \varphi_g(\varphi_g^{-1}(h)) = \varphi_g(g * h * \overline{g}) = \overline{g} * (g * h * \overline{g}) * g = (\overline{g} * g) * h * (\overline{g} * g) = n * h * n = h \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} \forall h \in G \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass $\begin{eqnarray*} \varphi_g \end{eqnarray*}$ bijektiv ist.

Ist das so richtig?

Grüße

13.02.2013, 17:20

Che Netzer

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Stimmt so, ist nur hier formal etwas zu hinterfragen:

Zitat:

Original von Naryxus
Sei die Umkehrfunktion
$\begin{eqnarray*} \varphi_g^{-1}: g * h * \overline{g} \end{eqnarray*}$

Ansonsten: $\begin{eqnarray*} \varphi_g^{-1}=\varphi_{\overline g} \end{eqnarray*}$ .

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