charakteristisches Polynom, Nullmatrix, Potenzen

11.02.2013, 15:20	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
charakteristisches Polynom, Nullmatrix, Potenzen Hallo zusammen, ich habe ein Problem bei einer Aufgabe. Wir haben in der Vorlesung nur charakteristisches Polynom, Eigenwerte und Eigenvektoren kennengelernt. Jetzt weiß ich garnicht, wie ich diese Aufgabe lösen soll: [attach]28407[/attach] Meine Ideen: a) [attach]28408[/attach] b) $\begin{eqnarray} A^2+a\cdot A+b\cdot E_2, \quad a=-4,b=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} + (-4)\cdot\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} + 0\cdot E_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} 12 & 4\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -12 & -4\sqrt{3} \\ -4\sqrt{3} & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es kommt ja scheinbar die Nullmatrix raus, aber hab ich das so richtig gemacht? Und was vorallem ist $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ ? c) Vorweg: Vollständige Induktion kommt erst nächstes Semester in Analysis dran. $\begin{eqnarray} A^1=\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^2=\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 12 & 4\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A^3=\begin{pmatrix} 12 & 4\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} & 4 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 48 & 16\sqrt{3} \\ 16\sqrt{3} & 16 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow A^n=\begin{pmatrix} 3\cdot4^{n-1} & 4^{n-1}\cdot\sqrt{3} \\ 4^{n-1}\cdot\sqrt{3} & 4^{n-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Das habe ich mir so zusammengebastelt... Mh ich hab mich jetzt während des Abschreibens so durchgewuselt und es doch halbwegs lösen können, hat das ganze aber so Sinn?
11.02.2013, 15:37	Bummbumm	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: charakteristisches Polynom, Nullmatrix, Potenzen $\begin{eqnarray} E_2 \end{eqnarray}$ ist die Einheitsmatrix mit der Dimension 2x2. Die Angabe ist eigentlich überflüssig, da der Term nur mit genau dieser Dimension für E auch Sinn macht und berechnet werden kann. In Teilaufgabe b) hätte ich mit den Variablen a und b gerechnet und nicht direkt Werte eingesetzt.
11.02.2013, 15:44	baba2k	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, danke. So? b) $\begin{eqnarray} A^2+a\cdot A+b\cdot E_2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} + a\cdot\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 12 & 4\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} & 4 \end{pmatrix}+a\cdot\begin{pmatrix} 3 & \sqrt{3} \\ \sqrt{3} & 1 \end{pmatrix} + b\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} a=-4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ dann: $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} 12 & 4\sqrt{3} \\ 4\sqrt{3} & 4 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} -12 & -4\sqrt{3} \\ -4\sqrt{3} & -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$

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